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2013年新课标2理科数学试卷及答案

2013年新课标2理科数学试卷及答案


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 II 卷)理科数学
1、已知集合 M={x|(x-1)? < 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M ∩N=( ). (A){0,1,2}(B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3}(D){0,1,2,3} 解析:M={x|(x-1)? < 4R}={x|-1<x< 3},N={-1,0,1,2,3} ∴M∩N={0,1,2},选 A.

2、设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( (A)-1+i (B)-1-i (C)1+i

) (D)1-i

解析:由(1-i)z=2i, 得 z=2i/(1-i)=2i(1+i)/[(1-i)(1+i)]=2(i+i? )/(1-i? )=2(i-1)/(1+1)=-1+i

3、等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( (A) 1/3 (B) -1/3 (C) 1/9 (D) -1/9

)

解析:∵S3=a1+a2+a3=a2+10a1 ∴a3=9a1,即 a1· q? =9a1,q? =9 又 a5=9,即 a1· (q? )? =9 ∴a1=1/9,选 C.

4、已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β. 直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l¢α,l¢β, 则( ) (A) α∥β 且 l∥α (B) α⊥β 且 l⊥α (D)α 与 β 相交,且交线平行于 l

(C) α 与 β 相交,且交线垂直于 l

解析:由 m⊥平面 α,直线 l 满足 l⊥m,且 l?α,所以 l∥α, 又 n⊥平面 β,l⊥n,l?β,所以 l∥β. 由直线 m,n 为异面直线,且 m⊥平面 α,n⊥平面 β,则 α 与 β 相交,否则,若 α∥β 则 推出 m∥n, 与 m,n 异面矛盾.

故 α 与 β 相交,且交线平行于 l. 故选 D.

5、已知(1+ax)(1+x)^5 的展开式中 x?的系数为 5,则 a= (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1

解析:(1+ax)(1+x)^5 的展开式中 x?的系数为 C5? +aC51=5,即 10+5a=5,∴a=-1,选 D

6、执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S=

解析:k=1,S=0,T=1 T=T/k,S=S+T,K=K+1 ———————————— ① T=1/1=1, ② T=1/2=1/2=1/2!, ③ T=(1/2!)/3=1/3!, ④ T=(1/3!)/4=1/4!, …… ⑩ T=1/10!, 10=N S=1+1/2!+1/3!+……+1/10!, k=10+1=11> S=0+1=1, S=1+1/2!, S=1+1/2!+1/3!, S=1+1/2!+1/3!+1/4!, K=1+1=2 K=2+1=3 k=3+1=4 k=4+1=5

∴输出的 S=1+1/2!+1/3!+……+1/10!, 选 B.

7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )

(A) (D)
解析:选 A.

(B)

(C)

8、 (A)c>b>a, (B)b>c>a, (C)a>c>b, (D)a>b>c.

解析:a=1+lg2/lg3,b=1+lg2/lg5,c=1+lg2/lg7, ∵lg3<lg5<lg7 ∴1+lg2/lg3>1+lg2/lg5>1+lg2/lg7

即 a>b>c,选 D

9、已知 a>0,x、y 满足约束条件 x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3).若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a= (A)1/4 (B)1/2 ( C )1 (D)2

解析:如图,当目标方程 z=2x+y 的最小值为 1 时,A(1,-2a)在直线 2x+y=1 上 ∴2-2a=1,a=1/2,选 B.

10、已知函数 f(x)=x? +ax? +bx+c,下列结论中错误的是 (A) (B)函数 y = f (x)的图像是中心对称图形 (C) 若 x0 是 f (x)的极小值点,则 f (x)在区间(-∞,x0)单调递减 (D)若是 f (x)的极值点,则 f'(x0)=0. 解析:选 C.

11、设抛物线 C:y? =3px(p≥0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的 圆过点(0,3),则 C 的方程为

(A) y? =4x 或 y? =8x (C) y? =4x 或 y? =16x

(B) y? =2x 或 y? =8x (D)y? =2x 或 y? =16x

解析:如图,设 A(0,3) F(3p/4,0) M(5-3p/4,√[3p(5-3p/4)]) ∵A 在以 MF 为直径的圆上 ∴AM⊥AF 即向量 AM· 向量 AF=0 ∴(5-3p/4,√[3p(5-3p/4)]-3)· (3p/4,-3)=0 (5-3p/4)· 3p/4 = 3{√[3p(5-3p/4)]-3} 令√[3p(5-3p/4)]=t 则 t? /4 = 3(t-3) t? -12t+36=0 (t-4)(t-9)=0 解得 t=4,或 t=9 当 t=4 时,√[3p(5-3p/4)]=4 9p? -60p+64=0 (3p-4)(3p-16)=0 解得 p=4/3,或 p=16/3 当 t=9 时,√[3p(5-3p/4)]=9 9p? -60p+324=0 △<0,方程无解 ∴p=4/3,或 p=16/3,C 的方程为 y? =4x 或 y? =16x,选 C.

