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黑龙江省哈尔滨市2014年中考数学试题及答案

发布时间:2014-07-08 13:53:32  

2014年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)

1.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)哈市某天的最高气温为28℃,最低气温为21℃,则这一天的最高气温与最低气温的差为( )

A. 5℃ B. 6℃ C. 7℃ D. 8℃

分析: 根据有理数的减法,减去一个数等于加上这个数的相反数,可得答案.

解答: 解:28﹣21=28+(﹣21)=7,

故选:C.

点评: 本题考查了有理数的减法,减去一个数等于加上这个数的相反数.

2.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)用科学记数法表示927 000正确的是( )

A. 9.27×10 B. 9.27×10 C. 9.27×10 D.

3 927×10

考点: 科学记数法—表示较大的数.

n分析: 科学记数法的表示形式为a×10的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是

易错点,由于927 000有6位,所以可以确定n=6﹣1=5.

5解答: 解:927 000=9.27×10.

故选B.

点评: 此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.

3.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)下列计算正确的是( )

257246 A. 3a﹣2a=1 B. a+a=a C. a?a=a D.

33 (ab)=ab

考点: 幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.

分析: 根据合并同类项,可判断A、B,根据同底数幂的乘法,可判断C,根据积的乘方,可判断D.

解答: 解:A、系数相加字母部分不变,故A错误;

B、不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故B错误;

C、底数不变指数相加,故C正确;

D、积的乘方等于每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;故D错误;

故选:C.

点评: 本题考查了积的乘方,积的乘方等于每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

4.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)下列图形中,不是中心对称图形的是( ) 654

A. B. C. D.

考点: 中心对称图形.

分析: 根据中心对称图形的概念求解.

解答: 解:A、是中心对称图形,故本选项错误;

B、不是中心对称图形,故本选项正确;

C、是中心对称图形,故本选项错误;

D、是中心对称图形,故本选项错误;

故选B.

点评: 本题考查了中心对称的知识,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.

5.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)在反比例函数的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是( )

A. k>1 B. k>0 C. k≥1 D. k<1

考点: 反比例函数的性质.

分析: 根据反比例函数的性质,当反比例函数的系数大于0时,在每一支曲线上,y都随x的增大而减小,可得k﹣1>0,解可得k的取值范围.

解答: 解:根据题意,在反比例函数图象的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,

即可得k﹣1>0,

解得k>1.

故选A.

点评: 本题考查了反比例函数的性质:①当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限.②当k>0时,在同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在同一个象限,y随x的增大而增大.

6.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图的几何体是由一些小正方形组合而成的,则这个几何体的俯视图是( )

A.

B. C.

D.

考点: 简单组合体的三视图.

分析: 找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

解答: 解:从几何体的上面看共有3列小正方形,右边有2个,左边有2个,中间上面有1个,

故选:D.

点评: 本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.

7.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,连接BD,∠C=40°.则∠ABD的度数是( )

A. 25° C. 20° D. 15°

考点: 切线的性质.

分析: 根据切线的性质求出∠OAC,求出∠AOC,根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO,根据三角形外角性质求出即可.

解答: 解:∵AC是⊙O的切线,

∴∠OAC=90°,

∵∠C=40°,

∴∠AOC=50°,

∵OB=OD,

∴∠ABD=∠BDO,

∵∠ABD+∠BDO=∠AOC,

∴∠ABD=25°,

故选B.

点评: 本题考查了切线的性质,三角形外角性质,三角形内角和定理,等腰三角形性质的应用,解此题的关键是求出∠AOC的度数,题目比较好,难度适中.

8.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)将抛物线y=﹣2x+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )

222 A. y=﹣2(x+1)﹣1 B. y﹣2(x+1)+3 C. y=﹣2(x﹣1)+1

2 D.y=﹣2(x﹣1)+3

考点: 二次函数图象与几何变换.

分析: 根据图象右移减,上移加,可得答案.

2解答: 解;将抛物线y=﹣2x+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物

2线为y=﹣2(x﹣1)+3,

故选:D.

点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,函数图象平移的规律是:左加右减,上加下减.

2 30° B.

9.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A、B′、A′在同一条直线上,则AA′的长为( )

A. 6 B. 4 C. 3 D. 3

考点: 旋转的性质.

