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高端讲义——集合论——教师版

高端讲义——集合论——教师版


集合论
【例 01】(2012 年北京市高考试题)设 A 是由 m× 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值 n 不大于 1 且所有数的和为零,记 S(m,n)为所有这样的数表构成的集合. 对于 A∈S(m,n),我们记 ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(1≤i≤m),Cj(A)为 A 的第 j 列各数之和 (1≤j≤n). 记 K(A)为|r1(A)|,|r2(A)|,?,|rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,?,|Cn(A)|中的最小值. (1)对如下数表 A,求 K(A)的值. 1 0.1 1 -0.3 -0.8 -1

(2)设数表 A∈S(2,3)形如下表,求 K(A)的最大值. 1 a 1 b c -1

(3)给定正整数 t,对于所有的 A∈S(2,2t+1),求 K(A)的最大值. 20.(1)由题意可知 r1 ? A? ? 1.2 , r2 ? A? ? ?1.2 , c1 ? A? ? 1.1 , c2 ? A? ? 0.7 , c3 ? A? ? ?1.8 ∴ k ? A? ? 0.7 若 k ? A? ? 1 (2)先用反证法证明 k ? A?≤ : 1 则 | c1 ? A? |?| a ? 1|? a ? 1 ? 1 ,∴ a ? 0 由题目所有数和为 0 ∴ k ? A?≤ . 1

同理可知 b ? 0 ,∴ a ? b ? 0 即 a ? b ? c ? ?1

∴ c ? ?1 ? a ? b ? ?1 与题目条件矛盾

易知当 a ? b ? 0 时, k ? A? ? 1 存在

∴ k ? A? 的最大值为 1

另解:因为数表中所有数和为 0,? a ? b ? c ? ?1 , a ? b ? ?c ? 1 ? 0 , c ? ?1 ? a ? b

r1 ( A) ? 1 ? a ? b , r2 ( A) ? 1? a ? b , c1 ( A) ? 1? a , c2 ( A) ? 1 ? b , c3 ( A) ? 2 ? a ? b
? k ( A) ? 1 ? a 或? k ( A) ? 1 ? b ,当 a ? b ? 0 , c ? ?1 时, k ? A? 取到最大值 1.
(3) k ? A? 的最大值为

2t ? 1 2t ? 1 .首先构造满足 k ( A) ? 的 A ? {ai , j }(i ? 1, 2, j ? 1, 2,..., 2t ? 1) : t?2 t?2 t ?1 , t?2

a1,1 ? a1,2 ? ... ? a1,t ? 1, a1,t ?1 ? a1,t ? 2 ? ... ? a1,2 t ?1 ? ?

a2,1 ? a2,2

t 2 ? t ?1 ? ... ? a2,t ? , a2,t ?1 ? a2,t ?2 ? ... ? a2,2t ?1 ? ?1 . t (t ? 2)
2t ? 1 , t?2

经计算知, A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且 | r1 ( A) |?| r2 ( A) |?

t 2 ? t ?1 t ? 1 2t ? 1 | c1 ( A) |?| c2 ( A) |? ... ?| ct ( A) |? 1 ? ?1? ? , t (t ? 2) t ?2 t ?2
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| ct ?1 ( A) |?| ct ? 2 ( A) |? ... ?| c2t ?1 ( A) |? 1 ?
下面证明

t ? 1 2t ? 1 ? . t?2 t?2

2t ? 1 2t ? 1 是最大值. 若不然,则存在一个数表 A ? S (2, 2t ? 1) ,使得 k ( A) ? x ? . t?2 t?2

由 k ( A) 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于

x ,而两个绝对值不超过 1 的数的和,其

绝对值不超过 2,故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 [ x, 2] 中. 由于 x ? 1 ,故 A 的每一列两个数 符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 x ? 1 . 设 A 中有 g 列的列和为正,有 h 列的列和为负,由对称性不妨设 g ? h ,则 g ? t , h ? t ? 1 . 另外, 由对称性不妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负. 考虑 A 的第一行,由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t ? 1 个负数,每个正数的绝对 值不超过 1(即每个正数均不超过 1),每个负数的绝对值不小于 x ? 1 (即每个负数均不超过 1 ? x ). 因此

| r1 ( A) |? r1 ( A) ? t ?1 ? (t ?1)(1 ? x) ? 2t ?1 ? (t ?1) x ? x ? ? 2t ?1 ? (t ? 2) x ? ? x ,
故 A 的第一行行和的绝对值小于

x ,与假设矛盾.

