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高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)

函数及其表示

(一)知识梳理 1.映射的概念 设 A、B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的任意一个元素 x,在 集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射,记作 f(x). 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的 集合 B 中都有 唯一确定 通常记为___y=f(x),x∈A (2)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x), x ? A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值, 对于的函数值的集合 值域。 所有的集合构成 (3)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1) .图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2) .列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 任意数 x,在

的数 y 和它对应, 则这样的对应关系叫做从 A 到 B 的一个函数,

(二)考点分析 考点 1:映射的概念 例 1.下述两个个对应是 A 到 B 的映射吗? (1) A ? R , B ? { y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ; (2) A ? {x | x ? 0} , B ? { y | y ? R} , f : x ? y ? ? x . 例 2.若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 映射有 个 个, B 到 A 的

例 3.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {?2, ?1, 0,1, 2},如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件:对

M 中的每个元素 x 与它在 N 中的象 f ( x) 的和都为奇数,则映射 f 的个数是( )
( A) 8 个 ( B ) 12 个 (C ) 16 个 ( D ) 18 个

考点 2:判断两函数是否为同一个函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,称这两个函数相等。 例 1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? (2) f ( x) ?

x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ;
x x
, g ( x) ? ?

?1 ?? 1

x ? 0, x ? 0;

(3) f ( x) ?

x
2

x ? 1 , g ( x) ?

x2 ? x ;
2

(4) f ( x) ? x ? 2 x ? 1, g (t ) ? t ? 2t ? 1 (5) f ( x) ? 2n?1 x 2n?1 , g ( x) ? (2n?1 x ) 2n?1 (n∈N ) ;
*

考点 3:求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f ( x ) 题型 1:用待定系数法求函数的解析式 例 1.已知函数 f ? x ? 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 9 x ? 4 ,求 f ? x ? 表达式.

例 2.已知 f ? x ? 是一次函数且 2 f ? 2? ? 3 f ?1? ? 5,2 f ? 0? ? f ? ?1? ? 1, 则f ? x ? ? ( A. 3 x ? 2 ) B. 3 x ? 2 C. 2 x ? 3 D. 2 x ? 3

例 3.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f (x)>2x+5.

例 4.已知 g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为 1,且 f (x)+g(x) 为奇函数,求函数 f(x)的表达式.

题型 2:由复合函数的解析式求原来函数的解析式
2 例 1.已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2 x ? 1) ? 4 x ? 6 x ? 5 ,求 f ( x )

例 2.已知 f

?

x ? 1 ? x ? 1, 则f ? x ? ? _____________。
1? x 1? x2 )= ,则 f ( x ) 的解析式可取为 1? x 1? x2

?

例 3.已知 f (

题型 3:求抽象函数解析式 例 1.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) 例 2、已知: 2 f ( x) ? 3 f (? x) ? x ? 1 ,求 f ? x ? 表达式. 例 3.设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数 , g ( x) 是奇函数 ,且
f ( x) ? g ( x) ? 1 x ? 1 ,求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式.

1 x

考点 4:求函数的定义域 题型 1:求有解析式的函数的定义域 (1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范 围,实际操作时要注意:① 分母不能为 0;② 对数的真数必须为正;③ 偶次根式中被开方数 应为非负数;④ 零指数幂中,底数不等于 0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥ 若解析 式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如果涉及实际问题,还应使 得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题 的定义域不要漏写。 例 1.函数 f ? x ? ?

x2 ? 4 ?

1 的定义域为( x?3



A. ? 2, ? ?? ? ? ??, ? 2? C. ? ??, ? 2? ? ?2,3? ? ?3, ? ?? 例 2、函数 f ( x ) ? A. ?x | x ? 0?

B. ?2,3? ? ?3, ? ?? D. ? ??, ? 2?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是( ) C.

B.

?x | x ? 0?

?x | x ? 0且x ? ?1?

D.

?x | x ? 0且x ? ?1?