分析: 利用直角三角形的性质得出AB=4,再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2,进而得出答案.

解答: 解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,

∴∠CAB=30°,故AB=4,

∵△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A、B′、A′在同一条直线上,

∴AB=A′B′=4,AC=A′C,

∴∠CAA′=∠A′=30°,

∴∠ACB′=∠B′AC=30°,

∴AB′=B′C=2,

∴AA′=2+4=6.

故选:A.

点评: 此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识,得出AB′=B′C=2是解题关键.

10.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)早晨,小刚沿着通往学校唯一的一条路(直路)上学,途中发现忘带饭盒,停下往家里打电话,妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校,同时小刚返回,两人相遇后,小刚立即赶往学校,妈妈回家,15分钟妈妈到家,再经过3分钟小刚到达学校,小刚始终以100米/分的速度步行,小刚和妈妈的距离y(单位:米)与小刚打完电话后的步行时间t(单位:分)之间的函数关系如图,下列四种说法:

①打电话时,小刚和妈妈的距离为1250米;

②打完电话后,经过23分钟小刚到达学校;

③小刚和妈妈相遇后,妈妈回家的速度为150米/分;

④小刚家与学校的距离为2550米.其中正确的个数是( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

考点: 一次函数的应用.

分析: 根据函数的图象和已知条件分别分析探讨其正确性,进一步判定得出答案即可. 解答: 解:①由图可知打电话时,小刚和妈妈的距离为1250米是正确的;

②因为打完电话后5分钟两人相遇后,小刚立即赶往学校,妈妈回家,15分钟妈妈到家,再经过3分钟小刚到达学校,经过5+15+3=23分钟小刚到达学校,所以是正确的; ③打完电话后5分钟两人相遇后,妈妈的速度是1250÷5﹣100=150米/分,走的路程为

150×5=750米,回家的速度是750÷15=50米/分,所以回家的速度为150米/分是错误的; ④小刚家与学校的距离为750+(15+3)×100=2550米,所以是正确的.

正确的答案有①②④.

故选:C.

点评: 此题考查了函数的图象的实际意义,结合题意正确理解函数图象,利用基本行程问题解决问题.

二、填空题(共10小题,每小题3分,共计30分)

11.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)计算:=

考点: 二次根式的加减法.

分析: 先化简=2,再合并同类二次根式即可. .

解答: 解:=2﹣=. 故应填:.

点评: 本题主要考查了二次根式的加减,属于基础题型.

12.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)在函数y=中,自变量x的取值范围是.

考点: 函数自变量的取值范围.

分析: 根据分母不等于0列式计算即可得解.

解答: 解:由题意得,2x+4≠0,

解得x≠﹣2.

故答案为:x≠﹣2.

点评: 本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:

(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;

(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;

(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.

13.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)把多项式3m﹣6mn+3n分解因式的结果是 3(m﹣n)2 .

考点: 提公因式法与公式法的综合运用.

分析: 首先提取公因式3,再利用完全平方公式进行二次分解.

解答: 解:3m﹣6mn+3n=3(m﹣2mn+n)=3(m﹣n).

2故答案为:3(m﹣n).

点评: 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.

14.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)不等式组的解集是. 2222222

考点: 解一元一次不等式组.

分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.

解答: 解:,由①得,x≤1,由②得,x>﹣1,

故此不等式组的解集为:﹣1<x≤1.

故答案为:﹣1<x≤1.

点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

15.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)若x=﹣1是关于x的一元二次方程x+3x+m+1=0的一个解,则m的值为 1 .

考点: 一元二次方程的解.

专题: 计算题.

分析: 根据x=﹣1是已知方程的解,将x=﹣1代入方程即可求出m的值.

解答: 解:将x=﹣1代入方程得:1﹣3+m+1=0,

解得:m=1.

故答案为:1

点评: 此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

16.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)在一个不透明的口袋中,有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1、2、3、4,随机地摸取一个小球记下标号后放回,再随机地摸取一个小球记下标号,则两次摸取的小球标号都是1的概率为

. 2

考点: 列表法与树状图法.

专题: 计算题.

分析: 列表得出所有等可能的情况数,找出两次摸取的小球标号都是1的情况数,即可求出所求的概率.