【例 02】(2010 年北京市高考试题)集合 Sn ? {X | X ? ( x1 , x2 , ??? , xn ) , xi ?{0 , 1} , i ? 1 , 2 , ??? ,

n}(n ? 2) ,对于 A ? (a1 , a2 , ??? , an ) 、 B ? (b1 , b2 , ??? , bn ) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为:

A ? B ? (| a1 ? b1 | , | a2 ? b2 | , ??? , | an ? bn |) ;A 与 B 之间的距离 d ( A , B) ? ? ai ? bi .
i ?1

n

(1)证明: ? A , B , C ? Sn ,有 A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C , B ? C ) ? d ( A , B ) . (2)证明: ? A , B , C ? Sn , d ( A , B ) 、 d ( A , C ) 、 d ( B , C ) 三个数中至少有一个是偶数. (3)设 P ? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d ( P) ,求证 d ( P) ≤

mn . 2(m ? 1)

(20)(共 13 分)证明:(I)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn 因为 ai , bi ??0,1 ,所以 ai ? bi ??0,1? , (i ? 1, 2,..., n) ? 从而 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn 又 d ( A ? C, B ? C ) ?

?|| a ? c |? | b ? c ||
i ?1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) . ,

当 ci ? 0 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?|| ai ? bi | ; Page 2 of 13

当 ci ? 1 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |?| ai ? bi | 所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

?| a ? b | ? d ( A, B)
i ?1 i i

n

(II)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn

d ( A, B) ? k , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .
记 O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(I)可知 d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k

d ( A, C ) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 | bi ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 的 1 的个数为 l . 设 t 是使 | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数. (III) d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B) ,其中 ? d ( A, B) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,
A, B?P

设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个 0,则

A, B?P

?

d ( A, B) = ? ti (m ? ti )
i ?1

n

由于 ti (m ? ti ) ?

m2 nm 2 (i ? 1, 2,..., n) 所以 ? d ( A, B) ? 4 4 A, B?P ,

1 从而 d ( P) ? 2 Cm

nm mn ?P d ( A, B) ? 4C 2 ? 2(m ?1) A, B? m

2

【例 03】(2009 年北京市高考试题)已知数集 A ? ?a1 , a2 , ? , an ? ?1 ? a1 ? a2 ??an , n ? 2? 具有性 质 P :对任意的 i 、 j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(1)分别判断数集 ?1 , 3 , 4? 与 ?1 , 2 , 3 , 6? 是否具有性质 P 并说明理由. (2)求证 a1 ? 1 且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an . ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1

(3)证明:当 n ? 5 时, a1 、 a2 、 a3 、 a4 、 a5 成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题. (Ⅰ)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 都属于数集 ?1,2,3,6? ,∴该数集具有性质 P. 2 3 1 2 3 6

由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , ,

(Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,?an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an
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由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A .从而 1 ?

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,?, n? . 由 A 具有性质 P 可知 又 ∵

an ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? . ak
, ∴

an a a a ? n ??? n ? n an an ?1 a2 a1

an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an an an?1 a2 a1



w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从 而

an a a a a ? a2 ? ? ? an ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an , ∴ ?11 ?1 ? an . ? an an?1 a2 a1 a1 ? a2 ? ? ? an 1
a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 , a4 a3 a4 ?A. a3

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2 a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A ,由 A 具有性质 P 可知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 由 a2a4 ? a3 ,得

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a2 a3 a3 a2



a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列..k.s.5. a4 a3 a2 a1

2 3 【例 04】(2012 年西城区第一次模拟考试试题)已知集合 A ? x | x ? a0 ? a1 ? 3 ? a2 ? 3 ? a3 ? 3 ,其中

?

?

ak ??0 , 1 , 2?? k ? 0 , 1 , 2 , 3? 且 a3 ? 0 ,则 A 中所有元素之和等于
答案: 2889

.

【例 05】(2012 年海淀区第一次模拟考试试题)对于集合 M,定义函数 f M ( x) ? ?

