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华工2014下微积分试卷A及参考解答

华工2014下微积分试卷A及参考解答

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… ………………………

诚信应考,考试作弊将带来严重后果!

华南理工大学期末考试
2014-2015 学年第二学期《微积分(下) 》试卷(A 卷)

座位号

注意事项:1. 考前请将密封线内填写清楚; 2. 所有答案请直接答在试卷上; 3.考试形式:闭卷; 4. 本试卷共十二大题,满分 100 分,考试时间 120 分钟。

题号 得分











六 总分

评卷人 题号 七 得分 评卷人

专业







十一

十二

_____________ ________

一、填空题(每小题 4 分,共 20 分) ?z 1. 设 z ? (1 ? xy) y , 则 ? y 2 (1 ? xy) y?1 . ?x 2. 函数 z ? ln x 2 ? y 2 在点 (1,1) 处的全微分 dz ?
1 1 dx ? dy . 2 2

学院

3. 球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 6 在点 (1,2,1) 处的切平面方程为 x ? 2 y ? z ? 6 ? 0 . 4. 设曲线 L : x 2 ? y 2 ? 1, 则曲线积分 ? ( x ? y ) 2 ds ? 2? .
L

5. 函数 u ? e x cos(yz) 在原点 (0,0,0) 处的梯度为 (1,0,0) .

姓名

学号

《微积分》试卷第 1 页 共 8 页

?2 x ? v 2 ? u 2 ?u ? u ( x, y) ?u ?v 二、 (本题 8 分)设方程组 ? 确定了隐函数组 ? , 求 与 . ?x ?x ?v ? v( x, y) ? y ? uv ?2 ? 2v ? v x ? 2u ? u x ?v ? v ? u ? u x ? 1 或者 ? x ? ?0 ? uv x ? vu x ?uvx ? vux ? 0
ux ? ?u v , vx ? 2 2 u ?v u ? v2
2

?z ?2z 三、 (本题 8 分)设 z ? f ( x ? y, x ? y) , f (u, v) 有二阶连续偏导数, 求 与 . ?x ? x ?y

z x ? f1? ? f 2?

?? ? f12 ?? ? f 21 ?? ? f 22 ?? ? f11 ?? ? f 22 ?? z xy ? f11

《微积分》试卷第 2 页 共 8 页

四、 (本题 8 分)计算二重积分 I ? ??
D

y2 d? , 其中 D 是由直线 y ? 2 , y ? x 及双曲线 x2

xy ? 1 围成的闭区域.

I ? ? dy ?1
1

2

y

y

y2 9 dx ? 2 x 4

五、 (本题 8 分) 计算曲线积分 I ? ? ( y cos x ? 1) dx ? (sin x ? x) dy , 其中 L 为由点 A(a,0)
L

至点 B(?a,0) 的上半圆弧 y ? a 2 ? x 2 ( a ? 0 ).

I ? ?? dxdy ? ? ( y cos x ? 1) dx ? (sin x ? x) dy
D BA

1 ? ?a 2 ? 2a 2
其中 D 是半圆域 x 2 ? y 2 ? a 2 , y ? 0 .

《微积分》试卷第 3 页 共 8 页

六、 (本题 8 分)计算曲面积分 I ? ?? z dS , 其中 ? 为圆锥面 z ? x 2 ? y 2 位于圆柱体
?

x 2 ? y 2 ? 2x 内部分.

I ? ?? x 2 ? y 2 ? 2dxdy
D

? 2 ? 2? d? ?
? 2

?

2cos?

0

r ? rd r

?

32 2 9

其中 D 是圆域 x 2 ? y 2 ? 2 x .

七、 (本题 8 分)计算曲面积分 I ? ?? x 3dydz ? y 3dzdx ? z 3dxdy , 其中曲面 ? 是由上半球
?

面 z ? 2 ? x 2 ? y 2 与圆锥面 z ? x 2 ? y 2 围成的闭曲面的外侧.

I ? 3??? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv
?

? 3? d? ? 4 sin ?d? ? r 2 ? r 2 dr
0 0 0

2?

?

2

24 ? ( 2 ? 1) 5 其中 ? 为已知两曲面围成的闭区域. ?

《微积分》试卷第 4 页 共 8 页

八、 (本题 7 分)求微分方程 y? tan x ? y ln y 通解.

1 cos x dy ? dx y ln y sin x
ln ln y ? ln sin x ? ln C

y ? eC sin x

九、 (本题 7 分)求微分方程 y?? ? y ? cos x 的通解.

对应齐次方程的通解为 Y ? C1 cos x ? C2 sin x 原方程的一个特解为 y* ?
1 x sin x 2 1 x sin x 2

原方程的通解为 y ? C1 cos x ? C2 sin x ?

《微积分》试卷第 5 页 共 8 页

十、 (非化工类做) (本题 6 分)判断级数 ? sin
n ?1

?

2n 的收敛性. n!

sin

2n 2n ? n! n!

且 lim

? 2n?1 2n 2n ? 0 ? 1 ? 级数 ? 收敛, n?? ( n ? 1)! n! n?1 n! ?

所以级数 ? sin
n ?1

2n 收敛. n!

十一、 (非化工类做) (本题 6 分)把函数 f ( x) ? x arctanx 展开为 x 的幂级数, 并指出 成立的区间.

f ( x) ? x ?

1 dx 0 1 ? x2
x ? x 0

? x ? ? ( ? x 2 ) n dx
n ?0

??

(?1) n 2 n?2 x n ?0 2 n ? 1
?

其中 ? 1 ? x ? 1 .

《微积分》试卷第 6 页 共 8 页

十二、 (非化工类做) (本题 6 分) 设级数 ? a n 与 ? bn 都收敛, an ? cn ? bn ( n ? N* ), 证
n ?1 n ?1

?

?

明级数 ? c n 也收敛.
n ?1

?

0 ? cn ? an ? bn ? an ? ? ? ? ?? an , ? bn收敛 ? ? n?1 n?1 ?

? (cn ? an ) 收敛 ? ? c n 收敛.
n?1 n ?1

?

?

十、 (化工类做) (本题 6 分)求函数 z ? 3axy ? x 3 ? y 3 ( a ? 0 )的极值.
2 ? ? z x ? 3ay ? 3x ? 0 由? 得驻点 (0,0), (a, a) 2 z ? 3 ax ? 3 y ? 0 ? y ?

在点 (0,0) 处 AC ? B 2 ? ?9a 2 ? 0 , 从而在 (0,0) 处不取极值; 在点 ( a, a ) 处 AC ? B 2 ? 27a 2 ? 0 , A ? ?6a ? 0 , 从而在点 ( a, a ) 处取极大值 a 3 .

《微积分》试卷第 7 页 共 8 页

十一、 (化工类做) (本题 6 分)求微分方程 (sin x ? 3x 2 y)dx ? (cos y ? x 3 )dy ? 0 的通解.

sin xdx ? ( ydx3 ? x3dy) ? cos ydy ? 0
所求通解为 ? cos x ? x3 y ? sin y ? C.

十二、 (化工类做) (本题 6 分)证明曲面 F (ax ? bz, ay ? cz) ? 0 上任一点处的切平面都 平行于同一向量, 其中 a, b, c 为非零常数.

? 所给曲面在任一点处的法向量为 n ? (aF1?, aF2?,?bF1? ? cF2?)
它始终平行于向量 (b, c, a) .

《微积分》试卷第 8 页 共 8 页


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