解答: 解:列表如下:

1 2 3 4

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)

所有等可能的情况有16种,其中两次摸取的小球标号都是1的情况有1种,

则P=. 故答案为:

点评: 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

17.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,△BPC是以PB为腰的等腰三角形,则PB的长为 5或6 .

考点:

专题:

分析:

解答: 矩形的性质;等腰三角形的判定;勾股定理. 分类讨论. 需要分类讨论:PB=PC和PB=BC两种情况. 解:如图,在矩形ABCD中,AB=CD=4,BC=AD=6.

如图1,当PB=PC时,点P是BC的中垂线与AD的交点,则AP=DP=AD=3. 在Rt△ABP中,由勾股定理得 PB===5;

如图2,当BP=BC=6时,△BPC也是以PB为腰的等腰三角形.

综上所述,PB的长度是5或6.

点评: 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理.解题时,要分类讨论,以防漏解.

18.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)一个底面直径为10cm,母线长为15cm的圆锥,它的侧面展开图圆心角是 120 度.

考点: 圆锥的计算.

分析: 利用底面周长=展开图的弧长可得.

解答: 解:∵底面直径为10cm,

∴底面周长为10π,

根据题意得10π=,

解得n=120.

故答案为120.

点评: 考查了圆锥的计算,解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系,然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值.

19.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EF⊥AC于点F,连接EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为 5 .

考点: 正方形的性质;勾股定理;等腰直角三角形.

分析: 由四边形ABCD是正方形,AC为对角线,得出∠AFE=45°,又因为EF⊥AC,得到∠AFE=90°得出EF=AF=3,由△EFC的周长为12,得出线段FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC,在RT△EFC中,运用勾股定理EC=EF+FC,求出EC=5.

解答: 解:∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,

∴∠AFE=45°,

又∵EF⊥AC,

∴∠AFE=90°,∠AEF=45°,

∴EF=AF=3,

∵△EFC的周长为12,

∴FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC,

222在RT△EFC中,EC=EF+FC,

22∴EC=9+(9﹣EC),

解得EC=5.

故答案为:5.

点评: 本题主要考查了正方形的性质及等腰直角三角形,解题的关键是找出线段的关系.运用勾股定理列出方程.

20.(3分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则的值为

. 222

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质.

分析: 解题关键是作出辅助线,如解答图所示:

第1步:利用角平分线的性质,得到BD=CD;

第2步:延长AC,构造一对全等三角形△ABD≌△AMD;

第3步:过点M作MN∥AD,构造平行四边形DMNG.由MD=BD=KD=CD,得到等腰△DMK;然后利用角之间关系证明DM∥GN,从而推出四边形DMNG为平行四边形;

第4步:由MN∥AD,列出比例式,求出的值.

解答: 解:已知AD为角平分线,则点D到AB、AC的距离相等,设为h. ∵

====,∴BD=CD.

如右图,延长AC,在AC的延长线上截取AM=AB,则有AC=4CM.连接DM.

在△ABD与△AMD中,

∴△ABD≌△AMD(SAS),

∴MD=BD=5m.

过点M作MN∥AD,交EG于点N,交DE于点K.

∵MN∥AD,∴==,∴CK=CD,∴KD=CD.

∴MD=KD,即△DMK为等腰三角形,

∴∠DMK=∠DKM.

由题意,易知△EDG为等腰三角形,且∠1=∠2;

∵MN∥AD,∴∠3=∠4=∠1=∠2,

又∵∠DKM=∠3(对顶角)

∴∠DMK=∠4,

∴DM∥GN,

∴四边形DMNG为平行四边形,

∴MN=DG=2FD.

∵点H为AC中点,AC=4CM,∴=.

∵MN∥AD, ∴

=,即, ∴

=.

点评: 本题是几何综合题,难度较大,正确作出辅助线是解题关键.在解题过程中,需要综合利用各种几何知识,例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等,对考生能力要求较高.

三、解答题(共8小题,其中21-24题各6分,25-26题各8分,27-28题各10分,共计10分)

21.(6分)(2014年黑龙江哈尔滨)先化简,再求代数式﹣的值,其中x=2cos45°+2,y=2.