??1( x ? M ) .对于两个集合 1( x ? M ) ?

M、N,定义集合 M ?N ? {x f M ( x) ? f N ( x) ? ?1} .已知 A ? ?2 , 4 , 6 , 8 , 10? , B ? ?1 , 2 ,

4 , 8 , 16? .
(1)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A? B . (2)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card( X ?A) ? Card( X ?B) 的最小值. (3)有多少个集合对(P,Q)满足 P 、 Q ? A ? B 且 ( P?A)?(Q?B) ? A?B ?

(20)(本小题满分 14 分)解:(Ⅰ) f A (1)=1 , f B (1)= -1 , A?B ? {1,6,10,16} .??3 分 Page 4 of 13

(Ⅱ)根据题意可知:对于集合 C , X ,①若 a ? C 且 a ? X ,则 Card (C?( X ? {a}) ? Card (C ?X ) ? 1 ;② 若 a ? C 且 a ? X ,则 Card (C?( X ? {a}) ? Card (C ?X ) ? 1. 所以 要使 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,10,16 是否属于 X 不 影响 Card ( X ?A) ? Card (X ?B ) 的值;集合 X 不能含有 A ? B 之外的元素. 当 X 为{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取最小值 4.?8 分 (Ⅲ)因为 A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} ,所以 A?B ? B?A .由定义可知: f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) . 所以 对任意元素 x , f( A?B) ?C ( x) ? f A?B ( x) ? fC ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) ,

f A?( B?C ) ( x) ? f A ( x) ? f B?C ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) .
所以 f( A?B) ?C ( x) ? f A?( B?C ) ( x) .所以 ( A?B)?C ? A?( B?C ) . 由 ( P?A)?(Q?B) ? A?B 知: ( P?Q)?( A?B) ? A?B . 所以 ( P?Q)?( A?B)?( A?B) ? ( A?B)?( A?B) . 所以 P?Q?? ? ? .所以 P?Q ? ? ,即 P = Q . 因为 P, Q ? A ? B ,所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为 27 ? 128 .??14 分

【例 06】(2011 年丰台区第一次模拟考试试题)已知 Sn ? A ? A ? ?a 1 , a2 , ? , an ? , ai ? 0 或 1 , i ? 1 ,

?

2 , ? , n? (n ? 2) ,对于 U 、 V ? Sn , d ?U , V ? 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.
(1)令 U ? ? 0 , 0 , 0 , 0 , 0? ,存在 m 个 V ? S5 ,使得 d ?U , V ? ? 2 ,写出 m 的值. (2)令 W ? (0, 0, 0,? , 0) ,若 U 、 V ? Sn ,求证 d ?U , W ? ? d ?V , W ? ? d ?U , V ? . ?? ? ??
n个 0

(3)令 U ? ? a1 , a2 , ? , an ? ,若 V ? Sn ,求所有 d ?U , V ? 之和.

2 解:(Ⅰ) C5 ? 10 ;??3 分

(Ⅱ)证明:令 u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1 , b2 , b3……bn ) ∵ ai ? 0 或 1, bi ? 0 或 1; 当 ai ? 0 , bi ? 0 时, | ai | ? | bi |? 0 ?| ai ? bi | 当 ai ? 0 , bi ? 1 时, | ai | ? | bi |? 1 ?| ai ? bi | 当 ai ? 1 , bi ? 0 时, | ai | ? | bi |? 1 ?| ai ? bi | 当 ai ? 1 , bi ? 1 时, | ai | ? | bi |? 2 ?| ai ? bi |? 0 故 | ai | ? | bi | ?| ai ? bi | ∴ d (u, w) ? d (v, w) ? (a1 ? a2 ? a3 +?+an ) ?(b1 ? b2 ? b3 +?+bn ) Page 5 of 13

? (| a1 | ? | a2 | ? | a3|+?+|an |) ?(| b1 | ? | b2 | ? | b3|+?+|bn |) ? (| a1 ? b1 | ? | a2 ? b2 | ? | a3 ? b3|+?+|an ? bn |) ? d (u, v)
n

???8 分

(Ⅲ)解:易知 Sn 中共有 2 个元素,分别记为 vk (k ? 1, 2,?, 2n ) v ? (b1 , b2 , b3……bn ) ∵ bi ? 0 的 vk 共有 2 ∴
n?1

个, bi ? 1 的 vk 共有 2

n?1

个.

