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11-12学年高二数学:1.6 微积分基本定理 课件(人教A版选修2-2)

11-12学年高二数学:1.6 微积分基本定理 课件(人教A版选修2-2)


? 1.6 微积分基本定理

? 1.通过实例,直观了解微积分基本定理 的含义; ? 2.利用微积分基本定理,求函数的定积 分.

? 本节重点:微积分基本定理. ? 本节难点:导数与积分的关系;利用微积 分基本定理求函数的定积分.

? 1.用微积分基本定理求定积分,关键是 找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积 函数的原函数,利用求导运算与求原函数 运算互为逆运算的关系,运用基本初等函 数求导公式和导数的四则运算法则从反方 向上求出F(x). ? 2.利用微积分基本定理求定积分,有时 需先化简,再积分.

3.被积函数的原函数有很多,即若 F(x)是被积函数 f(x)的一个原函数,那么 F(x)+C(C 为常数)也是被积函数 f(x)的原函数. 但是在实际运算时, 不论如何选择常数 C(或 者是忽略 C)都没有关系,事实上,以 F(x)+C 代替式中的 F(x)有?bf(x)dx=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a). ? ?
?a

? 1.微积分基本定理

? 2.定积分和曲边梯形面积的关系 ? 设曲边梯形在x轴上方的面积为S 上 ,x轴下 方的面积为S下,则
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时, 如图(1), ?bf(x)dx 则? ?
?

a

=S 上



(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时, 如图(2), ?bf(x)dx 则? ?
?a

=-S 下. (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、 轴下方均存在时, x 如图(3),则?bf(x)dx=S 上-S 下,若 S 上=S 下,则?bf(x)dx=0. ? ? ? ?
?a ?a

? [例1] 求下列定积分
1 (1) dx;(2)?1x3dx;(3) ? ? x ?
?2 ? ? ?1

x 1-1e dx. ?
?

0

? [分析] 根据导数与积分的关系,求定积 分要先找到一个导数等于被积函数的原函 数,再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案, 找原函数可结合导数公式表.

? [点评] 求定积分主要是要找到被积函数的 原函数.也就是说,要找到一个函数,它 的导数等于被积函数.由此可见,求导运 算与求原函数运算互为逆运算.

? [分析] 由于被积函数是绝对值函数,需 在积分区间[-2,2]上分段积分,这里零点 是x=0,x=1.

? [点评] 在求含绝对值函数的积分时,由于 被积函数的表达形式在给定区间上不能用 统一的形式表示,需分段积分.

[例 3]
[分析]

求 c 的值,使?1(x2+cx+c)2dx 最小. ? ?
?0

对于一个确定的 c 的值,?1(x2+cx+c)2dx 是 ? ?
?0

一个确定的数,因而?1(x2+cx+c)2dx 可看成一个关于 c 的 ? ?
?

0

函数,再求 c 取何值时,此函数有最小值.

[解析]

令 y=?1(x2+cx+c)2dx ? ?
?0

=?1(x4+2cx3+c2x2+2cx2+2c2x+c2)dx ? ?
?0

?1 2 4 c2 3 2c 3 2c2 2 2 ??1 =?5x5+4cx + 3 x + 3 x + 2 x +c x??0 ? ? ?

1 1 c2 2c 2 2 = + c+ + +c +c 5 2 3 3 1 7 7 2 7? 1?2 1 7 = + c+ c = ?c+4? + - 5 6 3 3? 5 48 ? 1 所以当 c=- 时,y 最小. 4

? [点评] 本题考查了如何求定积分,同时考 查了函数求最值.对本题中的乘方形式, 先用公式展开,表示成和的形式,然后分 别求出,再求和.

设 f(x)是连续函数,且 f(x)=x+2?1f(t)dt,求 f(x). ? ?
[解析] ∵2 f(t)dt 是一个常数
?1 ? ? ?0

?0

∴可设 f(x)=x+c ∴ f(t)dt=
0
?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

0

?1 ?? 1 2 (t+c)dt=?2t +ct??0 ? ? ?

1 =2+c

∴c=2?1f(t)dt=1+2c ? ?
?

0

∴c=-1 ∴f(x)=x-1.

一、选择题 1.?π(cosx+1)dx 等于 ? ?
?0

(

)

A.1 C.π+1

B.0 D.π

? [答案] D

A.0 C.2
[答案] C

π B.4 D.4

1? 3.若 2x+x?dx=3+ln2,则 a 的值是 ?
?a ? ? ? ? ?1

?

(

)

? A.6 ? C.3 ? [答案] D
[解析]
?a ? ? ? ? ?1

B.4 D.2
1? a ? 2x+ ?dx=(x2+lnx)?1 ? x?

?

=a2-1+lna=3+ln2,
?a2-1=3 ? 所以? ?a=2 ?



解得 a=2.故应选 D.

二、填空题 17 4. 已知 f(x)是一次函数, f(x)dx=5, xf(x)dx= 6 , 且
?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?0

那么 f(x)=________.

? [答案] 4x+3

? [解析] 设f(x)=ax+b(a≠0),则

[答案] -2



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