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平面向量知识点总结(精华)

平面向量知识点总结(精华)


平面向量基础知识复习

必修 4

平面向量知识点小结

一、向量的基本概念 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示. 注意:不能说向量就是有向线段,为什么? 提示:向量可以 平移. ? ? 举例 1 已知 A(1,2) , B(4,2) ,则把向量 ??? AB 按向量 a ? (?1,3) 平移后得到的向 量是_____. 结果: (3,0) ? 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,规定:零向量的 方向是任意的; ??? ? 3.单位向量: 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与 AB 共线
??? ? AB 的单位向量是 ? ???? ) ; | AB |

4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向 量有传递性; ? ? 5.平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫 ? ? 做平行向量,记作: a ∥b , 规定:零向量和任何向量平行. 注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量 平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合; ? ③平行向量无传递性! (因为有 0 ); ??? ? ???? ④三点 A、B、C 共线 ? AB、AC 共线. ? 6.相反向量: 长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量 ? 记作 ? a . ? ? 举例 2 如下列命题: (1)若 | a? |?| b? | ,则 a ?b . (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同. ? ??? ? ? (3)若 ??? AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形. ? ??? ? ? (4)若 ABCD 是平行四边形,则 ??? AB ? DC . ? ? ? ? ? ? (5)若 a ? b , b ? c ,则 a ? c . ? ? ? ? ? ? (6)若 a . 结果: (4) (5) / /b ,b / /c 则 a / / c .其中正确的是 二、向量的表示方法 ??? ? 1.几何表示:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终 点在后;
1

平面向量基础知识复习

? ? 2.符号表示:用一个小写的英文字母来表示,如 a ,b ,c 等; 3.坐标表示:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同 ? ? ? 的两个单位向量 i , j 为基底,则平面内的任一向量 a 可表示为 ? ? ? ? ? ? a ? xi ? yj ? ( x, y) ,称 ( x, y ) 为向量 a 的坐标, a ? ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标表示. 结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同. 三、平面向量的基本定理 ? ? ? 定理 设 e 1 , e2 同一平面内的一组基底向量, a 是该平面内任一向量, ? ? ? ? ?1e1 ? ?2 e2 . 则存在唯一实数对 (?1 , ?2 ) ,使 a
? ? ? ? (1)定理核心: a (2)从左向右看,是对向量 a 的分解,且 ? λe ? λ e ;
1 1 2 2

?

? 表达式唯一;反之,是对向量 a 的合成. ? ? ? ? ? ? (3)向量的正交分解:当 e , e 时,就说 a ? λ e ? λ e 为对向量 a 的正交分
1 2 1 1 2 2

解.
? ? ? ? 举例 3 (1)若 a ? (1,1) , b ? (1, ?1) , c ? (?1,2) ,则 c ?

.

结果:

1? 3? a? b 2 2

.

(2) 下列向量组中, 能作为平面内所有向量基底的是 B ? ? ? ? ? ? A. e ? (0,0) , e ? (1,?2) B. e ? (?1,2) , e ? (5,7) C. e ? (3,5) , e ? (6,10) ? ?1 3? ? D. e ? (2, ?3) , e ? ? , ? ? ?2 4?
1 2 1 2 1 2 1
2

??? ? ??? ? ? ???? ? ??? ? AD , BE 分别是 △ABC 的边 BC ,AC 上的中线,且 AD ? a ,BE ? b ,则 BC (3)已知 ???? ? 4? 可用向量 a?, b? 表示为 . 结果: 2 a? b. 3 3

???? ???? ??? ? ??? ? ???? (4)已知 △ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB , CD ? rAB ? sAC ,则 r ? s ? 的 值是 . 结果:0. 四、实数与向量的积 ? ? 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如 下: ? ? |?| ? | ? | a | ; (1)模: | ? a ? ? ? (2)方向:当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? ? 0 时, ? a 的 ? ? ? 方向与 a 的方向相反,当 ? ? 0 时, ? a ? 0 , ? 注意: ?a ?0 . 五、平面向量的数量积 ??? ? ? ??? ? ? ? ? 1.两个向量的夹角 :对于非零向量 a , b ,作 OA ? a , OB ? b ,则把 ? ? ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) 称为向量 a , b 的夹角.