12、已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部 分,则 b 的取值范围是 (A)(0,1) (B)(1-√2/2,1/2) (C)(1-√2/2,1/3] 解析:分成三种情况讨论 (i)y=ax+b 和 x 轴交点在 A 时,根据中线及重心性质,易得 b=1/3; (ii)当 y=ax+b 和 x 轴交点在 A 与原点之间时,不妨设为(x0,0)点,x0=-b/a 又设 y=ax+b 与 BC 线段交于(x1,y1),x1=(1-b)/(1+a),y1=(a+b)/(1+a) ∵S△ABC=1, ∴分割后的三角形面积=1/2=(1/2)(1-x0)y1 即(a+b)? =a(1+a) ∴a=b? /(1-2b)>0,b<1/2; (iii)当 y=ax+b 和 x 轴交点在 A 点左侧时,设 y=ax+b 与线段 CA:y=x+1 的交点(x2, y2),与线段 BC:y=-x+1 交点(x3,y3) 易得 x2=(1-b)/(a-1),x3=(1-b)/(a+1), ∴截得的三角形面积=(1/2)(1-b)(x3-x2)=1/2 即(1-b)? =(1-a? )/2<1/2 ∴1-√2/2<b<1+√2/2 综上 1-√2/2<b<1/2,选 B (D)[1/3,1/2)

另外,本题作为选择题,当直线 y=ax+b 过 A,由重心性质求出 b=1/3 后,再将直线 y=ax+b 分别向 A 点两侧移动,即可排除 CD;又 b 不可能趋于 0 或 1,排除 A,故可选 B.

13、已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 向量 AE· 向量 BD=_________. 解析:如图,建立直角坐标系,设 B(0,0)D(2,2)A(0,2)E(2,1) 则向量 AE=(2,-1),向量 BD=(2,2) ∴向量 AE· 向量 BD=(2,-1)· (2,2)=2×2-1×2=2

14、从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概
率为 1/14,则 n=_______ 解析:从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,其中两数之和等于 5 的组合 有(1,4)(2,3)两个 ∴任意取出两个不同的数的组合有 2÷ (1/14)=28 个 ∵28=8×7/2 ∴n=8.

15、设 θ 为第二象限角,若 tan(θ+π/4)=1/2,则 sinθ+cosθ=________. 解析:∵tan(θ+π/4)=1/2 ∴(tanθ+1)/(1-tanθ)=1/2,即 tanθ=-1/3 ∵θ 为第二象限角 ∴sinθ=1/√10,cosθ=-3/√10 sinθ+cosθ=-2/√10=-√10/5

16、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值 为_____ ___. 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d 则 S10=10a1+10×9d/2=0 S15=15a1+15×14d/2=25 联立解得 a1=-3,d=2/3 ∴f(n)=nSn=n[-3n+n(n-1)/3]=n?/3-10n?/3 令 f'(n)=n?-20n/3=0 则 n=0 或 20/3≈7 正整数 n=7 时,f(n)=nSn 有最小值 即 nSn≥f(7)=7?/3-10×7?/3=-49.

17、△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB (I)求 B; (II)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解析:(I)∵a=bcosC+csinB,且 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ∴sinA=sinBcosC+sinBsinC 又 A=π -(B+C)

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ∴sinBsinC=cosBsinC ∵C∈(0,π ) ∴sinC≠0 ∴sinB=cosB 又 B∈(0,π ) ∴B=π /4 (II)△ABC 面积 s=1/2acsinB=√2ac/4 ∵b?=a?+c?-2accosB 即 4=a?+c?-2accos(π /4) 4+√2ac=a?+c?≥2ac (2-√2)ac≤4 ac≤4/(2-√2)=2(2+√2),当且仅当 a=c 时,等号成立 ∴△ABC 面积的最大值为√2·2(2+√2)/4=√2+1.

