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高二文科数学第一学期期中考试试题及答案

高二文科数学第一学期期中考试试题及答案

郑州市第四中学 2014—2015 学年上期高二年级期中考试 数学(文科)试卷
试卷说明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共1页,第Ⅱ卷共1页。 共150分。考试时间120分钟。

8. 有下面四个判断:其中正确的个数是(

)

① 命题:“设 a 、 b ? R ,若 a ? b ? 6 ,则 a ? 3或b ? 3 ”是一个真命题 ② 若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题 ③ 命题“ ?a 、 b ? R, a ? b ? 2(a ? b ? 1) ”的否定是:“ ?a 、 b ? R, a ? b ? 2(a ? b ? 1) ”
2 2 2 2

第Ⅰ 卷(选择题
答案的选项填涂在答题卡上)

共60分)

A.0

B.1

C.2

D.3

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确

9.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面积为 A.2 2 B.8 2 C. 2 D. 2 2 )

1.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x ? 0 ,则(
2

)

10. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 14,3an ? 3an?1 ? 2 ,则使 an an? 2 ? 0 成立的 n 值是( A.19 B.20 C.21 D.22

A. 命题 p ? (?q) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 C. 命题 p ? q 是假命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题 2.在⊿ABC 中,A=45°,B=60°,a=2,则 b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D. 2 6 ) D.3 D. log2 a ? log2 b ( D. 8( ) )

11.已知平面区域 D 由以 A(1,3) 、B(5,2) 、C(3,1)为顶点的三角形内部和外界组成。 若在区域 D 内有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z ? x ? my 取得最小值,则 m=( ) A. ? 2 12 B. ? 1 C. 1 D. 4

3.若等差数列 ?an ? 的前 5 项和 S5 ? 30 ,且 a2 ? 7 ,则 a7 ? ( A.0 B.1 4.若 a ? b ,则下列各式中正确的是( A. a 2 ? b 2
3 3 B. a ? b

C.2 ) C.

1 1 ? a b

5.已知等比数列 {an } 的前三项依次为 a ? 2, a ? 2, a ? 8, 则an = A. 8( )

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案直接答在答题卷上)
13、 已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80 处, 且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km,B 船在灯塔 C 北偏西 40 处, A 、 B 两船间的距离为 3km,则 B 船到灯塔 C 的距离为____________km。 14.在△ ABC 中,若 b=2a,B=A+60° ,则 A=______
o

3 2

n

B. 8( )

2 3

n

C. 8( )

2 3

n ?1

3 2

n ?1

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? 6.若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为 ? ? ?x ? m
A.-1 B.1
2

o





C.

3 2

D.2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 15. 若线性目标函数 z=x+y 在线性约束条件 ? 2 x ? y ? 0 下取得最大值时的最优解只有一个, ? y?a ?
则实数 a 的取值范围是______________ 16、已知数列 ?an ? 是递减数列,且对任意 n ? N ,都有 an ? n ? ?n 恒成立,则实数 ? 的取值
?

7. 已知“命题 p: ?x ∈ R,使得 ax ? 2x ? 1 ? 0 成立”为真命题,则实数 a 满足( ) A.[0,1) B.

2

(??,1]

C.[1,+∞)

D. (??,1)
1

范围是

.

20. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式 (kx ? k 2 ? 4)( x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R . (1)当 k ? 1 时,求不等式的解集; (2)当 k 变化时,试求不等式的解集 A.

三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18-22 题每小题 12 分,共 70 分.把答案直 接答在答题卷上)
17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

21. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 .
o

. ? an ? n ? an ( n ? N * )

(1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; , 其中 m ,n 分别是 ?MCA ,?MAB
* * (3)设 bn ? (2 ? n)(an ?1) ( n ? N ) ,如果对任意 n ? N ,都有 bn ?

(1)求 ?ABC 的面积; (2) 设 M 是 ?ABC 内一点,S ?MBC 的面积,求

1 ? , 设 f( M) ? (mn ,) 2

t ,求正整数 t 的最小值. 5

1 4 ? 的最小值. m n

22.(本小题满分 12 分) 已知 y ? f ( x) , f ( ) ? 4 ,对任意实数 x , y 满足: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 3

1 2
*

19. (本小题满分 12 分)在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向, 距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船, 在A 处北偏西 75° 方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私 船,奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船,此 时走私船正以 10 海里/小时的速度,从 B 处向北偏 东 30° 方向逃窜.问:缉私船应沿什么方向行驶才能 最快截获走私船?并求出所需时间.

(Ⅰ)当 n ? N 时求 f ( n) 的表达式; (Ⅱ)若 b1 ? 1, bn?1 ?

bn (n ? N * ) ,求 bn ; 1 ? bn ? f (n ? 1)

(III)记 c n ? 4 bn (n ? N * ) ,试证 c1 ? c2 ? ? ? c2014 ? 89 .

2

郑州市第四中学 2014—2015 学年上期高二年级期中考试 数学(理科)答案
一\选择题

∴sin∠ABC=

AC· sinA 2· sin120° 2 = = , BC 2 6

∴∠ABC=45° ,∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90° +30° =120° . 在△BCD 中,由正弦定理,得

AACBD
二\填空题 13、

BDACC CB
15、 a ? 2 16、 (??,?3)

BD CD = , sin∠BCD sin∠CBD ∴sin∠BCD= BD· sin∠CBD 10t· sin120° 1 = =2, CD 10 3t

6 -1

14 、 30o

三解答题 17.略

∴∠BCD=30° ,∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶. 又在△BCD 中,∠CBD=120° ,∠BCD=30° , ∴∠D=30° ,∴BD=BC,即 10t= 6.
(3 分) (6 分)

18.解: (1)由题意可知: AB ? AC ? AB ? AC ? cos ?BAC ? 2 3
可得 AB ? AC ? 4 因此 S ?ABC ?

