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遂宁中学高校自主招生辅导数学训练题1

遂宁中学高校自主招生辅导数学训练题1


遂宁中学高校自主招生辅导数学训练题(一)
时间:90 分钟 满分:100 分 一.选择题((每小题 5 分,共 50 分) (1)向量 a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b 的夹角为 ? ? 2? 5? (A) (B) (C) (D) 6 3 3 6 (2)已知 sin2(?+?)=nsin2?,则 (A)
tan(? ? ? ? ? ) 等于 tan(? ? ? ? ? )

n ?1 n n n ?1 (B) (C) (D) n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 (3)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点,F 是棱 A1B1 上的点,且 A1F: FB1=1:3,则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为

(A)

15 3

(B)

15 5

(C)

5 3

(D)

5 5

(4)i 为虚数单位,设复数 z 满足|z|=1,则 (A) 2 -1 (B)2- 2

z 2 ? 2z ? 2 的最大值为 z ?1 ? i
(C) 2 +1 (D)2+ 2

(5)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,△ABC 三个顶点都在抛物线上, 且△ABC 的重心为抛物线的焦点,若 BC 边所在直线的方程为 4x+y-20=0,则抛 物线方程为 (A)y2=16x (B)y2=8x (C)y2=-16x (D)y2=-8x (6)在三棱锥 ABC—A1B1C1 中,底面边长与侧棱长均等于 2,且 E 为 CC1 的中点,则 点 C1 到平面 AB1E 的距离为 (A) 3 (7)若关于 x 的方程 (B) 2 (C)
3 2

(D)

2 2

|x| =kx2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为( x?4 1 1 (A)(0,1) (B)( ,1) (C)( ,+∞) (D)(1,+∞) 4 4 (8)如图,△ABC 内接于⊙O,过 BC 中点 D 作平行于 AC 的直线 l, l 交 AB 于 E,交⊙O 于 G、F,交⊙O 在 A 点的切线于 P,若 PE=3, ED=2,EF=3,则 PA 的长为

)

(A) 5 (C) 7

(B) 6 (D)2 2

(9)数列{an}共有 11 项,a1=0,a11=4,且|ak+1-ak|=1,k=1,2,…, 10.满足这种条件的不同数列的个数为( )
1

(A)100

(B)120

(C)140

(D)160
2? 的旋转,?表示坐标平面关 7

(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为

于 y 轴的镜面反射.用??表示变换的复合,先做?,再做?,用?k 表示连续 k 次的 变换,则???2??3??4 是( (A)?
4

)
5

(B)?

(C)?2?

(D)??2

二解答题(每小题 10 分,共 50 分) (11)设数列{an}满足 a1=a,a2=b,2an+2=an+1+an. (Ⅰ)设 bn=an+1-an,证明:若 a≠b, 则{bn}是等比数列; (Ⅱ)若 lim (a1+a2+…+an)=4,求 a,b 的值.
n??

(12)在△ABC 中,AB=2AC,AD 是 A 的角平分线,且 AD=kAC. (Ⅰ)求 k 的取值 范围; (Ⅱ)若 S△ABC=1,问 k 为何值时,BC 最短?

(13)已知椭圆的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆与直线 y=x- 3 相 切. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1 作两条互相垂直的直线 l1,l2,与椭圆分别 交于 P,Q 及 M,N,求四边形 PMQN 面积的最大值与最小值.

(14)一袋中有 a 个白球和 b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放 回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复 n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为 Xn. (Ⅰ)求 EX1; (Ⅱ)设 P(Xn=a+k)=pk, 1 求 P(Xn+1=a+k),k=0,1,…,b; (Ⅲ)证明:EXn+1=(1)EXn+1. a?b

(15)( Ⅰ ) 设 f(x)=xlnx , 求 f ′ (x) ; ( Ⅱ ) 设 0<a<b , 求 常 数 C , 使 得 1 b | l nx ? C |d x 取得最小值; (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为 ma,b,证明:ma,b<ln2. b ? a ?a

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