考点: 分式的化简求值;特殊角的三角函数值.

专题: 计算题.

分析: 原式利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,将x与y的值代入计算即可求出值.

解答: 解:原式===,

当x=2×+2=+2,y=2时,原式==.

点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

22.(6分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上,点E在BC边上,且点E在小正方形的顶点上,连接AE.

(1)在图中画出△AEF,使△AEF与△AEB关于直线AE对称,点F与点B是对称点;

(2)请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积.

考点: 作图-轴对称变换.

专题: 作图题.

分析: (1)根据AE为网格正方形的对角线,作出点B关于AE的对称点F,然后连接AF、EF即可;

(2)根据图象,重叠部分为两个直角三角形的面积的差,列式计算即可得解.

解答: 解:(1)△AEF如图所示;

(2)重叠部分的面积=×4×4﹣×2×2

=8﹣2

=6.

点评: 本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构并观察出AE为网格正方形的对角线是解题的关键.

23.(6分)(2014年黑龙江哈尔滨)君畅中学计划购买一些文具送给学生,为此学校决定围绕“在笔袋、圆规、直尺、钢笔四种文具中,你最需要的文具是什么?(必选且只选一种)”的问题,在全校满园内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示

的不完整的统计图,请你根据以上信息回答下列问题:

(1)在这次调查中,最需要圆规的学生有多少名?并补全条形统计图;

(2)如果全校有970名学生,请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名?

考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.

专题: 计算题.

分析: (1)由最需要直尺的学生数除以占的百分比求出总人数,确定出最需要圆规的学生数,补全条形统计图即可;

(2)求出最需要钢笔的学生占的百分比,乘以970即可得到结果.

解答: 解:(1)根据题意得:18÷30%=60(名),

60﹣(21+18+6)=15(名),

则本次调查中,最需要圆规的学生有15名,

补全条形统计图,如图所示:

(2)根据题意得:970×=97(名),

则估计全校学生中最需要钢笔的学生有97名.

点评: 此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题意是解本题的关键.

24.(6分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,AB、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.

(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度;

(2)求建筑物CD的高度(结果保留根号).

考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

分析: (1)根据题意得:BD∥AE,从而得到∠BAD=∠ADB=45°,利用BD=AB=60,求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米;

(2)延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,根据AF=BD=DF=60,在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF,然后即可求得CD的长.

解答: 解:(1)根据题意得:BD∥AE,

∴∠ADB=∠EAD=45°,

∵∠ABD=90°,

∴∠BAD=∠ADB=45°,

∴BD=AB=60,

∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米;

(2)延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,

∴AF=BD=DF=60,

在Rt△AFC中,∠FAC=30°,

∴CF=AF?tan∠FAC=60×=20,

又∵FD=60,

∴CD=60﹣20,

∴建筑物CD的高度为(60﹣20)米.

点评: 考查解直角三角形的应用;得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点.

25.(8分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,⊙O是△ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连接CD,且AE=DE,BC=CE.

(1)求∠ACB的度数;

(2)过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长.

考点: 三角形的外接圆与外心;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理.

分析: (1)首先得出△AEB≌△DEC,进而得出△EBC为等边三角形,即可得出答案;

(2)由已知得出EF,BC的长,进而得出CM,BM的长,再求出AM的长,再由勾股定理求出AB的长.

解答: (1)证明:在△AEB和△DEC中

∴△AEB≌△DEC(ASA),

∴EB=EC,

又∵BC=CE,

∴BE=CE=BC,

∴△EBC为等边三角形,

∴∠ACB=60°;

(2)解:∵OF⊥AC,

∴AF=CF,

∵△EBC为等边三角形,

∴∠GEF=60°,

∴∠EGF=30°,

∵EG=2,

∴EF=1,

又∵AE=ED=3,

∴CF=AF=4,

∴AC=8,EC=5,

∴BC=5,

作BM⊥AC于点M,∵∠BCM=60°,

∴∠MBC=30°,

∴CM=,BM=∴AM=AC﹣CM=

∴AB=, =7.

=,

点评: 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识,得出CM,BM的长是解题关键.

26.(8分)(2014年黑龙江哈尔滨)荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒,已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元,若用400元购买台灯和用160元购买手电筒,则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半.

(1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元?

