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2019年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 课时达标检测(二十三)平面向量的概念及线性运算 文

2019年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 课时达标检测(二十三)平面向量的概念及线性运算 文

2019 年高考数学一轮复习 第五章 平面向量 课时达标检测(二十

三)平面向量的概念及线性运算 文

对点练(一) 平面向量的有关概念

1.若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定( )

A.有不相等的模

B.不共线

C.不可能都是零向量

D.不可能都是单位向量

解析:选 C 若 a 与 b 都是零向量,则 a=b,故选项 C 正确.

2.设 a0 为单位向量,下列命题中:①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|·a0;②若

a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.假命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:选 D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同, 故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向 时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3.
3.已知 a,b 是非零向量,命题 p:a=b,命题 q:|a+b|=|a|+|b|,则 p 是 q 的

____________条件.

解析:若 a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即 p? q.若|a +b|=|a|+|b|,由加法的运算知 a 与 b 同向共线,即 a=λ b,且 λ >0,故 q? / p.∴p 是 q 的充分不必要条件.

答案:充分不必要

对点练(二) 平面向量的线性运算

1.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且―A→B =a,―A→D =b, 则―B→E =( )

A.12b-a

B.12a-b

1 C.-2a+b

1 D.2b+a

解析:选 C ―B→E =―B→A +―A→D +12―D→C =-a+b+12a=b-12a,故选 C.

2.已知向量 a,b 不共线,且 c=λ a+b,d=a+(2λ -1)b,若 c 与 d 反向共线,则

实数 λ 的值为( )

A.1

1 B.-2

C.1 或-12

D.-1 或-12

解析:选 B 由于 c 与 d 反向共线,则存在实数 k 使 c=kd(k<0),于是 λ a+b=
k [a+ λ - b] . 整 理 得 λ a + b = ka + (2λ k - k)b. 由 于 a , b 不 共 线 , 所 以 有

??λ =k,

?
??2λ

k-k=1,

整理得 2λ

2-λ

-1=0,解得 λ

=1 或 λ

1 =-2.又因为

k<0,所以

λ



0,故 λ =-12.

3.(xx·江西八校联考)在△ABC 中,P,Q 分别是边 AB,BC 上的点,且 AP=13AB,BQ=

13BC.若―A→B =a,―A→C =b,则―P→Q =(

)

11 A.3a+3b

11 B.-3a+3b

C.13a-13b

D.-13a-13b

解析:选 A ―P→Q =―P→B +―B→Q =23―A→B +13―B→C =23―A→B +13(―A→C -―A→B )=13―A→B +13―A→C =13

1 a+3b,故选 A.

4.(xx·郑州二模)如图,在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且满

足 BD=12DC,过点 D 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若

―A→M =m―A→B ,―A→N =n―A→C ,则( ) A.m+n 是定值,定值为 2 B.2m+n 是定值,定值为 3

C.1m+1n是定值,定值为 2

21 D.m+n是定值,定值为 3

解析:选 D 法一:如图,过点 C 作 CE 平行于 MN 交 AB 于点 E.

由―A→N =n―A→C 可得AACN=1n,所以AEEM=ACCN=n-1 1,由

BD=12DC

BM 1 可得ME=2,

所以AABM=n+nn-2 1=3n2-n 1,因为―A→M =m―A→B ,所以 m=3n2-n 1,整理可

得2m+1n=3.

法二:因为 M,D,N 三点共线,所以―A→D =λ ―A→M +(1-λ )·―A→N .又―A→M =m―A→B ,―A→N

=n―A→C ,所以―A→D =λ m―A→B +(1-λ )·n―A→C .又―B→D =12―D→C ,所以―A→D -―A→B =12―A→C -12 ―A→D ,所以―A→D =13―A→C +23―A→B .比较系数知 λ m=23,(1-λ )n=13,所以2m+1n=3,故选 D.
5.(xx·银川一模)设点 P 是△ABC 所在平面内一点,且―B→C +―B→A =2―B→P ,则―P→C +―P→A =________.
解析:因为―B→C +―B→A =2―B→P ,由平行四边形法则知,点 P 为 AC 的中点,故―P→C +―P→A =0.
答案:0 6.(xx·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中,向量 a,b,c 的起点和终点均在格点(小正 方形顶点)上,若 c 与 xa+yb(x,y 为非零实数)共线,则xy的值为________.