2

平面向量基础知识复习

? ? ? 当 ? ? 0 时, a , b 同向;当 ? ? ? 时, a , b 反向;当 ? ? ? 时, a ,b 垂

?

?

?

2

直.

? 2.平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? , ? ? ? ? ? ? ?b , 我们把数量 | a || b | cos? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积或点积) ,记作: a ? ? ? ? 即 a ? b ?| a | ? | b | cos? . 规定:零向量与任一向量的数量积是 0. 注:数量积是一个实数,不再是一个向量. ??? ? ???? ???? ? ??? ? | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 , 举例 4 (1) 则 ??? 结 △ABC 中, B AC B? ? _________. 果: ?9 . ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? b ? ? 0, ? ? , (2) 已知 a? ? ???1, 1 则 k ? ____. c 与 d 的夹角为 , c ? a ? kb , d ? a ?b , ? , 2? 2? ? 4

?

结果:1. ? ? ? ? ? ? (3)已知 | a 结果: 23 . |? 2 , | b |? 5 , a ? b ? ?3 ,则 | a ? b |? ____. ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4) 已知 a, b 是两个非零向量, 且 | a |?| b |?| a ? b | , 则a 与a ? b 的夹角为____. 结果: 30 . ? ? ? 3.向量 b 在向量 a 上的投影:| b | cos? ,它是一个实数,但不一定大于 0. ? ? ? ? ? ? 举例 5 已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为 ______. 结果: 12 . 5
?

? ? ? ? ? ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积. 4. a ? ? 5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ? ? ? ? ? b ? a ?b ? 0 ; (1 ) a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)当 a 、 b 同向时, a ? b ?| a | ? | b | ,特别地, a 2 ? a ? a ?| a |2 ?| a |? a 2 ; ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | 是 a 、 b 同向的充要分条件; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当a 、 b 反向时, a ? b ? ? | a | ? | b | , a ? b ? ? | a | ? | b | 是 a 、 b 反向的充要分条 件; ? ? ? ? ? ? ? b ? 0 ,且 a 、 b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要不 当 ? 为锐角时, a 充分条件; ? ? ? ? ? ? ? b ? 0 ,且 a 、 b 不反向; a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要不 当 ? 为钝角时, a 充分条件.

?

?

?

? ? ? ? a ?b ? ? ? ? (3)非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ? ? ? ;④ a ? b ?| a || b | . | a || b |

? ? ? ? 举例 6 (1)已知 a ? (?,2?) , b ? (3? , 2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的 取值范围是______. 结果: ? ? ? 4 或 ? ?0且 ? ? 1 ; 3 3

3

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???? ???? ???? 1 3 ? FQ ? 1 ,若 ? S ? FQ 夹角 ? 的 (2)已知 △OFQ 的面积为 S ,且 OF ,则 OF , ???? 2 2

取值范围是_________.

结果: ??? ?4 , ?3 ??? ;

? ? ? ? ? ? (3)已知 a ? (cos x,sin x) , b ? (cos y,sin y ) ,且满足 | ka ? b |? 3 | a ? kb | (其中 k ? 0 ). ? ? ? ? ? ? ①用 k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的大小 . 结果:① a? ? b? ? k 4k? 1 (k ? 0) ;②最小值为 1 , ? ? 60 . 2
2

?