(2)经商谈,商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠,如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个,且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元,那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯?

考点: 分式方程的应用;一元一次不等式的应用.

分析: (1)设购买该品牌一个手电筒需要x元,则购买一个台灯需要(x+20)元.则根据等量关系:购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半,列出方程;

(2)设公司购买台灯的个数为a各,则还需要购买手电筒的个数是(2a+8)个,则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式.

解答: 解:(1)设购买该品牌一个手电筒需要x元,则购买一个台灯需要(x+20)元. 根据题意 得

解得 x=5

经检验,x=5是原方程的解.

所以 x+20=25.

答:购买一个台灯需要25元,购买一个手电筒需要5元;

(2)设公司购买台灯的个数为a,则还需要购买手电筒的个数是(2a+8)

由题意得 25a+5(2a+8)≤670

解得 a≤21

所以 荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯.

点评: 本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量(不等量)关系.

27.(10分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,在平面直角坐标中,点O为坐标原点,直线y=

2﹣x+4与x轴交于点A,过点A的抛物线y=ax+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B,且点B

的横坐标为1.

(1)求a,b的值;

(2)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,过点P作PF⊥MC于点F,设PF的长为t,MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);

(3)在(2)的条件下,当S△ACN=S△PMN时,连接ON,点Q在线段BP上,过点Q作QR∥MN交ON于点R,连接MQ、BR,当∠MQR﹣∠BRN=45°时,求点R的坐标.

考点: 二次函数综合题.

分析: (1)利用已知得出A,B点坐标,进而利用待定系数法得出a,b的值;

(2)利用已知得出AD=BD则∠BAD=∠ABD=45°,进而得出tan∠BOD=tan∠MPF,故MF=3PF=3t,即可得出d与t的函数关系;

==3,

(3)首先利用S△ACN=S△PMN,则AC=2t,得出AC=2t,CN=2t,则M(4﹣2t,6t),求出t的值,进而得出△PMQ∽△NBR,求出R点坐标. 解答: 解:(1)∵y=﹣x+4与x轴交于点A,

∴A(4,0),

∵点B的横坐标为1,且直线y=﹣x+4经过点B, ∴B(1,3),

∵抛物线y=ax+bx经过A(4,0),B(1,3), ∴

解得:, , 222

∴a=﹣1,b=4;

(2)如图,作BD⊥x轴于点D,延长MP交x轴于点E, ∵B(1,3),A(4,0),

∴OD=1,BD=3,OA=4,

∴AD=3,

∴AD=BD,

∵∠BDA=90°,∠BAD=∠ABD=45°,

∵MC⊥x轴,∴∠ANC=∠BAD=45°,

∴∠PNF=∠ANC=45°,

∵PF⊥MC,∴∠FPN=∠PNF=45°,

∴NF=PF=t,

∵∠DFM=∠ECM=90°,∴PF∥EC,

∴∠MPF=∠MEC,

∵ME∥OB,∴∠MEC=∠BOD,

∴∠MPF=∠BOD,

∴tan∠BOD=tan∠MPF, ∴

==3,

∴MF=3PF=3t,

∵MN=MF+FN,

∴d=3t+t=4t;

(3)如备用图,由(2)知,PF=t,MN=4t,

∴S△PMN=MN×

PF=×4t×t=2t,

∵∠CAN=∠ANC,

∴CN=AC,

∴S△ACN=AC,

∵S△ACN=S△PMN, 22

∴AC=2t,

∴AC=2t,∴CN=2t,

∴MC=MN+CN=6t,

∴OC=OA﹣AC=4﹣2t,

∴M(4﹣2t,6t),

由(1)知抛物线的解析式为:y=﹣x+4x,

2将M(4﹣2t,6t)代入y=﹣x+4x得:

2﹣(4﹣2t)+4(4﹣2t)=6t,

解得:t1=0(舍),t2=,

PF=NF=,AC=CN=1,OC=3,

MF=,PN=

∵AB=3,

∴BN=2,

作NH⊥RQ于点H,

∵QR∥MN,

∴∠MNH=∠RHN=90°,

∠RQN=∠QNM=45°,∴∠MNH=∠NCO,

∴NH∥OC,

∴∠HNR=∠NOC,

∴tan∠HNR=tan∠NOC, ∴

==, ,PM=,AN=, 222

设RH=n,则HN=3n,

∴RN=n,QN=3n,

∴PQ=QN﹣PN=3

∵ON=OB===n﹣, , ,

∴OB=ON,∴∠OBN=∠BNO,

∵PM∥OB,

∴∠OBN=∠MPB,

∴∠MPB=∠BNO,

∵∠MQR﹣∠BRN=45°,∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°, ∴∠BRN=∠MQP,

∴△PMQ∽△NBR, ∴

=, ∴

=,

解得:n=,

∴R的横坐标为:3﹣∴R(,).

=,R的纵坐标为:1﹣=,

点评: 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识,得出△PMQ∽△NBR,进而得出n的值是解题关键.

28.(10分)(2014年黑龙江哈尔滨)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC⊥BD,∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠BAD=3∠CBD.

(1)求证:△ABC为等腰三角形;

(2)M是线段BD上一点,BM:AB=3:4,点F在BA的延长线上,连接FM,∠BFM的平分线FN交BD于点N,交AD于点G,点H为BF中点,连接MH,当GN=GD时,探究线段CD、FM、MH之间的数量关系,并证明你的结论.

考点: 相似形综合题.

分析: (1)根据等式的性质,可得∠APE=∠ADE,根据等腰三角形的性质,可得∠PAD=2β,根据直角三角形的性质,可得∠AEB+∠CBE=90°,根据等式的性质,可得∠ABC=∠ACB,根据等腰三角形的判定,可得答案;

(2)根据相似三角形的判定与性质,可得∠ABE=∠ACD,根据等腰三角形的性质,可得∠GND=∠GDN,根据对顶角的性质,可得∠AGF的度数,根据三角形外角的性质,∠AFG的度数,根据直角三角形的性质,可得BF与MH的关系,根据等腰三角形的性质,可得

∠FRM=∠FMR,根据平行线的判定与性质,可得∠CBD=∠RMB,根据相似三角形的判定与性质,可得,根据线段的和差,可得BR=BF﹣FR,根据等量代换,可得答案. 解答: (1)证明:如图1,作∠BAP=∠DAE=β,AP交BD于P,

设∠CBD=α,∠CAD=β,

∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,

∴∠APE=∠ADE,AP=AD.

∵AC⊥BD

∴∠PAE=∠DAE=β,

∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.

∵∠BAD=3∠CBD,

∴3β=3α,β=α.

∵AC⊥BD,

∴∠ACB=90°﹣∠CBE=90°﹣α=90°﹣β.

∵∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°﹣β,

∴∠ACB=∠ABC,

∴△ABC为等腰三角形;

(2)

2MH=FM+CD.

证明:如图2,

由(1)知AP=AD,AB=AC,∠BAP=∠CAD=β,

∴△ABP∽△ACD,

∴∠ABE=∠ACD.

∵AC⊥BD,

∴∠GDN=90°﹣β,

∵GN=GD,

∴∠GND=∠GDN=90°﹣β,

∴∠NGD=180°﹣∠GND﹣∠GDN=2β.

∴∠AGF=∠NGD=2β.

∴∠AFG=∠BAD﹣∠AGF=3β﹣2β=β.

∵FN平分∠BFM,

∴∠NFM=∠AFG=β,

∴FM∥AE,

∴∠FMN=90°.

∵H为BF的中点,

∴BF=2MH.

在FB上截取FR=FM,连接RM,

∴∠FRM=∠FMR=90°﹣β.

∵∠ABC=90°﹣β,

∴∠FRM=∠ABC,

∴RM∥BC,

∴∠CBD=∠RMB.

∵∠CAD=∠CBD=β,

∴∠RMB=∠CAD.

∵∠RBM=∠ACD,

∴△RMB∽△DAC, ∴

∴BR=CD.

∵BR=BF﹣FR,

∴FB﹣FM=BR=CD,

FB=FM+CD.

2MH=FM+CD.

点评: 本题考查了相似形综合题,(1)利用了等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,直角三角形的性质;(2)相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质,三角形外角的性质,平行线的判定与性质,利用的知识点多,题目稍有难度,相似三角形的判定与性质是解题关键.

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