6 ∴t= 10 小时. 6 ∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶,才能最快截获走私船,需要 10 小时. 20.解: (1)当 k ? 1 时,不等式为: ( x ? 5) ? ( x ? 4) ? 0
解得: x ? 5 或 x ? 4 ,即 x ? (??, 4)

1 ? AB ? AC ? sin ?BAC ? 1 2 1 , 2

文科: (2)由于 S?ABC ? S?MBC ? S?MCA ? S?MAB ,且 S ?MBC ? 则 S ?MCA ? S ?MAB ?

1 1 ,即 m ? n ? (8 分) 2 2 1 4 1 4 1 1 4 故 ? ? 2( ? ) ? ? 2( ? ) ? ( m ? n) m n m n 2 m n n 4m 1 4 ? 2(1 ? ? ? 4) ? 2 ? (5 ? 4) ? 18 ,即 min( ? ) ? 18 m n m n n 4m 1 1 当且仅当 ? ,即 n ? , m ? 时取等号 (12 分) m n 3 6 19. 解:设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则 CD=

(5, ??)

(4 分)

(2)当 k 变化时,可对 k 的取值分类讨论: ①当 k ? 0 时,不等式为: ?4( x ? 4) ? 0 ,解得: x ? 4 ,即 A ? (??, 4) 当 k ? 0 时,不等式可化为: k ( x ? (6 分)

k2 ? 4 )( x ? 4) ? 0 k

10 3t 海里,BD=10t 海里. 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cosA =( 3-1) +2 -2( 3-1)· 2· cos120° =6,∴BC= 6海里. BC AC 又∵sinA= , sin∠ABC
2 2

②当 k ? 0 时,不等式为: ( x ?

k2 ? 4 k2 ? 4 )( x ? 4) ? 0 ,且 ?4, k k
(8 分)

k2 ? 4 k2 ? 4 ? x ? 4 ,即 A ? ( , 4) 解得: k k
③当 k ? 2 时,

k2 ? 4 ? 4 ,不等式为: ( x ? 4)2 ? 0 , k
(4, ??)
(10 分)

解得: x ? 4 ,即 A ? (??, 4)
3

k2 ? 4 k2 ? 4 ? 4 ,不等式为: ( x ? )( x ? 4) ? 0 ④当 k ? 0 且 k ? 2 , k k
解得: x ?

22.解: (Ⅰ)令 x ? y ?

1 1 1 1 ,得 f (1) ? f ( ? ) ? 2 f ( ) ? 3 ? 5 2 2 2 2

故 f (n ? 1) ? f (n) ? f (1) ? 3 ? f (n) ? 2 ,∴ f (n ? 1) ? f (n) ? 2 (12 分) 当 n ? N * 时 f (n) ? f (1) ? [ f (2) ? f (1)] ? [ f (3) ? f (2)] ? ? ? [ f (n) ? f (n ? 1)] = 5 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 3 (Ⅱ)由 bn ?1 ?

k ?4 k ?4 , ??) 或 x ? 4 ,即 A ? (??, 4) ( k k
2 2

21.解: (1)由题意可知:当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? a1 ,解得: a1 ?

1 2 3 同理可得:当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? 2 ? a2 ,解得: a2 ? 4 7 当 n ? 3 时, a1 ? a2 ? a3 ? 3 ? a3 ,解得: a3 ? 8
*

bn 1 1 1 (n ? N * ) 得 ? ? f (n ? 1) ? ? 2n ? 1 bn?1 bn bn 1 ? bn ? f (n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 2n ? 1 ,故 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? b3 b2 bn bn ?1 bn b2 b1 bn b1

(2)由题意可得: Sn ? n ? an ( n ? N )① 则当 n ? 2 时, Sn?1 ? n ?1 ? an?1 ②式─①式得: 2an ? an?1 ? 1 , 等式两边同时减 2 ,可得: 2(an ? 1) ? an?1 ? 1,即 由于 a1 ? ②



1 bn ?1

?

= 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ∴ bn ?

1 ,n? N* 2 n
4

an ? 1 1 ? an?1 ? 1 2

(III)由(Ⅱ)知 c n ?

bn ?

1 n 2

, c1 ? 1

1 1 ,即 a1 ? 1 ? ? ? 0 , 2 2 1 1 则数列 {an ? 1} 是一个以 ? 为首项, q ? 为公比的等比数列 2 2 1 1 n ?1 (3)由(2)可知 {an ? 1} 为等比数列,则 an ? 1 ? ? ? ( ) 2 2
解得: an ? 1 ? 2? n ( n ? N ) ,故 bn ? (n ? 2)(an ?1) ? (n ? 2) ? 2?n
*



1 n

?

2 n? n

?

n ? n ?1

? 2( n ? n ? 1), (n ? N * , n ? 2)

∴ c1 ? c2 ? ?? c2010 ? 1 ? 2( 2 ? 1) ? 2( 3 ? 2 ) ? ?? 2( 2014? 2013 )

? 2 2014 ? 1 ? 2 ? 45 ? 1 ? 89

显然 b1 ? ?

1 , b2 ? 0 ,当 n ? 3 时, bn ? 0 2 1 (3 ? n) 2n ?1

? n ?1 ? (n ? 2) ? 2? n ? 则当 n ? 3 时, bn ?1 ? bn ? (n ? 1) ? 2

由此可得:当 n ? 4 时,数列 {bn } 为单调递减数列,则 b3 ? b4 ? max{bn }
* 因此 ?n ? N ,都有 bn ?

t t 1 ,则 ? max{bn } ? 5 5 8

解得: t ?

5 ,即正整数 t 的最小值为 1 8
4


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