? d (u, v ) = (2
k ?1 k 2n

2n

n?1

| a1 ? 0 | ?2n?1 | a1 ?1| ?2n?1 | a2 ? 0 | ?2n?1 | a2 ?1 ?+2n?1|an ? 0 | +2n?1|an ?1|) |+

= n? n?1 ??13 分 2 ∴

? d (u, v ) = n?2
k ?1 k

n ?1



r 法二:根据(Ⅰ)知使 d (u, vk ) ? r 的 vk 共有 Cn 个


2n

? d (u, v ) = 0?C
k ?1 k k
n n

2n

0 n

?1? n ? 2? n ??? n? nn C1 C2 C

? d (u, v ) = n?C
k ?1 2n

? (n ?1)? n ?1 ? (n ? 2) ? n ?2 ??? 0? n Cn Cn C0
n ?1

两式相加得

? d (u, v ) = n?2
k ?1 k

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【例 07】(2011 年西城区第二次模拟考试试题)若 A , A2 , ? , Am 为集合 A ? ?1 , 2 , ??? , n? ? n ? 2 且 1

n ? N* ? 的子集,且满足两个条件:
① A ? A2 ??? Am ? A . 1 ②对任意的 ?x , y? ? A ,至少存在一个 i ??1 , 2 , ??? , m? ,使得 Ai ? ? x , y? ? ?x? 或 {y} . 则称集合组 A , A2 , ? , Am 具有性质 P . 1 如图所示,作 n 行 m 列数表,定义数表中的第 k 行第 l 列的数 akl ? ?

?1( k ? Al ) . ?0( k ? Al )

a11
a 21


a12
a 22


? ?

a1m

a2m


a n1

an2

… ?

a nm

(1)当 n ? 4 时,判断下列两个集合组是否具有性质 P .如果是,请画出所对应的表格;如果不是, 请说明理由. 集合组 1: A ? ?1 , 3? , A2 ? ?2 , 3? , A3 ? ?4? . 1 集合组 2: A1 ? ?2 , 3 , 4? , A2 ? ?2 , 3? , A3 ? ?1 , 4? . (2)当 n ? 7 时,若集合组 A , A2 , A3 具有性质 P ,请先画出所对应的 7 行 3 列的一个数表,再 1 依此表格分别写出集合 A , A2 , A3 . 1 (3)当 n ? 100 时,集合组 A , A2 , ? , At 是具有性质 P 且所含集合个数最小的集合组,求 t 的 1 值及 | A | ? | A2 | ??? | At | 的最小值.(其中 | Ai | 表示集合 Ai 所含元素的个数) 1
1 0 1 1 0 0 0 0 1

20.(本小题满分 13 分)(Ⅰ)解:集合组 1 具有性质 P .??1 分 所对应的数表为:??3 分

0 1 0

集合组 2 不具有性质 P .??4 分 因为存在 {2,3} ? ?1,2,3,4} ,有 {2,3} ? A ? {2,3}, {2,3} ? A2 ? {2,3} , {2,3} ? A3 ? ? , 1 与对任意的 {x, y} ? A ,都至少存在一个 i ?{1, 2,3} ,有 Ai ? {x, y} ? {x} 或 {y} 矛盾,所以集合组
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

A1 ? {2,3, 4}, A2 ? {2,3}, A3 ? {1, 4} 不具有性质 P .??5 分
(Ⅱ)??7 分

A1 ? {3, 4,5,7}, A2 ? {2, 4,6,7}, A3 ? {1,5,6,7} .??8 分
(注:表格中的 7 行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同) (Ⅲ)设 A1 , A2 ,?, At 所对应的数表为数表 M , 因为集合组 A1 , A2 ,?, At 为具有性质 P 的集合组, 所以集合组 A1 , A2 ,?, At 满足条件①和②,

由条件①: A ? A2 ??? At ? A ,可得对任意 x ? A ,都 存在 i ?{1, 2,3,?, t} 有 x ? Ai , 1 Page 7 of 13

