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2019年【金榜教程】高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第8章 第7讲语文_图文

2019年【金榜教程】高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第8章 第7讲语文_图文

金版教程 ·高三数学

课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第7讲 抛物线

第八章 第7讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第八章 第7讲

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1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性 质.
2.理解数形结合的思想. 3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.

第八章 第7讲

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1个重要规律 一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同,一次项系 数的符号决定抛物线的开口方向,即“对称轴看一次项,符号 决定开口方向”. 2种必会方法 1. 定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定 p的值,得到抛物线的标准方程. 2. 待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数p的 值,这里要注意抛物线标准方程有四种形式.

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3 点必须注意 1. 抛物线方程 y2=2px 中,只有当 p>0 时 p 有几何意义,且 是抛物线的焦点到准线的距离. 2. 从简化的角度出发,焦点在 x 轴的,可设为 y2=ax(a≠0), 焦点在 y 轴的,可设为 x2=ay(a≠0). 3. 焦半径:抛物线 y2=2px(p>0)上一点 P(x0 , y0)到焦点 F(p2, 0)的距离|PF|=x0+p2.

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课前自主导学

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1. 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离________ 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛 物线的________. 其数学表达式:________________________.

第八章 第7讲

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当涉及到与抛物线有关的最值问题、距离问题、轨迹问题 时,优先考虑用什么方法解题?

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(1) 若 点 P 到 点 F(0 , - 1) 的 距 离 与 它 到 y - 1 = 0 的 距 离 相 等,则点P的轨迹方程 ________.
(2)抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为2,则M到y轴的 距离为________.

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2.抛物线的标准方程与几何性质

y2= 标准方程 2px(p>0)

y2=-

x2=

x2=-

2px(p>0) 2py(p>0) 2py(p>0)

p的几何意义:焦点F到准线l的距离

图形
顶点 对称轴

O(0,0) y=0

x=0

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焦点 离心率

F(p2,0)

F________ F________ F(0,-p2) e=1

准线方程 x=______

x=p2

y=-p2 y=______

范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R

开口方向 向右

向左

向上

向下

焦半径

|PF|=x0+p2

|PF|= ________

|PF|= ________

|PF|= ________

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二次函数y=ax2(a≠0)的图象是抛物线,其焦点坐标是什 么?

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(1)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线 的方程是________.
(2)抛物线y=4x2的焦点坐标________.

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1. 相等 准线 |MF|=d(其中 d 为点 M 到准线的距离)

想一想:提示:应用抛物线的定义解题.

填一填:(1)x2=-4y (2)1

2.(-p2,0)

(0,p2)

-p2

p 2

-x0+p2

y0+p2

-y0+p2

想一想:提示:二次函数 y=ax2(a≠0)化为抛物线的标

准形式为 x2=1ay,所以其焦点坐标为(0,41a).

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填一填:(1)y2=8x 提示:由抛物线的准线方程为 x= -2,得焦点 F(2,0),
∴p2=2. ∴p=4. 故抛物线的标准方程为 y2=8x. (2)(0,116)

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核心要点研究

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例1 [2012·陕西高考]右图是抛物线 形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米, 水面宽4米.水位下降1米后,水面宽 ________米.
[审题视点] 本题考查了抛物线的知 识,解题关键是以拱顶为坐标原点,建立 平面直角坐标系,求抛物线方程.

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[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方 程为 x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1, 则抛物线方程为 x2=-2y.

当 y=-3 时,x=± 6,所以水面宽 2 6米. [答案] 2 6

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抛物线的标准方程有四种形式,每种形式中都只含有一个参 数p,因此求抛物线的标准方程,一是确定方程形式,二是确 定 p 的 值 . 对 于 焦 点 在 x 轴 上 的 抛 物 线 方 程 可 统 一 设 成 y2 = ax(a≠0) , 对 于 焦 点 在 y 轴 上 的 抛 物 线 方 程 可 统 一 设 成 x2 = ay(a≠0).