六、向量的运算 1.几何运算 (1)向量加法 运算法则:①平行四边形法则;②三角形法则. ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ? 运 算 形 式 : 若 AB ? a , BC ? b , 则 向 量 AC 叫 做 a 与 b 的和,即 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? a ? b ? A B? B C? A C ; 作图:略. 注:平行四边形法则只适用于不共线的向量. (2)向量的减法 运算法则:三角形法则. ??? ? ? ???? ? ? ???? ??? ? ? ? ??? ? b ? AB ? AC ? CA,即由减向量的终 运算形式:若 AB ? a , AC ? b ,则 a 点指向被减向量的终点. 作图:略. 注:减向量与被减向量的起点相同. ? ??? ? ??? ? ? ???? ??? ? ? 举例 7 ( 1 )化简:① ??? ;② ??? ;③ AB ? BC ? CD ? AB ? AD ? DC ? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ( AB ? CD) ? ( AC ? BD )? . 结果:① AD ;② CB ;③ 0 ; ? ? ??? ? ? ???? ? (2) 若正方形 ABCD 的边长为 1,??? 则 | a? ? b? ? c? |? . AB ? a , BC ? b ,AC ? c , 结果: 2 2 ; ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ? OC ? OB ? OC ? 2OA , (3) 若 O 是 △ABC 所在平面内一点, 且满足 OB 则 △ABC 的 形状为. 结果:直角三角形; ( 4)若 D 为 △ABC 的边 BC 的中点, △ABC 所在平面内有一点 P ,满足 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | AP | . 结果:2; PA ? BP ? CP ? 0 ,设 ???? ? ? ,则 ? 的值为 | PD |
??? ? ??? ? ??? ? ? (5)若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA . ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 C 为 结果: 120 . ? ? ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 2.坐标运算:设 a ? ? ? ? (1)向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . ? ??? ? ???? AP ? AB ? ? AC (? ? R ) , 举例 8 (1) 已知点 A(2,3) ,B(5,4) ,C(7,10) , 若 ??? 则当 ? ? ____ 1 时,点 P 在第一、三象限的角平分线上. 结果: 2 ;
?

4

平面向量基础知识复习
??? ? ? ? (2)已知 A(2,3) , B(1,4) ,且 1 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (? , ) ,则 x ? y ? 2 2 2

.结

果: ? 或 ?? ; 6 2
? ?? ? ?? ? F ? (3, 4) , F ? (2, ?5) , F ? (3,1) ,则合力 (3)已知作用在点 A(1,1) 的三个力 ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? F ? F ? F ? F 的终点坐标是 . 结果: (9,1) . ? ? ? ( x1 , y1 ) ? (? x1 , ? y1 ) . (2)实数与向量的积: ? a ??? ? (3)若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,即一个向量的坐标等 于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. ???? ??? ? ? 1 ??? 举例 9 设 A(2,3) , B(?1,5) ,且 ???? AC ? AB , AD ? 3AB ,则 C, D 的坐标分别是 3
1 2 3 1 2 3

__________.

结果: (1,11 ),(?7,9) . 3

? (4)平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 . ? ? ? 举例 10 已知向量 a ? (sin x,cos x) , b ? (sin x,sin x) , c ? (?1,0) . ? (1)若 x ? ? ,求向量 a 、 c? 的夹角; 3
? ? (2) 若 x ?[? 38 函数 f ( x) ? ? a? ? b? 的最大值为 1 , 求 ? 的值.结果: (1) ,] , 150 ; 4 2
?

?

(2) 1 或? 2

2 ?1

.
?

?2 ? 2 2 ? (5)向量的模: a ?| a | ? x ? y2 ?| a |? x2 ? y2 . 举例 11 已知 a?, b? 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a? ? 3b? |? = . 结果: 13 . (6)两点间的距离:若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 | AB |? (x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 . y 举例 12 如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60 ,平面上任一点 P关 于斜坐标系 ??? ? ? ? ? ? ? xe ? ye ,其中 e , e 分别为与 x 轴、 y 轴同 的斜坐标是这样定义的:若 OP 60 x O 方向的单 位向量,则 P 点斜坐标为 (x, y) . (1)若点 P 的斜坐标为 (2,?2) ,求 P 到 O 的距离 | PO | ; (2)求以 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程. 结果: (1)2; (2) x ? y ? xy ? 1 ? 0 . 七、向量的运算律 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? b ? a , ? (? a ) ? (?? )a , a ? b ? b ? a ; 1.交换律: a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.结合律: a ? b ? c ? (a ? b ) ? c , a ? b ? c ? a ? (b ? c ) , (? a)b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a , ? ( a ? b ) ? ? a ? ?b , ( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c . 3.分配律: (? ? ? )a 举例 13 给出下列命题:① a? ? (b? ? c?) ? a? ? b? ? a? ? c? ;② a? ? (b? ? c?) ? (a? ? b?) ? c? ;③ ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ?| a | ?2 | a || b | ? | b | ;
?
1 2

1

2

?

