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2019_2020学年高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式1数学归纳法课件新人教A版_图文

2019_2020学年高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式1数学归纳法课件新人教A版_图文

第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法

学习目标:1.了解数学归纳法的原理及其使用范围.(重点)2.会 利用数学归纳法证明一些简单问题.(重点、难点)

自主预习 探新知

教材整理 数学归纳法的概念 阅读教材 P46~P50,完成下列问题. 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当 n=n0 时命题成立;
(2)假设当_n_=__k_(k_∈__N__+_,__且__k_≥__n_0_) 时命题成立,证明__n_=__k_+__1____
时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正
整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.

数学归纳法证明中,在验证了 n=1 时命题正确,假定 n=k 时命

题正确,此时 k 的取值范围是( )

A.k∈N C.k≥1,k∈N+

B.k>1,k∈N+ D.k>2,k∈N+

C [数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法,所以 k

是正整数,又第一步是递推的基础,所以 k 大于等于 1.]

合作探究 提素养

用数学归纳法证明等式
【例 1】 用数学归纳法证明: 1-12+13-14+…+2n1-1-21n=n+1 1+n+1 2+…+21n. [精彩点拨] 要证等式的左边共 2n 项,右边共 n 项,f(k)与 f(k +1)相比左边增二项,右边增一项,而且左、右两边的首项不同.因 此,由“n=k”到“n=k+1”时要注意项的合并.

[自主解答] ①当 n=1 时,左边=1-12=12=1+1 1=右边,所以 等式成立.
②假设 n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即 1-12+13-14+…+2k-1 1-21k=k+1 1+k+1 2+…+21k,则当 n=k +1 时,







1



1 2



1 3



1 4







1 2k-1



1 2k



1 2k+1



1 2k+2



????k+1 1+k+1 2+…+21k????+2k+1 1-2k+1 2

=????k+1 2+…+21k+2k+1 1????+????k+1 1-2k+1 2???? =k+1 2+…+21k+2k+1 1+2k+1 2=右边,

所以,n=k+1 时等式成立.

由①②知,等式对任意 n∈N+成立.

1.用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”,弄清等式两边 的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关.由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.
2.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表 述 n=n0 时命题的形式,二是要准确把握由 n=k 到 n=k+1 时,命题结 构的变化特点.并且一定要记住:在证明 n=k+1 成立时,必须使用归 纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节.

1.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2= -n(2n+1).
[证明] (1)当 n=1 时,左边=12-22=-3, 右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.

(2)假设当 n=k(k≥1)时,等式成立,就是 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1). 当 n=k+1 时, 12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)-(4k+3) =-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1], 所以 n=k+1 时等式也成立, 根据(1)和(2)可知,等式对任何 n∈N+都成立.

用数学归纳法证明整除问题
【例 2】 用数学归纳法证明:(3n+1)·7n-1 能被 9 整除(n∈N+). [精彩点拨] 先验证 n=1 时命题成立,然后再利用归纳假设证 明,关键是找清 f(k+1)与 f(k)的关系并设法配凑.

[自主解答] (1)当 n=1 时,原式=(3×1+1)×7-1=27,能被 9 整除,命题成立.
(2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,(3k+1)·7k-1 能被 9 整除,则 当 n=k+1 时,
[ 3(k+1)+1]·7k+1-1 =[21(k+1)+7]·7k-1 =[(3k+1)+(18k+27)]·7k-1 =[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k.

∵[(3k+1)·7k-1]和 9(2k+3)·7k 都能被 9 整除, ∴[ (3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k 能被 9 整除, 即[3(k+1)+1]·7k+1-1 能被 9 整除, 即当 n=k+1 时命题成立. 由(1)(2)可知,对任何 n∈N+,命题都成立,即(3n+1)·7n-1 能 被 9 整除(n∈N+).

1.证明本题时关键是用归纳假设式子(3k+1)·7k-1 表示 n=k+ 1 时的式子.
2.用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、 并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论,从而利用归纳 假设使问题获证.一般地,证明一个与 n 有关的式子 f(n)能被一个数 a(或一个代数式 g(n)) 整除,主要是找到 f(k+1)与 f(k)的关系,设法 找到式子 f1(k),f2(k),使得 f(k+1)=f(k)·f1(k)+f2(k).

2.求证:n3+(n+1)3+(n+2)3 能被 9 整除.
[证明] (1)当 n=1 时,13+(1+1)3+(1+2)3=36,36 能被 9 整除, 命题成立.

(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即 k3+(k+1)3+(k+ 2)3 能被 9 整除,
当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =(k+1)3+(k+2)3+k3+3k2·3+3k·32+33 =[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9(k2+3k+3), 由归纳假设知,上式中两项都能被 9 整除,故 n=k+1 时,命题 也成立. 由(1)和(2)可知,对 n∈N+命题成立.

证明几何命题
【例 3】 平面内有 n(n≥2,n∈N+)条直线,其中任意两条不平 行,任意三条不过同一点,那么这 n 条直线的交点个数 f(n)是多少? 并证明你的结论.
[精彩点拨] (1)从特殊入手,求 f(2),f(3),f(4),猜想出一般性 结论 f(n);(2)利用数学归纳法证明.

[自主解答] 当 n=2 时,f(2)=1 ;当 n=3 时,f(3)=3; 当 n=4 时,f(4)=6. 因此猜想 f(n)=n?n-2 1?(n≥2,n∈N+). 下面利用数学归纳法证明: (1)当 n=2 时,两条相交直线有一个交点, 又 f(2)=12×2×(2-1)=1. ∴n=2 时,命题成立.