18、如图,直棱柱 ABC-A1B1C1 中,D、E 分别是 AB、BB1 的中点, AA1=AC=CB=√2/2AB. (I)证明:BC1∥平面 A1CD; (II)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

解析:(I)连接 AC1 交 A1C 于 F,则 F 是 AC1 的中点 又 D 是 AB 的中点,连接 DF,则 DF∥BC1 ∵DF 在平面 A1CD 内,BC1 在平面 A1CD 外 ∴BC1∥平面 A1CD

(II)∵AC=CB=√2/2AB ∴CA⊥CB 又 CC1⊥平面 ABC ∴以 C 为坐标原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CC1 为 z,建立空间坐标系 根据 AA1=AC=CB=√2/2AB,设 CA=2 则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2)

∴向量 CD=(1,1,0),向量 CE=(0,2,1),向量 CA1=(2,0,2) 设向量 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量 则向量 n·向量 CD=0,即(x1,y1,z1)·(1,1,0)=x1+y1=0 向量 n·向量 CA1=0,即(x1,y1,z1)·(2,0,2)=2x1+2z1=0 可取向量 n=(1,-1,-1) 同理,设向量 m=(x2,y2,z2)是平面 A1CE 的法向量 则向量 m·向量 CE=0,即(x2,y2,z2)·(0,2,1)=2y2+z2=0 向量 m·向量 CA1=0,即(x2,y2,z2)·(2,0,2)=2x2+2z2=0 可取向量 m=(2,1,-2) 从而 cos<n,m>=(n·m)/(|n|·|m|)=[(1,-1,-1)·(2,1,-2)]/ (√3·√9)=3/(3√3)=√3/3 ∴sin<n,m>=√6/3 即二面角 D-A1C-E 的正弦值为√6/3.

19、经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元. 根据历史资料,得到销售季度内市场需 求量的频率分布直方图,如右图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该 农产品. 以 X(单位:t,100≤X≤150)表示市场需求量,T(单位:元)表示下一 个销售季度内经销该农产品的利润. (I)将 T 表示为 X 的函数 (II)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (III)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求 量 X∈[100,110),则取 X=105,且 X=105 的概率等于需求量落入[100,110)的 频率),求 T 的数学期望.

解析:(I)由题意得,当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X39000, 当 X∈[130,150)时,T=500×130=65000, ∴T=800X-39000,X∈[100,130) 65000,X∈[130,150) (II)由(I)知,利润 T 不少于 57000 元,当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7, 所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. (III)T 的分布列为 T P 45000 0.1 53000 0.2 61000 0.3 65000 0.4

∴ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.

20、平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:x?/a?+y?/b?=1(a>b>0)的右焦点 的直线 x+y-√3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 1/2 (Ι )求 M 的方程 (II)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积 的最大值。 解析:(I)∵直线 x+y-√3=0 过椭圆 M:x?/a?+y?/b?=1(a>b>0)的右焦点 ∴令 y=0,则 x=√3,即 F(√3,0),c=√3 设 A(x1,y1)B(x2,y2)p(x0,y0)

则 x1?/a?+y1?/b?=1,x2?/a?+y2?/b?=1 ∴x1?/a?+y1?/b?=x2?/a?+y2?/b? (x1?-x2?)/a?=(y2?-y1?)/b? b?/a?=(y2?-y1?)/(x1?-x2?)=-[(y2+y1)(y2-y1)]/[(x2+x1)(x2x1)] =-[(y2+y1)/(x2+x1)]·[(y2-y1)/(x2-x1)] ∵直线 AB:x+y-√3=0 的斜率为-1 ∴(y2-y1)/(x2-x1)=-1 又∵P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 1/2 ∴(y2+y1)/(x2+x1)=2y0/2x0=y0/x0=1/2 ∴b?/a?=-(1/2)×(-1)=1/2 即 a?=2b? 根据 a?-b?=c?=3,得 b?=3,a?=6 ∴椭圆 M 的方程为 x?/6+y?/3=1.

