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平面向量基本定理及向量的坐标表示专题复习题

平面向量基本定理及向量的坐标表示专题复习题


平面向量基本定理及向量的坐标表示
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1.(文)(2011· 重庆文)已知向量 a ? (1, k ), b ? (2, 2), 且 a ? b 与 a 共线,那么 a? b 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4
? ? ?

)

(理)在 ?ABC 中 , M 为边 BC 上任意一点 , N 为 AM 的中点, AN ? ? AB ? ? AC , 则 ? ? ? ? ( A.

)

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.1
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2.(2011· 嘉兴模拟)已知 a , b 是不共线的向量 , AB ? ? a ? b ,, AC ? a ? ? b , ? , ? ? R , 那么 A、B、C 三点共 线的等价条件为( A. ? ? ? ? 2 ) B. ? ? ? ? 1 C. ?? ? ?1
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D. ?? ? 1
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3.(2012· 湖北省孝感模拟)在四边形 ABCD 中 , AB ? a ? 2 b ,, BC ? ?4 a ? b ,, CD ? ?5 a ? 3 b , 其中 a , b 不 共线,则四边形 ABCD 为( A.平行四边形 B.矩形 ) C.梯形 D.菱形
? ? ? ? ? ? ?

B ? aA C , b? A F , xa ? yb ? 4. 如图 , ?ABC 中 , AD ? DB, AE ? EC, CD 与 BE 交于 F, 设A
A. ( , )
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, 则 ( x, y ) 为(

)

1 1 2 2

B. ( , )

2 2 3 3

C. ( , )
?

1 1 3 3

D. ( , )

2 1 3 2

5.已知向量 a ? (2cos ? , 2sin ? ), b ? (0, ?2), ? ? ( A.

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2

, ? ), 则 ? a , b ? ? (

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)

3? ?? 2
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B. ? ?

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2

C. ? ?

?
2

D .θ
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6. (文)已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 ( a ? c ) ? ( b ? c ) ? 0, 则 | c | 的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2 D. 2 2

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→ (理)已知 O 为原点,点 A、B 的坐标分别为 A(a,0)、B(0,a),其中常数 a>0,点 P 在线段 AB 上,且有AP= → → → tAB(0≤t≤1),则OA· OP的最大值为( A.a B.2a C.3a ) D.a2

? ? ? ? → 1→ → 1 → → 7.在平行四边形 ABCD 中,AE= AB,AF= AD,CE 与 BF 相交于 G 点.若 AB ? a , AD ? b , 则AG=( ) 3 4

A.

2? 1? a? b 7 7

B.

2? 3? a? b 7 7

C.

3? 1? a? b 7 7

D.

4? 2? a? b 7 7

→ → → → → 8.(文)(2010· 深圳模拟)如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则( ) 2 1 1 2 1 3 A.x= ,y= B.x= ,y= C.x= ,y= 3 3 3 3 4 4 3 1 D.x= ,y= 4 4

1 → → (理)已知 A(7,1),B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC=2CB,则实数 a 等于( ) 2 A.2 B.1 4 C. 5 5 D. 3

→ → → → 9.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中 O 为坐标原点,则实 数 a 的值为( A.2 ) B.-2 C.2 或-2 D. 6或- 6
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10 . (2010· 河 南 许 昌 调 研 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 原 点 , 设 向 量 OA ? a , OB ? b , 其 中
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a ? ( 3 , 1b ) ,?

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(1 , 3 )OC ? ? a ? ? b , 且 0≤λ≤μ≤1,C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( .若

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)

[答案] A → [解析] OC=λa+μb=(3λ+μ,λ+3μ), 11.(文)(2010· 重庆诊断)称 d ( a , b ) ?| a ? b | 为两个向量 a , b 间的“距离”.若向量 a , b 满足;① | b |? 1 ; ② a ? b ;③对任意的 t∈R,恒有 d ( a , b ) ≥ d ( a , t b ) ,则( A. a ? b
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)
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B. a ? ( a ? b )

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C. b ? ( a ? b )

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D. ( a ? b ) ? ( a ? b )
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( 理 )(2010· 山 东 ) 定 义 平 面 向 量 之 间 的 一 种 运 算 “ ⊙ ” 如 下 : 对 任 意 的 a ? ( m, n), b ? ( p, q ) . 令
?

a? b ? m q ? n,p 下面说法错误的是(
A.若 a 与 b 共线,则 a ? b ? 0
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) B. a ? b ? b ? a
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C.对任意的 λ∈R,有 (? a ) ? b ? ? ( a ? b )

2 2 2 2 D. ( a ? b ) ? ( a ? b ) ?| a | | b | ? ? ? ?