所以 a xi ? 1 ,即第 x 行不全为 0,所以由条件①可知数表 M 中任意一行不全为 0.??9 分 由条件②知,对任意的 {x, y} ? A ,都至少存在一个 i ?{1, 2,3,?, t} ,使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 {y} ,所 以 a xi , a yi 一定是一个 1 一个 0,即第 x 行与第 y 行的第 i 列的两个 数一定不同. 所以由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同.??10 分 因为由 0,1 所构成的 t 元有序数组共有 2 个,去掉全是 0 的 t 元有序数组,共有 2 ? 1 个,又因数表 M
t t

中任意两行都不完全相同,所以 100 ? 2t ? 1 ,所以 t ? 7 . 又 t ? 7 时,由 0,1 所构成的 7 元有序数组共有 128 个,去掉全是 0 的数组,共 127 个,选择其中的 100 个数组构造 100 行 7 列数表,则数表对应的集合组满足条件①②,即具有性质 P .所以 t ? 7 .??12 分 因为 | A | ? | A2 | ??? | At | 等于表格中数字 1 的个数, 1 所以,要使 | A | ? | A2 | ??? | At | 取得最小值,只需使表中 1 的个数尽可能少, 1
2 而 t ? 7 时,在数表 M 中, 1 的个数为 1 的行最多 7 行; 1 的个数为 2 的行最多 C7 ? 21 行;
3 4 1 的个数为 3 的行最多 C7 ? 35 行; 1 的个数为 4 的行最多 C7 ? 35 行;

因为上述共有 98 行,所以还有 2 行各有 5 个 1 , 所以此时表格中最少有 7 ? 2 ? 21 ? 3 ? 35 ? 4 ? 35 ? 5 ? 2 ? 304 个 1 . 所以 | A | ? | A2 | ??? | At | 的最小值为 304 .??14 分 1 【例 08】(2011 年朝阳区第二次模拟考试试题)对于正整数 a 、 b ,存在唯一一对整数 q 和 r ,使得 a ?

bq ? r ( 0 ? r ? b ).特别地,当 r ? 0 时,称 b 能整除 a ,记作 b | a .已知 A ? ?1 , 2 , 3 , ??? ,

23? .
(1)存在 q ? A 使得 2011 ? 91q ? r (0 ? r ? 91) ,试求 q 、 r 的值. (2)求证:不存在这样的函数 f : A ? ?1 , 2 , 3? ,使得对任意的整数 x1 、 x2 ? A ,若 | x1 ? x2 |

? ?1 , 2 , 3? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
(3)若 B ? A ,Card B ? 12 (Card B 指集合 B 中的元素的个数)且存在 a 、 b ? B , b ? a ,

b | a ,则称 B 为“和谐集”.求最大的 m ? A 使得含 m 的集合 A 的有 12 个元素的任意子集为
“和谐集” ,并说明理由. 20、(本小题满分 14 分)(Ⅰ)解:因为 2011 ? 91? 22 ? 9 ,所以 q ? 22, r ? 9 . ???2 分

( Ⅱ ) 证 明 : 假 设 存 在 这 样 的 函 数 f : A ? {1, 2,3} , 使 得 对 任 意 的 整 数 x, y , 若 | x ? y |?{1, 2,3} , 则

f ( x) ? f ( y ) .设 f (1) ? a , a ?{1, 2,3} , f (2) ? b , b ?{1, 2,3} ,由已知 a ? b ,
由于 | 3 ? 1|? 2,| 3 ? 2 |? 1 ,所以 f (3) ? f (1) , f (3) ? f (2) . 不妨令 f (3) ? c , c ?{1, 2,3} ,这里 c ? a ,且 c ? b , 同理, f (4) ? b ,且 f (4) ? c ,因为 {1, 2,3} 只有三个元素,所以 f (4) ? a . Page 8 of 13

即 f (1) ? f (4) ,但是 | 4 ? 1|? 3 ,与已知矛盾. 因此假设不成立,即不存在这样的函数 f : A ? {1, 2,3} ,使得对任意的整数 x, y ,若 | x ? y |?{1, 2,3} , 则 f ( x) ? f ( y ) . ??8 分

(Ⅲ)当 m ? 8 时,记 M ? {7 ? i | i ? 1,2,? ? ?,16} , N ? {2(7 ? i ) | i ? 1,2,3,4} 记 P ?

