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高一数学下学期全册模块复习课件+配套单元过关检测及综合质量检测 (1)

高一数学下学期全册模块复习课件+配套单元过关检测及综合质量检测 (1)

3.2.3
直线的一般式方程

1.直线与二元一次方程的关系、一般方程与几种特殊 形式方程间的转化
斜截式 两点式 Ax+By+C=0 截距式

点斜式

2.直线的一般式方程

形式

Ax+By+C=0 __________ 不同时为0 A,B__________

条件

【点拨】直线的一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x,y的二元一次方程.

(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后
顺序排列.

(3)x的系数一般不为分数和负数.
(4)虽然一般式直线方程有三个系数,但只需两个独立 的条件即可求得直线的方程.

【自我检测】 1.直线-2x+y+3=0的斜率k= ( )

A.2

B.-2

C. 1

2

D.- 1

2

【解析】选A.因为y=2x-3,故k=2.

2.已知点A(3,a)在直线2x+y-7=0上,则a等于 ( A.1 B.-1 C.2 D.-2

)

【解析】选A.因为点A(3,a)在直线2x+y-7=0上,所以 2×3+a-7=0,所以a=1.

3.直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有直线都恒过点 ( )

A.(0,0)

B.(0,1)

C.(3,1)

D.(2,1)

【解析】选C.直线方程可化为y-1=k(x-3), 所以无论k为何值时,都过定点(3,1).

4.直线l过点(-1,2)和点(2,5),则直线l的方程为 ________.

【解析】由题意直线过两点,由直线的两点式方程可
得: y ? 2 = x ? ? ?1? ,
5?2 2 ? ? ?1?

整理得x-y+3=0.

答案:x-y+3=0

5.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ________.

【解析】由直线的点斜式方程可得y-3=2(x-1),
化成一般式方程为2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0

类型一

直线的一般式方程

【典例】1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的

条件为
A.A≠0 C.A· B≠0

(

)
B.B≠0 D.A2+B2≠0

2.根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式.

(1)斜率是- 1 ,经过点A(8,-2).
2

(2)经过点B(4,2),平行于x轴. (3)在x轴和y轴上的截距分别是 3 ,-3.
2

(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).

【审题路线图】求直线的一般式方程?求出直线方程

的不同形式,再化为一般式.

【解析】1.选D.A,B不能同时为0,A2+B2≠0.

2.(1)由点斜式得y-(-2)=- 1 (x-8),
2

即x+2y-4=0. (2)由斜截式得y=2,即y-2=0.

(3)由截距式得 x + y =1,即2x-y-3=0.
3 2 ?3

(4)由两点式得 y ? ? ?2 ? = x ? 3 ,即x+y-1=0.
?4 ? ? ?2 ? 5?3

【变式训练】已知直线l经过点A(2,1),B(3,3),求直线l

的点斜式、斜截式和一般式方程,并根据方程指出直线
在x轴、y轴上的截距.

【解析】因为kl= 3 ? 1 =2,所以点斜式方程为y-1=2(x3? 2

2),斜截式方程为y=2x-3,一般式方程为2x-y-3=0,直
3 线l在x轴上的截距为 ,在y轴上的截距为-3. 2

【方法技巧】求直线的一般式方程的策略

(1)当A≠0时,方程可化为x+ B y+ C =0,只需求 B , C
A

A A A 的值;若B≠0,则方程化为 A x+y+ C =0,只需确定 A , C B B B B

的值.因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程.

(2)在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用

的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,然
后可以转化为一般式. 提醒:在利用直线方程的四种特殊形式时,一定要注意

其适用的前提条件.

【补偿训练】1.已知直线l经过点A(-5,6)和点B(-4,8),

求直线的一般式方程和截距式方程.

【解析】直线过A(-5,6),B(-4,8)两点,

由两点式得 y ? 6 = x ? 5 ,
8?6 ?4 ? 5

整理得2x-y+16=0,所以2x-y=-16,两边同除以-16得,
x y =1. + ?8 16

故所求直线的一般式方程为2x-y+16=0,
截距式方程为 x + y =1.
?8 16

2.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方

程.
(1)斜率是 3 ,且经过点A(5,3). (2)过点B(-3,0),且垂直于x轴. (3)斜率为4,在y轴上的截距为-2. (4)在y轴上的截距为3,且平行于x轴.

(5)经过A(-1,5),B(2,-1)两点.

