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2.4.1-平面向量数量积的物理背景及其含义课件-新人教A版必修4

2.4.1-平面向量数量积的物理背景及其含义课件-新人教A版必修4


2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义

学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及 其物理意义;(重点) 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数

量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行相关的
判断和运算.(重点、难点)

我们学过功的概念,即一个物体在力 力 所做的功W应当怎样计算?
F

的作用下产生位移 ,

θ
S

W=| || |cosθ

其中θ是 与 的夹角.

功是一个标量,是一个数量,它由力和位移两个 向量来确定.这给我们一种启示,能否把“功”看成这

两个向量的一种运算的结果呢?
从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的

概念.

课堂探究
探究一数量积的定义

? 已知两个非零向量 与 b ,我们把数量 ? 叫做 与 b的数量积(或内积).
记作 其中θ 是 的夹角.

规定:零向量与任一向量的数量积为0.

思考1:向量的数量积是一个数量,那么它什么时 候为正,什么时候为负?
? ? 当 0 ? a , b ? 90? 时,它为正值;
?

? ? ? 当 a , b ? 90 时,它为0;

? ? 当 90 ? a , b ? 180? 时,它为负值.
?

探究二投影的概念 ? ? ? ? b cos ? ( a cos ? ) 叫做向量 b在 a方向上(向量
? ? 在 b方向上)的投影. a
投影也是一个数量,不是向量. B

B
?

B
?

B1 A

B1 O

O (B1) A

A

当?为锐角时 投影为正值;

当?为钝角时 当?为直角时 投影为负值; 投影为0;

探究三数量积的几何意义
? ? ? ? ? ? 向量 a与 b的数量积等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方
? 向上投影 b cos ? 的积.
还有其它说法吗?

? ? ? 向量 a 与 b的数量积等于 b 的长度 ? 向上投影 a cos ? 的积.

? ? b 与 a在

? b方

探究四数量积的性质:

? ? ? ? ? ? ? 例1. 已知 a ? 5, b ? 4, a与b的夹角? ? 120 ,求a ? b.

? ? ? ? 解: a ? b ? a b cos ?
? 5 ? 4 ? cos120?
1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10.

探究五向量数量积的运算律

(交换律)
(数乘结合律) (分配律)

? ? (2)c ? 0 时不成立.

?? 例2.对任意向量a, b,是否有以下结论: ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1) a+b =a +2a ? b+b ; ? ? ? ? ?2 ?2 (2) a+b ? a-b =a -b 。

? ?

? ??

?

解:有; ? ? 2 ? ? ? ? (1) a+b = a+b ? a+b ? ? ? ? ? ? ? ? =a ? a+a ? b+b ? a+b ? b ?2 ? ? ?2 =a +2a ? b+b ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) a+b ? a ? b =a ? a ? a ? b+b ? a ? b ? b ?2 ?2 =a ? b 。

?

? ?

??

?

? ??

?

? ? ? ? 解:(a ? 2b) ( ? a ? 3b) ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? a ? b ? 6b ? b

?2 ? ? ?2 ?| a | ?a ? b ? 6 | b | ? 2 ? ? ? 2 ?| a | ? | a || b | cos60° ? 6 | b |
? 36 ? 12 ? 96 ? ?72.

? ? ? ? 例4. 已知 a ? 3, b ? 4,且a与b不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量a ? kb与a ? kb 互相垂直?
? ? ? ? 解: ? (a ? kb)( ? a ? kb) , ? ? ? ? ? (a ? kb) ? (a ? kb) ? 0. ?2 ?2 2 又? a ? 3 ? 9, b ? 42 ? 16,

? 9 ? 16k 2 ? 0.
3 ?k ? ? . 4 ? ? ? ? 3 即k ? ? 时, a ? kb与a ? kb互相垂直. 4

课本106页练习

做学案上的当堂检测

本节课主要学习了:

(1)向量的夹角;
(2)向量的射影; (3)向量的数量积; (4)向量的数量积的几何意义和物理意义; (5)向量的数量积的性质和运算律.



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