CN , M

则 card( P) ? 12 ,显然对任意 1 ≤ i ? j ≤ 16 ,不存在 n ≥ 3 ,使得 7 ? j ? n(7 ? i) 成立. 故 P 是非 “和谐集” ,此时 P ? {8,9,10,11,12,13,14,15,17,19, 21, 23} .同样的,当 m ? 9,10,11,12 时,存在含 m 的 集合 A 的有 12 个元素的子集为非“和谐集”.因此 m ≤ 7 .??10 分 下面证明:含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为“和谐集”. 设 B ? {a1 , a2 ,? ? ?, a11 ,7},若 1,14,21 中之一为集合 B 的元素,显然为“和谐集”. 现考虑 1,14,21 都不属于集合 B ,构造集合 B1 ? {2,4,8,16} , B2 ? {3,6,12} , B3 ? {5,10,20} ,

B4 ? {9,18} , B5 ? {11,22} , B? ? {13,15,17,19,23} .
以上 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑 B? ? B 的情况,也即 B? 中 5 个元素全都是

B 的元素, B 中剩下 6 个元素必须从 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 这 5 个集合中选取 6 个元素,那么至少有一个集合有
两个元素被选,即集合 B 中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述,含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集 B 为“和谐集” ,即 m 的最大值为 7. ??14 分

【例 09】(2011 年丰台区第二次模拟考试试题)用 [ a ] 表示不大于 a 的最大整数.令集合 P ? ?1 , 2 , 3 , 4 ,

5? ,对任意 k ? P 和 m ? N* ,定义 f ? m , k ? ? ?[m
i ?1

5

k ?1 ] ,集合 A ? m k ? 1| m ? N* , i ?1

?

k ? P? ,并将集合 A 中的元素按照从小到大的顺序排列,记为数列 ?an ? .
(1)求 f ?1 , 2? 的值. (2)求 a9 的值. (3)求证:在数列 ?an ? 中,不大于 m0 k0 ? 1 的项共有 f ? m0 , k0 ? 项.

(Ⅰ) f (1, 2) ? [

3 3 3 3 3 ] ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? [ ] ? 1 ? 1 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 .故 f (1, 2) ? 2 .??4 分 2 3 4 5 6

(Ⅱ)因为数列 {an } 是将集合 A ? {m k ? 1 | m ? N*,k ? P} 中的元素按从小到大的顺序排成而成, Page 9 of 13

所以我们可设计如下表格 m k 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ‥‥ ‥‥ ‥‥ ‥‥ ‥‥ ‥‥

m0
‥‥

2 3 4 5
6

2 2 2 3 2 4 2 5
2 6

3 2 3 3 3 4 3 5
3 6

4 2 4 3
‥‥ ‥‥ ‥‥

从上表可知,每一行从左到右数字逐渐增大,每一列从上到下数字逐渐增大. 且 2 ?

3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 3 2 ? 2 5 ? ‥‥

所以 a9 ? 3 2 .??8 分 (Ⅲ)任取 m1 , m2 ?N* , k1 , k2 ? P ,若 m1 k1 ? 1 ? m2 k2 ? 1 ,则必有 m1 ? m2 ,k1 ? k2 . 即在(Ⅱ)表格中不会有两项的值相等. 对于 m0 k0 ? 1 而言,若在(Ⅱ)表格中的第一行共有 m1 的数不大于 m0 k0 ? 1 ,

则 m1

2 ? m0 k0 ? 1 ,即 m1 ?

m0 k0 ? 1 2

,所以 m1 ? [

m0 k0 ? 1 2

],

同理,第二行共有 m2 的数不大于 m0 k0 ? 1 ,有 m2 ? [

m0 k0 ? 1 3

],

第 i 行共有 mi 的数不大于 m0 k0 ? 1 ,有 mi ? [

m0 k0 ? 1 i ?1

].

所以,在数列 {an } 中,不大于 m0 k0 ? 1 的项共有 (若用其他方法解题,请酌情给分)

?[m
i ?1

5

0

k0 ? 1 ] 项,即 f (m0 , k0 ) 项.??13 分 i ?1

【例 10】(2010 年东城区第二次模拟考试试题)已知集合 A ? ?1 , 2 , 3 , 4? ,函数 f ( x ) 的定义域、值域 都是 A ,且对于任意 i ? A , f (i) ? i .设 a1 、 a2 、 a3 、 a4 是 1 、 2 、 3 、 4 的任意一个排列,

? a 定义数表 ? 1 ? f (a1 )

a2 f (a2 )

a3 f (a3 )

a4 ? ? .若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这 f (a4 ) ?
.