【解析】(1)由点斜式方程得y-3= 3 (x-5),

整理得 3 x-y+3-5 3 =0.
(2)x=-3,即x+3=0. (3)y=4x-2,即4x-y-2=0.

(4)y=3,即y-3=0.

(5)由两点式方程得 y ? 5 = x ? ? ?1? ,
?1 ? 5 2 ? ? ?1?

整理得2x+y-3=0.

类型二

与含参数的一般式方程有关的问题

【典例】1.设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).
若直线l不过第三象限,则a的取值范围为________.

2.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下

列条件分别确定k的值:
(1)直线l的斜率为-1. (2)直线l在x轴,y轴上的截距之和等于0.

【审题路线图】含有参数的一般式直线方程问题?化

为直线方程的相应形式,根据实际情况求解.

【解析】1.把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为

直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直
1 ? a ? 0, 解得a≥1. 线在y轴上的截距大于等于零.即 ? ? ?a ? 2 ? 0,

所以a的取值范围为[1,+∞).

答案:[1,+∞)

2.(1)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为

y=- 2 x+2.由题意得-

2 =-1,解得k=5. k ?3 k ?3 x y (2)直线l的方程可化为 + =1. k ?3 2

由题意得k-3+2=0,解得k=1.

【延伸探究】

1.典例1中若将方程改为“x+(a-1)y-2-a=0(a∈R)”,
其他条件不变,又如何求解?

【解析】(1)当a-1=0,即a=1时,直线为x=3,该直线不过

第三象限,符合.

(2)当a-1≠0,即a≠1时,直线化为斜截式方程为

y= 1 x ? 2 ? a ,因为直线l不过第三象限,故该直线的斜
1? a 1? a

率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.
? 1 ? 0, 解得a>1.由(1)(2)可知a≥1. 即 ? ?1 ? a ? ? ? 2 ? a ? 0, ? ? 1? a

答案:[1,+∞)

2.若典例1中的方程不变,当a取何值时,直线不过第二

象限?

【解析】把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直

线l不过第二象限,故该直线的斜率大于等于零,且直线
1 ? a ? 0, 解得a≤-2. 在y轴上的截距小于等于零.即 ? ? ?a ? 2 ? 0,

所以a的取值范围为(-∞,-2].

答案:(-∞,-2]

【方法技巧】直线恒过定点的求解策略

(1)将方程化为点斜式,求得定点的坐标.
(2)将方程变形,把x,y作为参数的系数,因为此式子对 任意的参数的值都成立,故需系数为零,解方程组可得

x,y的值,即为直线过的定点.

【拓展延伸】已知含参的直线的一般式方程求参数的

值或取值范围的步骤

【补偿训练】1.直线l:(k+1)x-(k-1)y-2k=0恒过定点

(
A.(-1,1) C.(-1,-1) B.(1,-1) D.(1,1)

)

【解析】选B.由(k+1)x-(k-1)y-2k=0,

得k(x-y-2)+x+y=0,
? x ? y ? 2 ? 0, ? x ? 1, 由? 得? ? x ? y ? 0, ? y ? ?1.

所以直线l过定点(1,-1).

2.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.

(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)为使直线l经过第一、三、四象限,求a的取值范围.

【解析】(1)将直线l的方程整理为 y ? 3 ? a(x ? 1 ),
1 3 所以l的斜率为a,且过定点A ( , ), 5 5 1 3 而点A ( , ) 在第一象限, 5 5 5 5

故不论a为何值,直线l恒过第一象限.

(2)将方程化为斜截式方程: y ? ax ? a ? 3 .

5 a>0, 解得a>3. 要使l经过第一、三、四象限,则 ? ? ? a ?3 ? <0, ? ? 5

类型三

一般形式下直线的平行与垂直的问题

【典例】1.写出过点A(2,2)且满足下列条件的直线方
程: (1)与直线l:3x+4y-20=0平行.

(2)与直线l:3x+4y-20=0垂直.

2.当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线

l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?

【审题路线图】1.求过已知点与已知直线平行、垂直

的直线方程?待定系数法求方程.
2.含参数的两直线平行、垂直?两直线平行、垂直的 条件.

【解析】1.(1)方法一:已知直线l:3x+4y-20=0的斜率

k=-

3 .过A(2,2)与l平行的直线方程为y-2=- 3 (x-2). 4 4

即3x+4y-14=0.

