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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第四章第2课时课后达标检测

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第四章第2课时课后达标检测


[基础达标]

一、选择题 → → → 1. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 边的中点, 且AB=a, AD=b, 则BE=( )

1 B.b+ a 2 1 D.a- b 2 1 1 → → → → 解析:选 A.BE=BA+AD+DE=-a+b+ a=b- a. 2 2 2.(2014· 武汉市模拟)已知向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b( ) A.与向量(1,0)平行 B.与向量(1,1)平行 C.与向量(0,1)平行 D.与向量(-1,1)平行 解析:选 C.由向量 a=(x,1),b=(-x,x2),得向量 a+b=(0,1+x2),故选 C. m 3. (2014· 荆州质检)已知向量 a=(2,3), b=(-1,2), 若 ma+nb 与 a-2b 共线, 则 =( ) n A.-2 B.2 1 1 C.- D. 2 2 解析:选 C.由向量 a=(2,3),b=(-1,2)得 ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1), m 1 因为 ma+nb 与 a-2b 共线,所以(2m-n)×(-1)-(3m+2n)×4=0,整理得 =- . n 2 4.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论: → → → → → → → → → ①直线 OC 与直线 BA 平行;②AB+BC=CA;③OA+OC=OB;④AC=OB-2OA. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2-1 1 1 1 → 解析:选 C.∵由题意得 kOC= =- ,kBA= =- ,∴OC∥BA,①正确;∵AB+ 2 2 -2 0-2 → → → → → → → → BC=AC,∴②错误;∵OA+OC=(0,2)=OB,∴③正确;∵OB-2OA=(-4,0),AC=(- 4,0),∴④正确. → → → → → 5. 已知△ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且CD=2DB, CD=rAB+sAC, 则 r+s 的值是( ) 2 4 A. B. 3 3 C.-3 D.0 → → → → → → 解析:选 D.CD=AD-AC,DB=AB-AD, → → → → → 1→ → ∴CD=AB-DB-AC=AB- CD-AC, 2

1 A.b- a 2 1 C.a+ b 2

3→ → → → 2→ 2 → ∴ CD=AB-AC,∴CD= AB- AC. 2 3 3 2 2 → → → 又CD=rAB+sAC,∴r= ,s=- , 3 3 ∴r+s=0,故选 D. 二、填空题 6.(2013· 高考北京卷)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ, λ μ∈R),则 =________. μ

解析:以向量 a 的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为 x 轴、y 轴建 立平面直角坐标系,设一个小正方形网格的边长为 1,则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1, -3). 由 c=λ a+μ b,即(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),得-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,故 λ 1 λ =-2,μ=- ,则 =4. 2 μ 答案:4 7.若三点 A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数 a 的值为________. → → 解析:AB=(a-1,3),AC=(-3,4), → → 据题意AB∥AC,∴4(a-1)=3×(-3),即 4a=-5, 5 ∴a=- . 4 5 答案:- 4 1→ → 1→ → → 8.已知点 A(-1,2),B(2,8),AC= AB,DA=- BA,则CD的坐标为________. 3 3 解析:设点 C、D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2). → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), → → DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). 1→ → 1→ → 因为AC= AB,DA=- BA, 3 3 ?x1+1=1 ?-1-x2=1 ? ? 所以有? 和? . ?y1-2=2 ?2-y2=2 ? ?
? ? ?x1=0 ?x2=-2 解得? 和? . ?y1=4 ?y2=0 ? ? 所以点 C、D 的坐标分别是(0,4)、(-2,0), → 从而CD=(-2,-4). 答案:(-2,-4) 三、解答题

→ → 9. 如图所示,已知?ABCD 的两条对角线相交于点 O,设AB=a,AD=b,试用基底{a, → → → → b}表示向量OA,OB,OC和OD.

→ → → 解:∵AC=AB+AD=a+b, → → → DB=AB-AD=a-b, 且四边形 ABCD 是平行四边形, 1→ 1 1 1 → ∴OA=- AC=- (a+b)=- a- b, 2 2 2 2 1 1 1 → → OB= DB= a- b, 2 2 2 → 1→ 1 1 OC= AC= a+ b, 2 2 2 1→ 1 1 → OD=- DB=- a+ b. 2 2 2 → → → 10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线. → → → 解:(1)OM=t1OA+t2AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时, ? ?4t2<0, 有? ?2t1+4t2≠0, ? 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明:当 t1=1 时, → 由(1)知OM=(4t2,4t2+2). → → → ∵AB=OB-OA=(4,4), → → → → AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB, ∴A、B、M 三点共线. [能力提升] 一、选择题 1.若 α,β 是一组基底,向量 γ=x α+y β(x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α,β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一组基 底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( ) A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2) 解析:选 D.∵a 在基底 p,q 下的坐标为(-2,2), 即 a=-2p+2q=(2,4). 令 a=xm+yn=(-x+y,x+2y), ?-x+y=2 ?x=0 ? ? ∴? ,即? . ?x+2y=4 ?y=2 ? ? ∴a 在基底 m,n 下的坐标为(0,2). → → → 2.(2014· 陕西黄陵质检)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2), 若 A、B、C 三点不能构成三角形,则实数 k 应满足的条件是( ) 1 A.k=-2 B.k= 2 C.k=1 D.k=-1 → → → → → 解析:选 C.若点 A、B、C 不能构成三角形,则向量AB,AC共线,∵AB=OB-OA=(2, → → → -1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),∴1×(k+1) -2k=0,解得 k=1.