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12.平面上有四个互异的点 A、B、C、D,满足 ( AB ? BC ) ? ( AD ? CD ) ? 0, 则三角形 ABC 是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
0 0
? ? ? ?

)

13.如图,在四边形 ABCD 中 , AB ? BC ? CD ? 1, ?B ? 90 , ?BCD ? 135 , 记向量 AB ? a , AC ? b , 则 AD ? ( )

?

A. 2 a ? (1 ? C. 2 a ? (1 ?
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2 ? )b 2 2 ? )b 2

B. ? 2 a ? (1 ?
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2 ? )b 2 2 ? )b 2
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D. ? 2 a ? (1 ?

14.(文)(2011· 杭州模拟)已知向量 a ? (sin x,1), b ? (cos x, ?3), 且 a / / b , 则 tan x ? _______.

?

(理)已知 a ? (2, ?3), b ? (sin ? , cos 2 ? ), ? ? (?

?

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, ), 若 a / / b , 则 tan x ? _____. 2 2

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15.(2012· 西安五校第二次联考)梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别是 CD,AB 的中点,设

AB ? a , AD ? b , 若 MN ? m a ? n b , 则

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n ? _______. m
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16. (文)如图, 在△ABC 中, D、 E 分别是 BC、 AC 的中点, F 为 AB 上一点, 且 AB ? 4 AF , 若 AD ? x AF ? y AE , 则 x=____,y=___.

16 题(理) (理)(2011· 江苏徐州市质检)在△ABC 中,过中线 AD 的中点 E 任作一条直线分别交 AB、AC 于 M、N 两点, 若 AM ? x AB, AN ? y AC , 则 (4 x ? y )min ? ___.
? ? ? ?

DE ? DC 的最大值为________. 17. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE ? CB ? ___,
18. 已知 G 是△ABC 的重心, 直线 EF 过点 G 且与边 AB、 AC 分别交于点 E , F , AE ? ? AB AF ? ? AC , 则
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1

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1

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? _______.

19.(2012· 江西八校联考)如图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且

AP ?

S 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? AB ? AC , AQ ? AB ? AC , 则 ?ABP ? ______. S ?ABQ 5 5 3 4
? ? ?

20.(文)已知 O (0, 0), A(2, ?1), B (1,3), OP ? OA? t OB, 求: (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第四象限? (2)四点 O、A、B、P 能否成为平行四边形的四个顶点,说明你的理由. (理)(2011· 杭州市质检)已知向量 a ? (1, 2), b ? (cos ? ,sin ? ), 设 m ? a ? t b (t 为实数).
? π (1)若 α= ,求当 | m | 取最小值时实数 t 的值; 4

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? ? ? ? ? π (2)若 a ? b , 问: 是否存在实数 t , 使得向量 a ? b 和向量 m 的夹角为 ,若存在,请求出 t , 若不存在,请说明理由. 4

21. 设△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 c=2b, 向量 m ? (sin A, ), n ? (1,sin A ? 3 cos A), 且 m 与 n 共线. a (1)求角 A 的大小;(2)求 的值. c 22.设 a , b 是不共线的两个非零向量,(1)若 OA ? 2 a ? b , OB ? 3 a ? b , OC ? a ? 3 b , 求证:A、B、C 三点共线;
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3 2

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(2)若 8 a ? k b 与 k a ? 2 b 共线,求实数 k 的值; 23.(2011· 衡阳期末)平面内给定三个向量 a ? (3, 2), b ? ( ?1, 2), c ? (4,1), 请解答下列问题: (1)求满足 a ? m b ? n c 的实数 m、n; (2)若 ( a ? k c ) / /(2 b ? a ), 求实数 k; (3)若 d 满足 ( d ? c ) / /( a ? b ), 且 | d ? c |?
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5, 求 d .