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[变式探究] 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛 物线上的动点,又有点 A(3,2).
(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐 标;
(2)求点 P 到点 B(-12,1)的距离与点 P 到直线 x=-12的 距离之和的最小值.

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解析:(1)将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 设抛物线上点 P 到准线 l: x=-12的距离为 d,由定义知 |PA|+|PF|=|PA|+d, 当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为72, 即|PA|+|PF|的最小值为72,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2.∴点 P 坐标为(2,2).

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(2)由于直线 x=-12为抛物线的准线, 故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|, 当且仅当 B、P、F 共线时取等号. 而|BF|= ?12+12?2+12= 2. ∴|PB|+d 的最小值为 2.

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例 2 [2012·安徽高考]过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线

交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△

AOB 的面积为( )

A.

2 2

B. 2

C.

32 2

D. 2 2

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[解析] 焦点 F(1,0),设 A,B 分别在第一、四象限,则 点 A 到准线 l:x=-1 的距离为 3,得 A 的横坐标为 2,纵 坐标为 2 2,AB 的方程为 y=2 2(x-1),与抛物线方程联立 可得 2x2-5x+2=0,所以 B 的横坐标为12,纵坐标为- 2, S△AOB=12×1×(2 2+ 2)=322.
[答案] C

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奇思妙想:本例题条件不变,问题改为“求|BF|的值”, 如何解答?
解:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3 及抛物线定义 可得,x1+1=3,∴x1=2.∴A 点坐标为(2,2 2).
则直线 AB 的斜率为 k=22-2-10=2 2. ∴直线 AB 的方程为 y=2 2(x-1).

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由?????yy2==24x2,?x-1?, 消去 y,得 2x2-5x+2=0, 解得 x1=2,x2=12. ∴|BF|=x2+1=32.

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(1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑 利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解. (2)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可 以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特 征.

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[变式探究] (1)[2011·辽宁高考]已知 F 是抛物线 y2=x

的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段

AB 的中点到 y 轴的距离为( )

3

A. 4

B. 1

5

7

C. 4

D. 4

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答案:C 解析:∵|AF|+|BF|=xA+xB+12=3, ∴xA+xB=52. ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为xA+2 xB=54.

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(2)[2013·江苏徐州]抛物线 y2=4mx(m>0)的焦点到双曲 线1x62 -y92=1 的一条渐近线的距离为 3,则此抛物线的方程为 ________.
答案:y2=20x 解析:y2=4mx 的焦点为(m,0),双曲线的一条渐近线方

程为 3x-4y=0,由 d=35m=3,得 m=5,∴抛物线方程为 y2=20x.

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例 3 [2012·课标全国]设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半 径的圆 F 交 l 于 B,D 两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及 圆 F 的方程;
(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行, 且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值.

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[审题视点] (1)根据B,D在准线上以及直角三角形的相关 知识可以将相关线段长用p表示出来,再结合三角形的面积即 可求出p的值,从而确定圆的方程.(2)根据三点共线及抛物线 定义可得到直线m的斜率,从而设出直线m,n的方程,由直线n 与抛物线只有一个公共点,根据判别式得到参数关系式,化 简,利用截距比得到所要求的比值.

第八章 第7讲

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[解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|= 2p,圆 F 的半径|FA|= 2p.
由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 2p. 因为△ABD 的面积为 4 2,所以12|BD|·d=4 2, 即12·2p· 2p=4 2,解得 p=-2(舍去)或 p=2. 所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8.

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(2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上, 所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°.

由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,

所以∠ABD=30°,m

的斜率为

33或-

3 3.

当 m 的斜率为 33时,由已知可设 n:y= 33x+b,代入

x2=2py,得 x2-233px-2pb=0.

第八章 第7讲

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由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ=43p2+8pb=0,

解得 b=-p6.

因为 m 的纵截距 b1=p2,||bb1||=3,所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3.