2

2

2

2

2

5

平面向量基础知识复习

④ 若 ⑧ (a? ? b?)
2

? ? a ?b ?0

,则
2 2

? ? a ?0


2

? ? b ?0

? ? a ?b b ? ? ? ? ? ? ;⑤若 a ? b ? c ? b 则 a ? c ;⑥ | a | ? a ;⑦ ? ? ? ; a a
2 2

? ?
2

?

;⑨ (a? ? b?) ? a? ? 2a? ? b? ? b? . 其中正确的是 . 结果:①⑥⑨. 说明: (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个 向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模, 两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一 个向量,切记两向量不能相除(相约); (2)向量的“乘法”不满足结合律,即 a? ? (b? ? c?) ? (a? ? b?) ? c? ,为什么? 八、向量平行(共线)的充要条件 ? ? ? ? ? ? ? ? a / /b ? a?b ? (a ? b )2 ? (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 ? 0 . ? ? ? ? 举例 14 (1)若向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x ) ,当 x ? _____时, a 与 b 共线且方向 相同. 结果:2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? (4, x ) , (2) 已知 a 且u 则 x? . 结 / /v , ? (1,1) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b , 果:4. ? ??? ? ???? PA ? ( k ,12) , PB ? (4,5) , PC ? (10, k ) ,则 k ? _____时, A, B,C 共线. (3)设 ??? 结 果: ?2 或 11. 九、向量垂直的充要条件 ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b |? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
? ? ? a2 ? b 2

特别地 ? ?

??? ? ???? ??? ? ???? ? AB AC ? ? AB AC ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ???? ? . ? ? ? ? | AB | | AC | ? ? | AB | | AC | ?

??? ? ??? ? ? ? ???? ? ( ?1, 2) , OB ? (3, m ) , 举例 15 (1)已知 OA 若 , 则 m? O AO B ?

3 .结果: m? ; 2

(2)以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ,?B ? 90? ,则点 .结果:(1,3)或(3,-1) ) ; B 的坐标是 ? ? ? ? ? ? (3)已知 n .结果:(b,?a) 或 ? (a, b) 向量 n ? m ,且 | n ||? |m ,则 m ? 的坐标是 (?b, a) . 十、线段的定比分点 1.定义:设点 P 是直线 P1 P2 上异于 P1 、 P2 的任意一点,若存在一个实 ???? ? ??? ? ???? 数 ? ,使 PP ? ? PP2 ,则实数 ? 叫做点 P 分有向线段 P 1 1P 2 所成的比 ? ,P 点叫 ???? ? 做有向线段 P1 P2 的以定比为 ? 的定比分点. 2. ? 的符号与分点 P 的位置之间的关系 ???? ? (1) P 内分线段 P1 P2 ,即点 P 在线段 P1 P2 上 ? ? ? 0 ; ???? ? (2) P 外分线段 P1 P2 时,①点 P 在线段 P1 P2 的延长线上 ? ? ? ?1,②点 P 在线段 P1 P2 的反向延长线上 ??1 ? ? ? 0 . ? ???? ? P P 所成的比为 ? ,则点 P 分有向线段 P P 所成的 注:若点 P 分有向线段 ????
1 2 2 1

6

平面向量基础知识复习
1 比为 ? .

举例 16 结果: ? 7 . 3

? ??? ? 3 若点 P 分 ??? AB 所成的比为 ,则 A 分 BP 所成的比为 4

.

3.线段的定比分点坐标公式: 设 P1 ( x1 , y1 ) ,P2 ( x2 , y2 ) ,点 P( x, y) 分有向线段 P1 P2 所成的比为 ? ,则定比分
? ?x ? 点坐标公式为 ? ? ?y ? ? ? x1 ? ? x2 , 1? ? (? ? ?1) . y1 ? ? y2 . 1? ?

