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高中数学 42向量的加法(二)课件 湘教版必修2_图文

高中数学 42向量的加法(二)课件 湘教版必修2_图文

4.2 向量的加法(二) ? 1.理解零向量的意义. ? 2.理解相反向量的意义,掌握向量减法运算及其几何意 义. ? 3.能熟练地进行向量减法运算. 自学导引 1.? 零量向没量有确:定长的度方为向0的.向量叫做零向量,记作0 或_ →0 . 零向 2.相反向量 与a_长__度__相__等__,__方__向__相__反__的向量,叫做a的相反向量,记 作-__a_. (1)规定:零向量的相反向量仍是_零__向__量__; (2)-(-a)=_a_; (3)a+(-a)=_(-__a_)_+__a_=_0_; (4)若a与b互为相反向量,则a=-b,b=_-__a,a+b=_0_. 3. ? ? 由向量的加法可以定义向量的减法 (1)定义:a-b=a+____,即减去一个向量相当于加上 这个向量的______(-__b_). 相反向量 (2)几何意义:以 A 为起点,作向量A→B=a, A→D=b,则 _D→_B_=a-b,如图所示,即a-b 可表示从向量_b的终点指向向量_a的终点的 向量. 4. 一个向量B→A等于它的终点相对于点 O 的位置向量O→A减去 它的始点相对于点 O 的位置向量O→B,或简记“终点向量_减_始 点向量”. 自主探究 ? 对任意向量a,b,式子≤|a-b|≤|a|+|b|能成立吗?如果 成立的话,在什么时候取等号? ? 提示 式子≤|a-b|≤|a|+|b|是成立的. ? (1)若a,b中有零向量,则上式取“=”号; ? (2)若a,b均为非零向量, ? ①若a,b同向共线,则|a-b|=||a|-|b||; ? ②若a,b反向共线,则|a-b|=|a|+|b|; ③当 a,b 不共线时,作向量A→B=a,A→C=b,则向量C→B=a -b.在三角形 ABC 中,根据“两边之和大于第三边,两边之 差小于第三边”可得||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|. 综上可得,式子???|a|-|b|???≤|a-b|≤|a|+|b|是成立的. 预习测评 1.? 下列四个等式: ? ①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a-b =a+(-b).其中正确等式的个数为 ( ). ? A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ? 解析 ①、②、④三个正确,③应等于0而不是数0,所以③ 错. ? 答案 C 2.? 在△ABC中,下列运算正确的是 A.A→(C-C→).B=B→A B.A→B-A→C=B→C C.B→A-B→C=C→A D.C→A+C→B=B→A 答案 C 3.如果a+b=0,则b是a的________向量. 答案 相反 4.? 下列说法中正确的是________. ? ①任何一个向量与它的相反向量的和都是零向量; ? ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量; ? ③a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向 量. ? 答案 ①②③ 名师点睛 1.? ? 向量减法的运算法则 (1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算,可 以灵活转化,减去一个向量等于加上这个向量的相反向 量. (2)两个向量的差也可用平行四边形法 则及三角形法则求得:用平行四边形 法则时,两个向量也是共起点,和向 ? 量是起点与它们的起点重合的那条对角线(A→C), 而差向 量用是三另角一形条法对则角时(D→线,B)把,减向方量向与是被从减减向向量量的指起向点被相减重向合量,; 则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. ? 向量减法的作图法 ? 因为(a-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a,所以求a-b 2. 就是求这样一个向量,它与b的和等于a,从而得出a-b 的作图法. 向量减法的几何作法:在平面内任取一点 O,作O→A=a,O→B =b,则B→A=a-b,即 a-b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义. 3.? 对任意两个向量,总有向量不等式成立:||a|-|b||≤|a- b|≤|a|+|b|. 典例剖析 题型一 向量的加减运算 【例1】? 化简下列式子: (1)N→Q-P→Q-N→M-M→P; (2)(A→B-C→D)-(A→C-B→D). 解 (1)原式=N→P+M→N-M→P=N→P+P→N=N→P-N→P=0. (2)原式=A→B-C→D-A→C+B→D =(A→B-A→C)+(D→C-D→B)=C→B+B→C=0. ? 点评 向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字 母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量 的终点的字母为终点. 1. 化简:O→A+O→C+B→O+C→O. 解 O→A+O→C+B→O+C→O=O→A+O→C+B→O+(-O→C) =O→A+B→O=O→A-O→B=B→A. 题型二 利用指定向量表示其它向量 【例2】 如图所示,已知O→A=a,O→B=b,O→C= c,O→E=e,O→D=d,O→F=f,试用 a,b, c,d,e,f 表示A→C,A→D,A→D-A→B,A→B+ C→F,B→F-B→D,D→F+F→E+E→D. 解 A→C=O→C-O→A=c-a,A→D=O→D-O→A=d-a, A→D-A→B=B→D=O→D-O→B=d-b, A→B+C→F=O→B-O→A+O→F-O→C=b-a+f-c, B→F-B→D=D→F=O→F-O→D=f-d, D→F+F→E+E→D=0. ? 点评 结合几何图形,灵活利用三角形法则处理.有时还要利用到相反 向量的性质,封闭图形各边一定对应的向量依次相加的和为零向量等结 论. 2. 如图所示,在正八边形 ABCDEFGH 中,A→B=a,B→C=b,C→D =c,D→E=d,E→F=e. (1)试用已知向量表示F→B; (2)试用已知向量表示C→G. 解 (1)由图可知, F→B=-

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