解析:设 e1,e2 分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量 c=e1- 2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由 c 与 xa+yb 共线,得 c=λ (xa+yb),所以 e1-2e2=2λ (x

-y)e1+λ (x-2y)e2,所以???2λ ??λ

x-y x-2y

=1, =-2,

??x=λ3 , 所以???y=25λ ,

x

6

则y的值为5.

6 答案:5 7.(xx·盐城一模)在△ABC 中,∠A=60°,∠A 的平分线交 BC 于点 D,若 AB=4,且―A→D =14―A→C +λ ―A→B (λ ∈R),则 AD 的长为________. 解析:因为 B,D,C 三点共线,所以14+λ =1,解得 λ =34,如图,过点 D 分别作 AC, AB 的平行线交 AB,AC 于点 M,N,则―A→N =14―A→C ,―A→M =34―A→B ,经计算得 AN=AM=3,AD=

3 3. 答案:3 3 8.在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2 3,BC=2,点 E 在线段 CD 上,

若―A→E =―A→D +μ ―A→B ,则 μ 的取值范围是________.

解析:由题意可求得 AD=1,CD= 3,所以―A→B =2―D→C .

∵点 E 在线段 CD 上,∴―D→E =λ ―D→C (0≤λ ≤1).

∵―A→E =―A→D +―D→E ,

又―A→E =―A→D +μ ―A→B =―A→D +2μ ―D→C =―A→D +2λμ ―D→E ,

∴2μ λ

=1,即 μ

=λ2 .∵0≤λ

≤1,∴0≤μ

≤12,

即 μ 的取值范围是???0,12???.

答案:???0,12???

[大题综合练——迁移贯通]

1.在△ABC 中,D,E 分别为 BC,AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE,设―A→B = a,―A→C =b,试用 a,b 表示―A→D , ―A→G .
解:―A→D =12(―A→B +―A→C )=12a+12b. ―A→G =―A→B +―B→G =―A→B +23―B→E =―A→B +13(―B→A +―B→C ) =23―A→B +13(―A→C -―A→B )=13―A→B +13―A→C =13a+13b. 2.已知 a,b 不共线,―O→A =a,―O→B =b, ―O→C =c, ―O→D =d, ―O→E =e,设 t∈R,如 果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求 出实数 t 的值,若不存在,请说明理由. 解:由题设知,―C→D =d-c=2b-3a,―C→E =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数 k,使得―C→E =k―C→D ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为 a,b 不共线,所以有?????tt- -32+ k=3k0= ,0, 解得 t=65. 故存在实数 t=65使 C,D,E 三点在一条直线上.

3.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点,―A→E =23―A→D ,―A→B =a,―A→C = b.
(1)用 a,b 表示向量―A→D ,―A→E ,―A→F ,―B→E ,―B→F ; (2)求证:B,E,F 三点共线. 解:(1)延长 AD 到 G,使―A→D =12―A→G , 连接 BG,CG,得到?ABGC,如图, 所以―A→G =―A→B +―A→C =a+b, ―A→D =12―A→G =12(a+b),―A→E =23―A→D =13(a+b),―A→F =12―A→C =12b, ―B→E =―A→E -―A→B =13(a+b)-a=13(b-2a), ―B→F =―A→F -―A→B =12b-a=12(b-2a). (2)证明:由(1)可知―B→E =23―B→F , 又因为―B→E ,―B→F 有公共点 B, 所以 B,E,F 三点共线.


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