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2017高中数学课本典例改编之必修4、必修5打包精品(6份) 人教课标版1(精品教案)

2017高中数学课本典例改编之必修4、必修5打包精品(6份) 人教课标版1(精品教案)

专题三 三角恒等变换
一、题之源:课本基础知识 .两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (α±β)=αβ±αβ; (α?β)=αβ±αβ; (α±β)=α± β?αβ).(α±β,α,β 均不为 π+∈) .二倍角的正弦、余弦、正切公式 α=αα; α=α-α=α-=-α; α=α-α).(αα 均不为 π+∈) .三角公式关系
二、题之本:思想方法技巧 .深层次领悟公式的功能、规律与内涵 对三角公式,知其结构特征仅是第一层面要求,重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内 涵. 如±α=(α±α)有并项的功能 α=α-α 有升幂的功能 α=αα 有将角由大化小的功能,两角和与差的 正切公式,揭示的是同名不同角的正切函数的关系等. .余弦的差角公式是本节公式之源,掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要 的. .三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明.对于有条件的恒等证明,需要注意 的问题有二:一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异,探寻消除差异(函数的差异、角的 差异)的方法;二是充分利用条件,特别是将条件变形整理后使用. .熟知一些恒等变换的技巧 ①公式的正用、逆用及变形用. ②熟悉角的拆拼技巧,理解倍角与半角是相对的,如 α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+ β是的半角是的倍角等. ③在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,尤其要重视常数“”的各 种变形,例如:==α+α 等. ④在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、 高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的. 总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂.通过对角的分拆,达到使

角相同;通过转换函数,达到同名(最好使式中只含一个函数名);通过对式子变形,达到化简 (尽可能整式化、低次化、有理化);通过幂的升降,达到幂的统一.

.辅助角公式(化一公式): asin x ? bcosx ? a2 ? b2 sin?x ?? ?(其中角所在的象限由, 的
符号确
定,角的值由 tan? ? b 确定)在求最值、化简时起着重要作用.把形如 a
y ? a sin2 x ? b sin x cos x ? c cos2 x ? d 的函数化为 y ? Asin? 2x ??? ? B的形式,再研究其

性质,是近几

年高考常考题型.

.已知值求角中,角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除.要

避免上述情况的发生,应合理选择三角函数形式进行求解,根据计算结果,估算出角的较精确的

取值范围,并不断缩小角的范围,在选择三角函数公式时,一般已知正切函数值,选正切函数,已知
正余弦函数值时,若角在 (0,? ) 时,一般选余弦函数,若是 (? ? , ? ) 则一般选正弦函数. 22

如:若A、均为锐角,且 tan A ? 1 ,sin B ? 10 ,则的值为.

7

10

.两角和正切公式的变形:αβ(αβ)(α·β),它体现了两个角正切的和与积的关系,在解题中有广泛的
应用,如求值: tan 20o ? tan 40o ? 3 tan 20o tan 40o ?()( 3)
.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ()一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使 用公式; ()二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”. ()三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等. .三角函数求值有三类

()“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与 特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊 角的三角函数而得解. ()“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变 角”,使其角相同或具有某种关系. ()“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角. 三、题之变:课本典例改编 .原题(必修第一百二十七页例)改编已知

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,? ?3 2

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求? 2

c?os?????

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.原题(必修第页组第十题)已知:tan? , tan ? 是方程 x2 ? 8x ? 3 ? 0 的两根,试求 tan(? ? ? )
的值.
改 编 已 知 : t a? n , tan ? 是 方 程 x2 ? 8x ? 3 ? 0 的 两 根 , 求

sin2 (? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 2 的值.

【解析】由题意有 tan? ? tan ? ? 8, tan? tan ? ? ?3 ,

∴ tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? ? 8 ? 2 , 1? tan? tan ? 1? (?3)

∴ sin2 (? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 2

?

sin 2 (?

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?

)

?

3sin(?

? ? ) cos(? ? ? ) ? 2[sin sin 2 (? ? ? ) ? cos2 (? ?

2 (? ?)

?

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)

?

cos2 (?

?

?

)]

?

3 tan2 (? ? ? ) ? tan2 (?

3 tan(? ? ? ?)?1

?)

?

2

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3?

22 ? 22

3? 2 ?1

?

2

?

8 5

.

.原题(必修第一百三十九页例)改编化简: 2 1 ? sin 4 ? 2 ? 2 cos 4 的结果是.
【解析】
.原题(必修第页复习参考题组第七题)改编如图,正方形的边长为、分别为、上的点,当∠ 450
时,求△的周长.

.原题(必修第一百四十七页复习参考题组第六题)改编若函数

f ( x)?

3 s i xn? 2 2 2 xc? o在ms区 间 [0, ? ] 上 的 最 小 值 为 , 求 常 数 m 的 值 及 此 函 数 当 2

x ?[a, a ? ? ] (其中可取任意实数)时的最大值.

【解析】 f (x) ? 3 sin 2x ? cos 2x ? m ?1 ? 2sin(2x ? ? ) ? m ?1, x ?[0, ? ]

6

2

时, 2x ? ? ?[? , 7? ] , sin(2x ? ? ) ?[? 1 ,1] ,?m ? 3 ,由于 f (x) 最小正周期为 ? ,所以当取

6 66

62

任意实数

时, f (x) 区间[a, a ? ? ] 上的最大值是.

面对着学习,你就要有毅力。因为你就如身在干旱的沙漠之中,没有水也没有食物,你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时蒸发着的那一点微少的汗水,你在这种地境里,不可以倒下,要坚强, 要努力走出这个荒芜的沙漠,找回生存的希望,仅此无他。在学习的赛跑线上,你就应该有着这不懈的精神,累了,渴了,你仍要坚持下去,因为终点就在不远的前方…行路人,用足音代替叹息 吧!志士不饮盗泉之水,廉者不受嗟来之食你的作业进步很大,继续加油!你会更出色! 位卑未敢忘忧国,事定犹须待阖棺。 希望你一生平安,幸福,像燕雀般起步,像大雁般云游,早日像鹰 一样翱翔,千里之行,始于足下。学习就是如此痛快,它能放松人的心灵,但必须是在热爱的基础上。瞧!学习就能带来如此奇妙的享受! 学习总是在一点一滴中积累而成的,就像砌砖,总要结 结实实。踏踏实实的学吧!加油!成功属于努力的人!聪明出于勤奋,天才在于积累。 人天天都学到一点东西,而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 生活中处处都有语文,更不缺少语文, 而是缺少我们发现语文的眼睛,善于发问的心。让我们在生活中,去寻找更有趣、更广阔、更丰富.


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