???? ?

x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 特别地,当 ? ? 1时,就得到线段 P1 P2 的中点坐标公式 ? y ? y ? 1 ? y2 . ? ? 2

说明: (1)在使用定比分点的坐标公式时,应明确 (x, y) ,(x , y ) 、(x , y ) 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标. (2)在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和 终点,并根据这些点确定对应的定比 ? . ???? ? ? 1 ???? 举例 17 (1) 若M 且P , 则点 P 的坐标为 . ), 2 ( 3 ? ? , N (6, ?1) , M ?N M ? 3
1 1 2 2

结果: (?6, ? 7 ); 3
???? ? ???? ? (2)已知 A(a,0) , B(3,2 ? a) ,直线 y ? 1 ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM ? 2MB ,则 2

. 结果:2或 ?4 . 十一、平移公式 ? x? ?x ? (h, k ) 平移至 P ( x ?, y ?) , 如果点 P( x, y) 按向量 a 则? ?
? a?

? h , ? y ? y ? k . ?

; 曲线 f ( x, y) ? 0 按

? ? (h, k ) 平移得曲线 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . 向量 a 说明: (1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2) 向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊! ? ? 举例 18 (1)按向量 a 把 (2,?3) 平移到 (1,?2) ,则按向量 a 把点 (?7,2) 平 移到点______. 结果: (?8,3) ; ? ( 2 )函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 ? 结果: (? ? y ? cos2x ? 1 ,则 a ? ________. ,1) . 4

十二、向量中一些常用的结论 1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; ? ? ? ? ? ? | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | . 2.模的性质: | a
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平面向量基础知识复习

? ? 、 b 同向或 a、 b 中有 0 (1)右边等号成立条件: a ? ? ? ? ? b 反向或 a、 b 中有 0 (2)左边等号成立条件: a、 ? ? ? ? ? ? ? ? 、 b 不共线 ? | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | . (3)当 a

?

?

?

? ? ? ? ?| a ? b |?| a | ? | b | ; ? ? ? ? ?| a ? b |?| a | ? | b | ;

3.三角形重心公式 在 △ABC 中 , 若
G( x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
A( x1 , y1 )

, B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , 则 其 重 心 的 坐 标 为

举例 19 若 △ABC 的三边的中点分别为 A(2,1) 、B(?3,4) 、C(?1,?1) ,则 △ABC 的重 4? , ?. 心的坐标为 .结果: ??? ? 2 3 3? 5.三角形“三心”的向量表示 (1) PG ? 1 (PA ? PB ? PC) ? G 为△ ABC 的重心,特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? G
3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
??? ? ??? ? ??? ? ?

为△ ABC 的重心. (2) PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为△ ABC 的垂心. ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ( 3 ) | AB | PC ? | BC | PA ? | CA | PB ? 0 ? P 为 △ ABC 的 内 心 ; 向 量
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ???? ? AB AC ? ? ? ????? ? (? ? 0) 所在直线过△ ABC 的内心. ?? ? ???? ? ? | AB | | AC | ? ???? ? 6.点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比 ? 向量形式

设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为 ? ,若 M 为平面内的任一点,则
???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? MP ? ? MP ???? ? ???? MP ? MP 1 2 1 2 MP ? ,特别地 P 为有向线段 P1 P2 的中点 ? MP ? . 1? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 7. 向 量 PA, PB, PC 中 三 终 点 A, B, C 共 线 ? 存 在 实 数 ? , ? , 使 得 ??? ? ??? ? ??? ? 且 P A? ? P ? B? P C ? ? ? ?1.

???? ?

举例 20 平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点 A(3,1) ,B(?1,3) , ???? ??? ? ??? ? 若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB ,其中 ? ,? ?R 且 ? ? ? ?1 ,则点 C 的轨迹是 . 结 果:直线 AB .
1 2

1

2

1

2

8



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