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→ 24.(文)已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及定点 A(1,1),M 为圆 C 上任意一点,点 N 在线段 MA 上,且MA= → 2AN,求动点 N 的轨迹方程. (理)已知 θ 是△ABC 的最大的内角.设向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (sin 2? ,1 ? cos 2? ), c ? (0, ?1) . 定义 f (? ) ? ( a ? b ) ? c ? | b |, 求 f (? ) 的最大值.
? ? ? ? ? ? ?

平面向量基本定理及向量的坐标表示
1.(文)D(理)A → → → → → 1 [解析] 本题考查向量的线性运算. 据已知 N 为 AM 的中点, 可得AN= AM=λAB+μAC, 整理得AM=2λAB 2 1 +2μAC,由于点 M 在直线 BC 上,故有 2λ+2μ=1,即 λ+μ= . 2 → →

2.D3.C 4.C → → → → →

[解析] 设CF=λCD,∵E、D 分别为 AC、AB 的中点, 1 ∴BE=BA+AE=-a+ b, 2 1 1 ? BF=BC+CF=(b-a)+λ( a-b)=? ?2λ-1?a+(1-λ)b, 2 1 λ-1 2 1-λ 2 ∵BE与BF共线,∴ = ,∴λ= , 1 3 -1 2 → → → 2 2 1 1 1 1 1 a-b?= a+ b,故 x= ,y= . ∴AF=AC+CF=b+ CD=b+ ? ? 3 3 3 3?2 3 3 → → → → → →

5题

5.A[解析] 解法一:由三角函数定义知 a 的起点在原点时,终点落在圆 x2+y2=4 位于第二象限的部分上 π (∵ <θ<π),设其终点为 P,则∠xOP=θ, 2 3π ∴a 与 b 的夹角为 -θ. 2 3π ? a· b -4sinθ 解法二:cos〈a,b〉= = =-sinθ=cos? ? 2 -θ?, |a|· |b| 2×2 π ? 3π ?π ? ∵θ∈? ?2,π?,∴ 2 -θ∈?2,π?, 3π 又〈a,b〉∈(0,π),∴〈a,b〉= -θ. 2 6.(文)C[解析] 由(a-c)(b-c)=0 得 a· b-(a+b)· c+c2=0,即 c2=(a+b)c,故|c|· |c|≤|a+b|· |c|, 即|c|≤|a+b|= 2,故选 C. → → (理)D[解析] ∵AP=tAB, → → → → → → → → ∴OP=OA+AP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB=(a-at,at) → → → → ∴OA· OP=a2(1-t),∵0≤t≤1,∴OA· OP≤a2. 7.C8.(文)A(理)A → → → → 9.C[解析] 以 OA、OB 为边作平行四边形 OACB,则由|OA+OB|=|OA-OB|得,平行四边形 OACB 为矩 → → 形,OA⊥OB.由图形易知直线 y=-x+a 在 y 轴上的截距为± 2,所以选 C. 10.A [答案] A → [解析] OC=λa+μb=(3λ+μ,λ+3μ),

→ 令OC=(x,y),则 x-y=(3λ+μ)-(λ+3μ)=2(λ-μ)≤0,∴点 C 对应区域在直线 y=x 的上方,故选 A. 11.(文)C(理)B12B → → → → → → → → → → → → → →
2

→ →

[解析] (AB-BC)· (AD-CD)=(AB-BC)· (AD+DC) → → → =(AB-BC)· AC=(AB-BC)· (AB+BC)=|AB| -|BC|2=0, 故|AB|=|BC|,即△ABC 是等腰三角形. 13. B 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形, 由∠BCD=135° , 得∠ACD=135° -45° =90° , 以 B 为原点, AB 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,并作 DE⊥y 轴于点 E,则△CDE 也为等 → → 2 2 2 腰直角三角形,由 CD=1,得 CE=ED= ,则 A(1,0),B(0,0),C(0,1),D( ,1+ ),∴AB=(-1,0),AC=(- 2 2 2