是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为

答案:216

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【例 11】(2010 年西城区第二次模拟考试试题) 设集合 S ? ?1 , 2 , ? , 9? ,集合 A ? ?a1 , a2 , a3 ? 是

S 的子集且 a1 、 a2 、 a3 满足 a1 ? a2 ? a3 、 a3 ? a2 ? 6 ,满足条件的子集 A 的个数为
答案:83

.

【例 12】(2010 年海淀区第二次模拟考试试题)给定集合 An ? ?1 , 2 , ? , n? ,映射 f : An ? An 满足: (1)当 i 、 j ? An ?i ? j ? 时, f (i ) ? f ( j ) . (2)任取 m ? An ,若 m ? 2 ,则有 m ?? f (1) , f (2) , ? , f (m)? . 则称映射 f : An ? An 是一个“优映射”. 例如:用表 1 表示的映射是一个“优映射”.

i
f (i )

1 2

2 3

3 1

i
f (i )

1

2 3

3

4

(1)已知 f : A4 ? A4 是一个“优映射” ,请把表 2 补充完整(只需填出一个满足条件的映射). (2)若 f : A2010 ? A2010 是“优映射”且 f (1004) ? 1 ,则 f (1000) ? f (1007) 的最大值为 为 . 答案: ; 2011. . (3)若 f : A ? A 是“优映射”并且 f (i) ? i 的解恰好有 6 个,那么这样的“优映射”的个数 10 10

【例 13】(2010 年丰台区第二次模拟考试试题)对于各数互不相等的正数数组 ?i1 , i2 , ? , in ? ( n 是不小 于 2 的正整数),如果在 p ? q 时有 i p ? iq ,则称“ i p 与 iq ”是该数组的一个“顺序” ,一个数组 中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数” .例如,数组 ? 2 , 4 , 3 , 1? 中有顺序“ 2 , 4 ” 、 “2 ,3 ” ,其“顺序数”等于 2 .若各数互不相等的正数数组 ? a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ? 的“顺 序数”是 4 ,则 ? a5 , a4 , a3 , a2 , a1 ? 的“顺序数”是 .

答案:6

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【例 14】(2011 年西城区高三第一学期期末考试试题)有限集合 P 中元素的个数记作 card( P) .若 card( M )

? 10 , A ? M , B ? M , A ? B ? ? ,并且 card( A) ? 2 、 card( B) ? 3 .如果集合 X 满足

A ? X ? M ,则集合 X 的个数是
Y 的个数是
.(用数字作答)

;若集合 Y 满足 Y ? M 且 A ? Y 、 B ? Y ,则集合

答案: 256 , 672 .

【例 15】(2011 年海淀区高三第一学期期末考试试题)已知集合 M ? ?1, 2 , ? , n?? n?N *? ,若集合

A ? ?a1 , a2 , ? , am? ? M ? m ?N *? ,且对任意的 b ? M ,存在 ai 、 a j ? A?1 ? i ? j ? m? ,
使得 b =

?1ai + ?2a j (其中 ?1 、 ?2 ???1 , 0 , 1? ),则称集合 A 为集合 M 的一个 m 元基底.

(1)分别判断下列集合 A 是否为集合 M 的一个二元基底,并说明理由. ① A = { , 5}, M ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5? . 1 ② A = {2 , 3}, M ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6? . (2)若集合 A 是集合 M 的一个 m 元基底,求证 m(m + 1)

n.

(3)若集合 A 为集合 M ? ?1, 2 , ? , 19? 的一个 m 元基底,求出 m 的最小可能值并写出当 m 取最小值时 M 的一个基底 A .