二、填空题 3.设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积 a?b=(a1b1,a2b2),已知向量 m 1 π =(2, ),n=( ,0),点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动.Q 是函数 y=f(x)图象上的点, 2 3 → → 且满足OQ=m?OP+n(其中 O 为坐标原点),则函数 y=f(x)的值域是________. 1 π π 1 → → 解析:令 Q(c,d),由新的运算可得OQ=m?OP+n=(2x, sin x)+( ,0)=(2x+ , sin 2 3 3 2 x), π c=2x+ 3 1 1 π ∴ ,消去 x 得 d= sin( c- ), 2 2 6 1 d= sin x 2 1 1 π 1 1 所以 y=f(x)= sin( x- ),易知 y=f(x)的值域是[- , ]. 2 2 6 2 2 1 1 答案:[- , ] 2 2 4.(2014· 黄冈市检测) 如图,AB 是圆 O 的直径,C、D 是圆 O 上的点,∠CBA=60° , → → → ∠ABD=45° ,CD=xOA+yBC,则 x+y 的值为________.

? ? ?

解析:因为∠ABD=45° ,OB=OD,所以∠BOD=90° .分别以 AB、OD 所在直线为 x 轴和 y 轴,以 O 为原点建立平面直

角坐标系如图. 令|OA|=1,则 A(-1,0),B(1,0),D(0,1).因为∠CBA=60° ,OB=OC, 1 3 1 3 → → → 所以 BC=OB=OC.点 C 的坐标为? ,- ?.所以OA=(-1,0), OC=? ,- ?, CD= 2 2 2 2 ? ? ? ? ?-1,1+ 3?. 2? ? 2 → → → → → → → → 又CD=xOA+yBC=xOA+y(OC-OB)=(x+y)OA+yOC, 1 3 1 3 所以?- ,1+ ?=(x+y)(-1,0)+y? ,- ? 2? 2? ? 2 ?2 1 3 =?-x- y,- y?. 2 2 ? ? 1 1 - =-x- y, 2 2 由此,得 3 3 1+ =- y, 2 2

? ? ?

?x=1+ 33, 解得? 2 3 ?y=-1- 3 .
答案:-

故 x+y 的值为-

3 . 3

3 3 三、解答题 5. (2014· 山东莱芜质检)如图,已知△OCB 中,点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点,D → → → 是将OB分为 2∶1 的一个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设OA=a,OB=b.

→ → (1)用 a 和 b 表示向量OC、DC; → → (2)若OE=λOA,求实数 λ 的值. → 2→ 解:(1)由题意知,A 是 BC 的中点,且OD= OB. 3 → → → 由平行四边形法则,得OB+OC=2OA. → → → ∴OC=2OA-OB=2a-b, 2 5 → → → DC=OC-OD=(2a-b)- b=2a- b. 3 3 → → (2)如题图,EC∥DC. → → → 又∵EC=OC-OE=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b, 2-λ -1 5 4 → DC=2a- b,∴ = ,∴λ= . 3 2 5 5 - 3 6. (选做题)如图,设 Ox,Oy 为平面内相交成 60° 角的两条数轴,e1、e2 分别是 x 轴、y → → 轴正方向同向的单位向量,若向量OP=xe1+ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向量OP在坐标 → 系 xOy 中的坐标.若OP的坐标为(1,1).

→ (1)求|OP|; (2)过点 P 作直线 l 分别与 x 轴、y 轴正方向交于点 A、B,试确定 A,B 的位置,使△ OAB 的面积最小,并求出最小值.

解:(1)过点 P 作 x 轴、y 轴的平行线,交 y 轴、x 轴于点 M、N. |ON|=1,|OM|=|NP|=1,∠ONP=120° ,

→ ∴|OP|= → → → → |ON|2+|PN|2-2|ON||PN|cos 120° = 3. → → (2)设|OA|=x,|OB|=y. → → → OP=mOA+nOB(m+n=1), → → → 则OP=mOA+nOB=mxe1+nye2. ? ?mx=1 1 1 得? ? + =1. x y ?ny=1 ? 1→ → 1 3 S△AOB= |OA||OB|sin 60° = xysin 60° = xy. 2 2 4 1 1 2 因为 + =1≥ , x y xy 所以 xy≥2, 3 S△AOB= xy≥ 3, 4 当且仅当 x=y=2,即当 A(2,0),B(0,2)时,△AOB 面积最小,最小值为 3.



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