→ → → 2 2 1,1),AD=( -1,1+ ),令AD=λAB+μAC, 2 2



?-λ-μ= 22-1, 则有? 2 ?μ=1+ 2 ,
1 3 14.(文)- (理)- 3 3 16.(文)2 1

λ=- 2, → ? ? 2 得? ∴AD=- 2a+(1+ )b. 2 2 ? ?μ=1+ 2 . 15.(文)-4

9题 (理)
(理)(2011· 江苏徐州市质检)在△ABC 中,过中线 AD 的中点 E 任作一条直线分别交 AB、AC 于 M、N 两点, 9 若AM=xAB,AN=yAC,则 4x+y 的最小值为___. 4 → → → → 1 1 如图所示,由题意知AD= (AB+AC),AE= AD, 2 2 → → → → → → → 又 M,E,N 三点共线,所以AE=λAM+(1-λ)AN(其中 0<λ<1), → → → → 1 又AM=xAB,AN=yAC,所以 (AB+AC)=λxAB+(1-λ)yAC, 4
?4λx=1, ? 1 1 因此有? 解得 x= ,y= , 4λ 4?1-λ? ?4?1-λ?y=1, ?











1 1 1 t 1 5 9 令 =t,∴t>1,则 4x+y= + =t+ =(t-1)+ + ≥ , λ λ 4?1-λ? 4?t-1? 4?t-1? 4 4 3 2 当且仅当 t= ,即 λ= 时取得等号. 2 3 17.1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积,建立平面直角坐标系如图,则 B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 E(x0,0),则 → → → CB=(0,-1),DC=(1,0),DE=(x0,-1),

19 题

17 题

→ → ∴DE· CB=(x0,-1)(0,-1)=1, → → ∴DE· DC=x0,而 0≤x0≤1, → → ∴DE· DC的最大值为 1. [点评] 将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解. → → → → → 2 1 18.3[解析] 连结 AG 并延长交 BC 于 D,∵G 是△ABC 的重心,∴AG= AD= (AB+AC),设EG=λGF, 3 3 → → 1 λ ∴AG-AE=λ(AF-AG),∴AG= AE+ AF, 1+λ 1+λ → → → → 1 1 α λβ ∴ AB+ AC= AB+ AC, 3 3 1+λ 1+λ → → → → → →

?1+λ=3, ∴? λβ 1 ?1+λ=3,

α

1

?α=1+λ, ∴? 1 3λ ?β=1+λ,

1

3

1 1 ∴ + =3. α β

→ → → → → → → 4 2 1 19. [解析] 根据题意,设AM= AB,AN= AC,则由平行四边形法则,得AP=AM+AN,且四边形 AMPN 5 5 5 S△ABP → |AN| 1 = = ,同理,可得 → 5 |AC| S△ABQ S△ABP 1 4 = .故 = . 4 5 S△ABC S△ABQ

为平行四边形,于是 NP∥AB,所以

S△ABC → → →

20.(文)[解析] (1)OP=OA+tOB=(t+2,3t-1). 1 若点 P 在 x 轴上,则 3t-1=0,∴t= ;若点 P 在 y 轴上,则 t+2=0,∴t=-2; 3
? ?t+2>0 1 若点 P 在第四象限,则? ,∴-2<t< . 3 ?3t-1<0 ?









(2)OA=(2,-1),PB=(-t-1,-3t+4).若四边形 OABP 为平行四边形,则OA=PB.
? ?-t-1=2 ∴? 无解.∴ 四边形 OABP 不可能为平行四边形. ?-3t+4=-1 ?