(2)假设当 n=k(k≥2 且 k∈N+)时命题成立,就是该平面内满足 题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k)=12k(k-1),
当 n=k+1 时,其中一条直线记为 l,剩下的 k 条直线为 l1, l2,…,lk.
由归纳假设知,剩下的 k 条直线之间的交点个数为 f(k)=k?k-2 1?. 由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点, 所以直线 l 与 l1,l2,l3,…,lk 的交点共有 k 个,

∴f(k+1)=f(k)+k=k?k-2 1?+k=k2+2 k =k?k+2 1?=?k+1?[?k2+1?-1], ∴当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)可知,命题对一切 n∈N+且 n≥2 时成立.

1.从特殊入手,寻找一般性结论,并探索 n 变化时,交点个数 间的关系.
2.利用数学归纳法证明几何问题时,关键是正确分析由 n=k 到 n=k+1 时几何图形的变化规律并结合图形直观分析,要讲清原 因.

3.在本例中,探究这 n 条直线互相分割成线段或射线的条数是 多少?并加以证明.
[解] 设分割成线段或射线的条数为 f(n),则 f(2)=4,f(3)=9, f(4)=16.
猜想 n 条直线分割成线段或射线的条数 f(n)=n2(n≥2),下面利 用数学归纳法证明.
(1)当 n=2 时,显然成立.

(2)假设当 n=k(k≥2,且 k∈N+)时, 结论成立,f(k)=k2. 则当 n=k+1 时,设有 l1,l2,…,lk,lk+1,共 k+1 条直线满足 题设条件. 不妨取出直线 l1,余下的 k 条直线 l2,l3,…,lk,lk+1 互相分割 成 f(k)=k2 条射线或线段.

直线 l1 与这 k 条直线恰有 k 个交点,则直线 l1 被这 k 个交点分成 k+1 条射线或线段.k 条直线 l2,l3,…,lk-1 中的每一条都与 l1 恰有 一个交点,因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段, 共有 k 条.
故 f(k+1)=f(k)+k+1+k=k2+2k+1=(k+1)2, ∴当 n=k+1 时,结论正确. 由(1)(2)可知,上述结论对一切 n≥2 且 n∈N+均成立.

数学归纳法的概念
[探究问题] 1.数学归纳法中,n 取的第一个值 n0 是否一定是 1? [提示] n0 不一定是 1,指适合命题的第一个正整数,不是一定 从 1 开始.

2.如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系?
[提示] 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推 的桥梁,这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出 判断,可能得出不正确的结论,因为单靠步骤(1)无法递推下去,即 n 取 n0 以后的数时命题是否正确,我们无法判断.同样只有步骤(2)而 缺少步骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础, 假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就无意义了.

【例 4】 用数学归纳法证明:1+a+a2+…+an+1=1-1-ana+2

(a≠1,n∈N+),在验证 n=1 成立时,左边计算的结果是( )

A.1

B.1+a

C.1+a+a2

D.1+a+a2+a3

[精彩点拨] 注意左端特征,共有 n+2 项,首项为 1,最后一项 为 an+1.

C [实际是由 1(即 a0)起,每项指数增加 1,到最后一项为 an+1, 所以 n=1 时,左边的最后一项应为 a2,因此左边计算的结果应为 1 +a+a2.]

1.验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始 值不一定为 1.
2.递推是关键:正确分析由 n=k 到 n=k+1 时式子项数的变化 是应用数学归纳法成功证明问题的保障.

4.当 f(k)=1-12+13-14+…+2k-1 1-21k,则 f(k+1)=f(k)+ ________.

[解析]

f(k



1)



1



1 2



1 3



1 4







1 2k-1



1 2k



1 2k+1



2?k+1 1?,∴f(k+1)=f(k)+2k+1 1-2?k+1 1?.

[答案] 2k+1 1-2k+1 2

当堂达标 固双基

1.用数学归纳法证明:1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·

(2n+1)时,在验证 n=1 成立时,左边所得的代数式为( )

A.1

B.1+3

C.1+2+3

D.1+2+3+4

C [当 n=1 时左边所得的代数式为 1+2+3.]

2.某个与正整数 n 有关的命题,如果当 n=k(k∈N+且 k≥1)时 命题成立,则一定可推得当 n=k+1 时,该命题也成立.现已知 n= 5 时,该命题不成立,那么应有( )
A.当 n=4 时,该命题成立 B.当 n=6 时,该命题成立 C.当 n=4 时,该命题不成立 D.当 n=6 时,该命题不成立
C [若 n=4 时命题成立,由递推关系知 n=5 时命题成立,与 题中条件矛盾,所以 n=4 时,该命题不成立.]

3.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n

-1)(n∈N+)时,从“n=k 到 n=k+1”左端需乘以的代数式为( )

A.2k+1

B.2(2k+1)

C.2kk++11

D.2kk++13

B [当 n=k 时,等式为(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3·…·(2k-1). 当 n=k+1 时,左边=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+k][(k+ 1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2). 比较 n=k 和 n=k+1 时等式的左边,可知左端需乘以 ?2k+k1+??21k+2?=2(2k+1).故选 B.]

4.用数学归纳法证明:“1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)= n(n+1)2,n∈N+”时,若 n=1,则左端应为________.
[解析] 当 n=1 时,左端应为 1×4=4. [答案] 4

5.用数学归纳法证明:1+a+a2+…+an-1=11--aan(a≠1,n∈N+).
[证明] (1)当 n=1 时,左边=1,右边=11- -aa=1,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+)时,等式成立, 即 1+a+a2+…+ak-1=11--aak.

那么 n=k+1 时, 左边=1+a+a2+…+ak-1+ak=11--aak+ak =1-ak+1-aka-ak+1=1-1-aka+1 =右边, 所以等式也成立. 由(1)(2)可知,对任意 n∈N+等式均成立.


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