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函数零点存在性定理,DOC

函数零点存在性定理,DOC

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函数零点存在性定理:

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一般地,如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a).f(b)<o,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)

内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=O,这个 c 也就是 f(x)=0 的根.特别提醒:(1)根据该定理,能确定 f(x)在(a,b)内

有零点,但零点不一定唯一.

?(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点,例如,

函数 f(x) =x2 -3x +2 有 f(0)·f(3)>0,但函数 f(x)在区间(0,3)上有两个零点.

?(3)若 f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则 fx)在(a,b)上有唯一的零点.

?

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程 x2-2x +1 =0 在[0,2]上有两个等

根,而函数 f(x)=x2-2x +1 在[0,2]上只有一个零点

??????????????? ②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

(2)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根.
例题 1:

若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,下列结论: (1)函数 f(x)在区间(0,1)内有零点; (2)函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点; (3)函数 f(x)在区间[2,16)内无零点; (4)函数 f(x)在区间(0,16)上单调递增或递减. 其中正确的有 ______(写出所有正确结论的序号).

答案

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由题意可确定 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故在区间[2,16)内无零点. (3)正确, (1)不能确定, (2)中零点可能为 1, (4)中单调性也不能确定. 故答案为:(3)

例题 2:

已知函数

有零点,则实数 的取值范围是(????)

答案:
例题 3: 例题 4:

函数 f(x)=3ax-2a+1 在[-1,1]上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是( )
A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1
答案: 由题意可得 f(-1)×f(1)≤0,解得?

∴(5a-1)(a+1)≥0

∴a≥ 1/5 或 a≤-1

故选 D


例题 5:
若函数 f(x)=x2+log2|x|-4 的零点 m∈(a,a+1),a∈Z,则所有满足条件的 a 的和为(??? )。 答案:-1
例题 6:
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已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,有如下的 x 与 f(x)的对应值表:

x1 2 3 4 5

67

f(x) 132.1 15.4 -2.31 8.72 -6.31 -125.1 12.6 那么,函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有

A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
答案:C

[???? ]

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