同理可知,当 t=1 时,四边形 OAPB 为平行四边形,当 t=-1 时,四边形 OPAB 为平行四边形. π 2 2 3 2 (理)[解析] (1)∵α= ,∴b=( , ),a· b= , 4 2 2 2

∴|m|= ?a+tb?2= 5+t2+2ta· b= t2+3 2t+5= 3 2 2 ∴当 t=- 时,|m|取到最小值,最小值为 . 2 2 ?a+tb? π ?a-b?· (2)由条件得 cos = , 4 |a-b||a+tb|

?t+

3 22 1 ?+ , 2 2

∵|a-b|= ?a-b?2= 6,|a+tb|= ?a+tb?2= 5+t2,(a-b)· (a+tb)=5-t, ∴ 5-t 6 5+t
2=

-5± 3 5 2 ,且 t<5,∴t2+5t-5=0,∴存在 t= 满足条件. 2 2

π? 3 21.[解析] (1)∵m∥n,∴sinA(sinA+ 3cosA)- =0,即 sin? ?2A-6?=1. 2 π 11π π - , ?. ∵A∈(0,π),∴2A- ∈? 6 ? 6 6 ? π π π ∴2A- = .∴A= . 6 2 3

c ?2 2 π c π 3 a 3 (2)由余弦定理及 c=2b、A= 得,a2=? · ccos ,a2= c2,∴ = . ?2? +c -2· 3 2 3 4 c 2 → → → → → 22.[解析] (1)∵AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b. 而BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB, ∴AB与BC共线,且有公共端点 B,∴A、B、C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线,∴存在实数 λ 使得 (8a+kb)=λ(ka+2b)?(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
? ?8-λk=0, ∵a 与 b 不共线,∴? ?8=2λ2?λ=± 2,∴k=2λ=± 4. ?k-2λ=0. ?

23.[解析] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
?-m+4n=3, ? 所以? 得 ? ?2m+n=2,

?m=9, ? 8 ?n=9.

5

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=- . 13 (3)设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
?4?x-4?-2?y-1?=0 ? 由题意得? , 2 2 ? ??x-4? +?y-1? =5 ? ? ?x=3 ?x=5 解得? 或? ,∴d=(3,-1)或 d=(5,3). ?y=-1 ? ? ?y=3

→ → 24.(文)[解析] 设 N(x,y),M(x0,y0),则由MA=2AN得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),

? ? ?1-x0=2x-2 ?x0=3-2x ∴? ,即? , ?1-y0=2y-2 ?y0=3-2y ? ?

代入(x-3)2+(y-3)2=4,得 x2+y2=1. [点评] 平面向量与解析几何结合是新的命题方向, 解答此类问题关键是利用向量共线或垂直的关系建立点 的坐标之间的关系式,然后用解析几何的方法解答.请再练习下题: 已知⊙C:(x+2)2+(y-1)2=9 及定点 A(-1,1),M 是⊙C 上任意一点,点 N 在射线 AM 上,且|AM|=2|MN|, 动点 N 的轨迹为 C,求曲线 C 的方程.解答如下: → → → → 设 N(x,y),M(x0,y0),∵N 在射线 AM 上,且|AM|=2|MN|,∴AM=2MN或AM=-2MN, → → AM=(x0+1,y0-1),MN=(x-x0,y-y0),
?x0+1=2?x-x0? ?x0+1=-2?x-x0? ? ? ∴? 或? , ? ? ?y0-1=2?y-y0? ?y0-1=-2?y-y0?

?x =3?2x-1? ∴? 1 ?y =3?2y+1?
0 0

1

? ?x0=2x+1 或? , ?y0=2y-1 ?

代入圆方程中得(2x+5)2+(2y-2)2=81 或(2x+3)2+(2y-2)2=9. (理)[解析] ∵θ 是△ABC 的最大内角 π ∴ ≤θ<π,|b|= sin22θ+?1-cos2θ?2= 4sin2θ=2sinθ, 3 ∴f(θ)=(a+b)· c+|b|=(cosθ+sin2θ,sinθ+1-cos2θ)· (0,-1)+2sinθ=cos2θ-sinθ-1+2sinθ 1 1 =-2sin2θ+sinθ=-2(sinθ- )2+ 4 8 π ∵ ≤θ<π,∴0<sinθ≤1, 3 1 1 1 从而,当 sinθ= 时,f(x)取最大值 ,(此时 θ=π-arcsin ) 4 8 4



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