题型 2:求复合函数和抽象函数的定义域 例 1.已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f ( x) 的定义域 例 2.已知 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(-2,0) ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域 例 3、已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[-2,3],则 y ? f ?2 x ? 1?的定义域是 _________ 考点 5:求函数的值域 1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, 例 1、 y ? ? x ? 2 x ? 3
2

例 2、 y ? ?2 x 2 ? 8 x ? 5

(1) x ? [?1,1]

(2) x ? [1,4]

(3) x ? [4,8]

(2)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 y ? 例 3、 y ?

2x ? 1 的值域 x ? 2x ? 2
2

2x 2 ? 2x ? 3 x2 ? x ?1

例 4、 y ?

x ?1 x ? x ?1
2

(3)换元法:通过等价转化换成常见函数模型,例如二次函数 例 5、 y ? x ?

1 ? 2x

例 6、 f ( x) ? 2 x ? 3 ?

4 x ? 13

(4)分段函数分别求函数值域, 例 7、 y ? x ? 3 ? x ? 5
2 ? ?2 x ? x (0 ? x ? 3) 例 8、函数 f ( x) ? ? 2 的值域是( ? ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0)



A. R

B. ? ?9, ?? ?

C. ? ?8,1?

D. ? ?9,1?

(5)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 y ? 例 9、 y ?

3x ? 2 的值域 4x ? 3

1? x2 x2 ?1

例 10、设函数 y ? ( )

1 1 1? x

的定义域为 M ,值域为 N ,那么

( A) M ? {x x ? 0}, N ? {y y ? 0}

( B ) M ? {x x ? 0}, N ? {y y ? R}

(C ) M ? {x x ? 0且x ? ?1, 或x ? 0} , N ? {y y ? 0或0 ? y ? 1或y ? 1} ( D ) M ? {x x ? ?1或 ?1 ? x ? 0或x ? 0}, N ? { y y ? 0}

1.2 函数及其表示练习题(2) 一、选择题 1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ⑴ y1 ? ⑵ y1 ? )

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3

x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ;

⑶ f ( x ) ? x , g ( x) ? ⑷ f ( x) ?
3

x2 ;

x 4 ? x3 , F ( x) ? x 3 x ?1 ;

⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) 2 , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 . A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸

2. 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( A.



1

B.

0

C.

0 或1

D.

1或 2

4 2 3. 已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N * , x ? A, y ? B

?

?

使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a , k 的值分别为( A.



2, 3

B.

3, 4

C.

3, 5

D.

2, 5

? x ? 2( x ? ?1) ? 4. 已知 f ( x) ? ? x 2 ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?
A.



1

B.

1或

3 2

C.

1,

3 或? 3 2

D.

3

5. 为了得到函数 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移, 这个平移是( )

A. 沿 x 轴向右平移 1 个单位 C. 沿 x 轴向左平移 1 个单位 6. 设 f ( x) ? ?

1 个单位 2 1 D. 沿 x 轴向左平移 个单位 2
B. 沿 x 轴向右平移 )

? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)

二、填空题

?1 x ? 1( x ? 0), ? ?2 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 1. 设函数 f ( x) ? ? 1 ? ( x ? 0). ? ?x
2. 函数 y ?

.

x?2 的定义域 x2 ? 4
2

.

3. 若二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2, 0), B(4, 0) , 且函数的最大值为 9 , 则这个二次函数的表达式是 4. 函数 y ? .

( x ? 1) 0 x ?x
2

的定义域是_____________________.

5. 函数 f ( x) ? x ? x ? 1的最小值是_________________.

三、解答题 1. 求函数 f ( x) ?
3

x ?1 的定义域. x ?1

2. 求函数 y ?

x 2 ? x ? 1 的值域.

3.

又 y ? x12 ? x22 , x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(m ?1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,

求 y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域.

4.

b 的值. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 , 求a、
2

天 · 星 o

T 天 · 星 o e s o o n

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