方法二:设所求直线方程为3x+4y+c=0,

由点A(2,2)在直线上,得3×2+4×2+c=0,
所以c=-14.所以所求直线方程为3x+4y-14=0.

(2)方法一:过A与l垂直的直线的斜率k1=- 1 = 4 ,
k

3

方程为y-2= 4 (x-2).即4x-3y-2=0为所求.
3

方法二:设所求直线方程为4x-3y+λ=0, 由点A(2,2)在直线上,得4×2-3×2+λ=0,

所以λ=-2.所以所求直线方程为4x-3y-2=0.

2.方法一:由题意,直线l1⊥l2,

①若1-a=0,即a=1时,
直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0,显然垂直.
3 ②若2a+3=0,即a=时, 2

直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直.

③若1-a≠0,且2a+3≠0,则直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,
k1=- a?2 a ?1 ,k 2=- , 1? a 2a ? 3

当l1⊥l2时,k1· k2=-1, 即 (? a ? 2 ) ? (? a ? 1 ) =-1,所以a=-1.
1? a 2a ? 3

综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.

方法二:由直线l1⊥l2,

所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
解得a=±1. 将a=±1代入方程,均满足题意.

故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.

【方法技巧】过一点与已知直线平行(垂直)的直线方

程的求法
(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜 率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写方程.

(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直

线方程可设为Ax+By+C1=0,再由直线所过的点确定C1;
与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0, 再由直线所过的点确定C2.

【变式训练】(2018· 荆州高一检测)已知直线l的方程

为x+2y-1=0,点P的坐标为(1,-2).
(1)求过P点且与直线l平行的直线方程. (2)求过P点且与直线l垂直的直线方程.

【解析】(1)设过P点且与直线l平行的直线方程为

x+2y+k=0,
则1+2×(-2)+k=0,即k=3, 所以过P点且与直线l平行的直线方程为x+2y+3=0.

(2)设过P点且与直线l垂直的直线方程为2x-y+b=0,

则2×1-(-2)+b=0,即b=-4,
所以过P点且与直线l垂直的直线方程为2x-y-4=0.

【补偿训练】已知两直线方程l1:mx+2y+8=0和

l2:x+my+3=0,当m为何值时:
(1)两直线互相平行? (2)两直线互相垂直?

【解析】(1)当m=0时,l1与l2显然不平行.

当m≠0时,l1的斜率k1=- m ,
2

在y轴上的截距b1=-4, l2的斜率k2=- 1 ,在y轴上的截距b2=- 3 .
m m

因为l1∥l2,所以k1=k2,且b1≠b2,

即- m =- 1 ,且-4≠- 3 ,所以m=± 2 . m
2 m

综上可知,当m=± 2 时,两直线互相平行.

(2)当m=0时,l1显然与l2垂直.
1 m 当m≠0时,l1的斜率为k1=,l2的斜率为k2=. m 2 m 1 因为l1⊥l2,所以 - ? (? ) =-1,此时无解. 2 m

综上可知,当m=0时,两直线垂直.

【核心素养培优区】

【易错案例】忽视一般式方程中A与B的条件
【典例】(2018· 怀化高一检测)直线l1:(2m2-5m+2)x(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2:x-y+1=0的斜率相同,则m

等于

(A)
B.2 C.3 D.-3

A.2或3

2m2 ? 5m ? 2 【失误案例】直线l1的斜率为 ,直线l2的斜 2 m ?4 2 2m ? 5m ? 2 =1,即2m2-5m+2=m2-4,m2-5m+6=0, 率为1,则 m2 ? 4

解得m=2或3.

【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处.

提示:本题错误的根本原因是忽视了当m=2时,2m2-5m
+2=0且-(m2-4)=0.直线的一般式方程Ax+By+C=0中,A与 B满足的条件是A与B不能同时为0,即A2+B2≠0.当A=B=0

时,方程变为C=0,不表示任何图形.

2 2m ? 5m ? 2 , 【自我纠正】选C.直线l1的斜率为 m2 ? 4

直线l2的斜率为1,
2 2m ? 5m ? 2 =1, 则 m2 ? 4

即2m2-5m+2=m2-4,m2-5m+6=0,

解得m=2或3,

当m=2时,2m2-5m+2=0,-(m2-4)=0,

则m=2不合题意,仅有m=3.


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