(20)(本小题满分 14 分)解:(Ⅰ)① A = {1,5} 不是 M = {1, 2,3, 4,5} 的一个二元基底. 理由是 3 ? ?1 ?1 ? ?2 ? 5(?1, ?2 ?{?1,0,1}) ; ② A = {2,3} 是 M = {1, 2,3, 4,5,6} 的一个二元基底. 理由是 1 ? ?1? 2 ? 1? 3, 2 ? 1? 2 ? 0 ? 3,3 ? 0 ? 2 ?1? 3 ,

4 ? 1? 2 ? 1? 2,5 ? 1? 2 ?1? 3,6 ? 1? 3 ?1?3 .??3 分
(Ⅱ)不妨设 a1 < a2 < ? < am ,则 形如 1? ai ? 0 ? a j (1 ? i ? j ? m) 的正整数共有 m 个; 形如 1? ai ? 1? ai (1 ? i ? m) 的正整数共有 m 个;
2 形如 1? ai ? 1? a j (1 ? i ? j ? m) 的正整数至多有 Cm 个;

2 形如 (?1) ? ai ? 1? a j (1 ? i ? j ? m) 的正整数至多有 Cm 个.

又集合 M = {1, 2,3,?, n}含 n 个不同的正整数, A 为集合 M 的一个 m 元基底. Page 12 of 13

2 2 故 m ? m ? Cm ? Cm ? n ,即 m(m ? 1) ? n .???8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 m(m ? 1) ? 19 ,所以 m ? 4 . 当 m = 4 时, m(m + 1) - 19 = 1,即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设 A = {a1 , a2 , a3 , a4} 为 M = {1, 2,3,?,19} 的一个 4 元基底, 不妨设 a1 < a2 < a3 < a4 ,则 a4 ? 10 . 当 a4 = 10 时,有 a3 = 9 ,这时 a2 = 8 或 7 . 如果 a2 = 8 ,则由 1 = 10 - 9,1 = 9 - 8,18 = 9 + 9,18 = 10 + 8 ,与结论*矛盾. 如果 a2 = 7 ,则 a1 = 6 或 5 .易知 A = {6,7,9,10} 和 A = {5,7,9,10} 都不是 M = {1, 2,3,?,19} 的 4 元基底,矛盾. 当 a4 = 11 时,有 a3 = 8 ,这时 a2 = 7 , a1 = 6 ,易知 A = {6,7,8,11} 不是 M = {1, 2,3,?,19} 的 4 元基底,矛盾. 当 a4 = 12 时,有 a3 = 7 ,这时 a2 = 6 , a1 = 5 ,易知 A = {5,6,7,12} 不是 M = {1, 2,3,?,19} 的 4 元基底,矛盾. 当 a4 = 13 时,有 a3 = 6 , a2 = 5 , a1 = 4 ,易知 A = {4,5,6,13} 不是 M = {1, 2,3,?,19} 的 4 元 基底,矛盾. 当 a4 = 14 时,有 a3 = 5 , a2 = 4 , a1 = 3 ,易知 A = {3,4,5,14} 不是 M = {1, 2,3,?,19} 的 4 元基 底,矛盾. 当 a4 = 15 时,有 a3 = 4 , a2 = 3 , a1 = 2 ,易知 A = {2,3, 4,15} 不是 M = {1, 2,3,?,19} 的 4 元 基底,矛盾. 当 a4 = 16 时,有 a3 = 3 , a2 = 2 , a1 = 1 ,易知 A = {1, 2,3,16} 不是 M = {1, 2,3,?,19} 的 4 元基 底,矛盾. 当 a4 ? 17 时, A 均不可能是 M 的 4 元基底. 当 m = 5 时, M 的一个基底 A = {1,3,5,9,16} . 综上, m 的最小可能值为 5. ??14 分

【例 16】(2011 年朝阳区高三第一学期期末考试试题)已知集合 A ? ?( x , y ) | x ? n , y ? na ? b , n?Z? ,

B ? ?( x , y) | x ? m , y ? 3m2 ? 12 , m ? Z } .若存在实数 a 、 b 使得 A ? B ? ? 成立,则称
2 2 点 ? a , b ? 为“£”点.根据上述条件,则“£”点在平面区域 C ? ?( x , y ) | x ? y ? 108 之

?

内的个数是 答案:A,0 个

个.

【例 17】(2011 年北大附中高三适应性训练试题)从 A ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? 到 B ? ?b1 , b2 , b3 , b4 ? 的一 一映射中,限定 a1 的象不能是 b1 且 b4 的原象不能是 a4 的映射有 答案:C,14 个 Page 13 of 13 个.



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