当 m 的斜率为- 33时,由图形对称性可知,坐标原点 到 m,n 距离的比值为 3.

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(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线 的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的 弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代 入”“点差法”以及定义的灵活应用. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线 的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+ p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.

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[变式探究] [2013·武汉调研]已知过抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若O→C=O→A+λO→B, 求 λ 的值.

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解析:(1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x-p2), 与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0, 所以 x1+x2=54p. 由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9.所以 p=4. 从而抛物线方程是 y2=8x.

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(2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2. 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2), 设O→C=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(4λ+1,4 2λ-2 2). 又 y23=8x3,即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0,或 λ=2.

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【选题·热考秀】 [2012·重庆高考]过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物 线于 A,B 两点,若|AB|=2152,|AF|<|BF|,则|AF|=________.

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[规范解答] F 点坐标为(12,0),设 A,B 两点的横坐标

为 x1,x2. 因|AF|<|BF|,故直线 AB 不垂直于 x 轴.

设直线 AB 为 y=k(x-12),联立直线与抛物线的方程得 k2x2-(k2+2)x+k42=0, ①

则 x1+x2=k2k+2 2.

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又|AB|=x1+x2+1=2152,可解得 k2=24,代入①式得 12x2

-13x+3=0,即(3x-1)(4x-3)=0.而|AF|<|BF|,所以 x1=13.

由抛物线的定义,得|AF|=x1+12=56.

[答案]

5 6

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 (1)题目中需要写出直线AB的方程时,不要忘记考虑直线斜 率不存在时是否符合题意.(2)应用抛物线定义,把A,B点到F 点的距离转化为A、B点到准线的距离,即|AB|=x1+x2+1.

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No.2 角度关键词:技法点拨 抛物线的定义实现了点到点的距离与点到线的距离的转 化,解题时注意灵活应用.即“遇焦点想准线,遇到准线想焦 点”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.

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经典演练提能

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1. [2013·惠州调研]若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆x62+

y22=1 的右焦点重合,则 p 的值为(

)

A. -2

B. 2

C. -4

D. 4

答案:D 解析:∵抛物线焦点(p2,0),椭圆的右焦点(2,0),∴p2=

2,p=4,选 D 项.

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2. [2013·安徽合肥]直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且

与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴

的距离是2,则此抛物线的方程是( )

A. y2=12x

B. y2=8x

C. y2=6x

D. y2=4x

答案:B

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义可得x1+x2+ p=8,又AB中点到y轴的距离为2,∴x1+x2=4.∴p=4,故选B.

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3. [2012·四川高考]已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点

在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦 点的距离为 3,则|OM|=( )

A. 2 2

B. 2 3

C. 4

D. 2 5

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答案:B
解析:由抛物线定义,知p2+2=3,所以 p=2,抛物线 方程为 y2=4x.因为点 M(2,y0)在抛物线上,所以 y0=±2 2, 故|OM|= 4+y20=2 3.

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4. [2011·课标全国]已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的

对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一

点,则△ABP的面积为( )

A. 18

B. 24

C. 36

D. 48

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答案:C 解析:设抛物线方程为 y2=2px(p>0), 由于 l 垂直于对称轴且过焦点,故直线 l 的方程为 x=p2, 代入 y2=2px 得 y=±p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6. ∴抛物线的准线方程为 x=-3. ∴S△ABP=12×6×12=36.故应选 C.

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5. [2013·浙江宁波]对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点

P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( )

A. (-∞,0)

B. (-∞,2]

C. [0,2]

D. (0,2)

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答案:B 解析:设点 Q 的坐标为(y420,y0),由|PQ|≥|a|,得 y20+(y420 -a)2≥a2,整理得 y20(y20+16-8a)≥0,∵y20≥0,∴y20+16- 8a≥0,即 a≤2+y820恒成立.而 2+y802的最小值为 2,所以 a≤2. 选 B.

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限时规范特训

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