(II)x+y-√3=0,x?/6+y?/3=1 联立得 3x?-4√3x=0 即 x=0 或 4√3/3,对应 y=√3,或-√3/3 ∴|AB|=√2(4√3/3-0)=4√6/3 设与 AB 垂直的直线 CD 的方程为 y=x+n,(-5√3/3<n<√3)

代入 x?/6+y?/3=1 得 3x?+4nx+(2n?-6)=0 (x1-x2)?=(x1+x2)?-4x1x2=16n?/9-4(2n?-6)/3=8(9-n?)/9 ∴|CD|=√2|x1-x2|=√2·√[8(9-n?)/9]=4√(9-n?)/3 ∴四边形 ACBD 面积 S=|AB|·|CD|/2=(4√6/3)·[4√(9-n?) /3]/2=8√6·√(9-n?)/9 当 n=0 时,S 取最大值 8√6·√9/9=8√6/3.

21、已知函数,f(x)=e^x-ln(x+m). (Ι )设 x=0 是 f (x)的极值点,求 m,并讨论 f (x)的单调性; (II)当 m≤2 时,证明 f (x)>0. 解析:(I)f '(x)=e^x-1/(x+m) 由 x=0 是 f (x)的极值点,得 f '(0)=0 即 1-1/m=0 ∴m=1 于是 f(x)=e^x-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f '(x)=e^x-1/(x+1). ∵f '(x)=e^x-1/(x+1)在(-1,+∞)上单调递增,且 f '(0)=0 ∴当 x∈(-1,0)时,f '(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f '(x)>0 ∴f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (II)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时, f(x)>0. 当 m=2 时,函数 f '(x)=e^x-1/(x+2)在(-2,+∞)上单调递增. 又 f '(-1)<0,f '(0)>0 故 f '(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实数 x0,且 x0∈(-1,0) 当 x∈(-2,x0)时,f '(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0,从而 当 x=x0 时,f(x)取得最小值.

由 f '(0)=0 得 e^x0=1/(x0+2),ln(x0+2)=-x0 故 f(x)≥f(x0)=1/(x0+2)+x0=(x0+1)?/(x0+2). 综上,当 m≤2 时,f(x)>0.

22、如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分 别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC?AE=DC?AF,B、E、F、C 四点共圆. (I)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (II)若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比 值.

解析:(I)∵CD 为△ABC 外接圆的切线 ∴∠DCB=∠A 又 BC?AE=DC?AF,即 BC/DC=FA/EA ∴△CDB∽AEF ∴∠DBC=∠EFA 又 B、E、F、C 四点共圆. ∴∠ABC=∠EFA ∴∠DBC=∠ABC=90°

∴AC 为△ABC 外接圆的直径

(II)连接 CE,∵∠CBE=90° ∴过 B、E、F、C 四点的圆的直径为 CE 设 DB=BE=EA=a 则 CE?=CD?=DB·DA=a·3a=3a? AC?=AB·AD=2a·3a=6a? ∴过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值=CE?/AC?=3a?/6a? =1/2

23、已知动点 P、Q 都在曲线 C:x=2cost,y=2sint(t 为参数)上,对应参数分 别为 t=α 与 t=2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (I)求 M 的轨迹的参数方程; (II)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原 点. 解析:(I)依题意,P(2cosα ,2sinα ),Q(2cos2α ,2sin2α ) ∴中点 M(cosα +cos2α ,sinα +sin2α ) ∴M 的轨迹的参数方程为 x=cosα +cos2α ,y=sinα +sin2α ,(α 为参数,且 0<α <2π ) (II)M 到坐标原点的距离

d=√(x? +y? ) =√[(cosα+cos2α )?+(sinα+sin2α )? ] =√[2+2(cosαcos2α +sinαsin2α )] =√[2+2cos(α -2α )] =√(2+2cosα ),(0<α <2π ) ∵当 α=π 时,d=0 ∴M 的轨迹过坐标原点.

24、 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (I)ab+bc+ac≤1/3; (II)a?/b+b?/c+c?/a≥1 解析:(I)由 a?+b?≥2ab,a?+c?≥2ac,b?+c?≥2bc 得 a?+b?+c?≥ab+ac+bc ∵a+b+c=1 ∴(a+b+c)?=1 即 a?+b?+c?+2ab+2ac+2bc=1 ∴3(ab+ac+bc)≤1 即 ab+ac+bc≤1/3 (II)∵b+a?/b≥2a,c+b?/c≥2b,a+c?/a≥2c ∴a? /b+b? /c+c? /a+(a+b+c)≥2(a+b+c) 即 a?/b+b?/c+c?/a≥a+b+c ∴a?/b+b?/c+c?/a≥1.



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