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黑龙江省双鸭山市第一中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理201811194

黑龙江省双鸭山市第一中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理201811194

黑龙江省双鸭山市第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题



(时间:120 分钟 总分:150 分,交答题纸) 第Ⅰ卷(12 题:共 60 分)
一、选择题(包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.若椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1,则实数 k 的取值范围为 4k

A. 0 ? k ? 4

B. k ? 0

C. k ? 4

()
D. k ? 0且k ? 4

2.对于命题 p :矩形的两条对角线相等,下面判断正确的是

()

A. p 为假命题

B. p 的逆否命题为真命题

C. p 的逆命题为真命题

D. p 的否命题为真命题

3.已知圆的方程为 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ?1 ? 0 ,那么通过圆心的一条直线方程是 ( )

A. x ? y ?1 ? 0

B. x ? y ?1 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0

D. x ? y ? 3 ? 0

4.抛物线 y ? 4x2 的准线方程为

()

A. x ? ?1

B. y ? ?1

C. x ? ? 1 16

D. y ? ? 1 16

5.空 间 中 一 点 A 坐 标 为 (1, 2 , 3,)则 点 A 关 于 平 面 x O y对 称 的 点 的 坐 标 是 ( )

A. (1,? 2,? 3)

B. (?1, 2, 3) C. (1, 2,? 3)

D. (?1,? 2, 3)

6.某程序框图如图所示,若输出的 S ? 26 ,则判断框内应填

()

A. k ? 3?

B. k ? 4 ?

C. k ? 5 ? D. k ? 6 ?

7.“ a ? 2 ”是“函数 f (x) ?| x ? a |在区间[2, ??) 上为增函数”

的 A.充分不必要条件 C.充要条件

() B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线

l2 的距离之和的最小值是

()

-1-/7

A. 3 5

B. 2

C. 11

D. 3

5

5

9.已知空间向量 a ? (2, ?1,3), b ? (?1, 4, ?2), c ? (7,5, ?) ,若 a, b, c 三向量共面,则实数 ? 等



()

A. 62 7

B. 63 7

C. 64 7

D. 65 7

10.圆 x2 ? y2 ? 2 y ? 3 ? 0 被直线 x ? y ? k ? 0 分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比

为1: 2,则 k =

()

A.1或 ? 2

B.1或 ?3

C. 2 ?1或 ? 2 ?1

D. 2

??
11.已知向量 a ? (2, ?1, 2), b ? (2, 2,1) ,则以 a , b 为邻边的平行四边形的面积为 ( )

A. 65 2

B. 65

C. 4

D. 8

12.已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

?1

(a

? 0,b

? 0) 上一点到双曲线的左,右焦点的距离之差为 4 ,若

抛物线

y

?

ax2

上的两点

A( x1 ,

y1 ),

B( x2 ,

y2 )

关于直线

y

?

x

?

m 对称,且

x1x2

?

?

1 2

,则

m

的值为

()

A. 3

B. 5

C. 2

D. 3

2

2

第Ⅱ卷(非选择题:共 90 分)

二、填空题(包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.双曲线 x2 ? y2 ? 1的离心率为



4

14.命题“ ?x0 ? 0, x02 +x0 >0 ”的否定是



15.圆 C : (x ?1)2 ? y2 ? 25 过点 P(2, ?1) 作圆的所有弦中,以最长弦和最短弦为对角线的四

边形的面积是



16. 在 正 方 体 ABC D? A1 B1 C1 D1中 , AB ? 3, P 为 空 间 中 的 动 点 且 AP ?1 , 则 三 棱 锥

C ? PB1D1 的体积的最大值为



三、解答题(包括 6 小题,共 70 分)

17.(本题 10 分)

-2-/7

已知 p :| x ? 2 |? 3, q : x2 ? 3x ? 0 ,若命题“ p ? q ”和“ ?p ”都为假,求实数 x 的取
值范围。
18.(本题 12 分)
已知过点 O(0, 0) 的直线 l 与圆 C : (x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 交于 M , N 两点。 (1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)若| MN |? 2 3 ,求直线 l 的方程。
19.(本题 12 分)
如图,在四棱锥 A? BCDE 中,平面 ABC ? 平面 BCDE , ?CDE ? ?BED ? 90 ,且 AB ? CD ? 2, DE ? BE ? 1, AC ? 2 。 (1)证明: BE 平面 ACD ; (2)求直线 AB 与平面 ADE 所成角的正弦值。

20.(本题 12 分)



A, B 分别为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

? 0,b

?

0) 的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4

3,

焦点到渐近线的距离为 3 。

(1)求双曲线的方程;

(2)已知直线 y ? 3 x ? 2 与双曲线的右支交于 M , N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D , 3
使 OM ? ON ? tOD ,求 t 的值及点 D 的坐标。

21.(本题 12 分)
在三棱锥 S ? ABC 中, SA ⊥底面 ABC , AC ? AB ? SA ? 2 , AC ? AB ,D, E 分别是 AC, BC 的中点,F 在 SE 上,且 SF ? 2FE 。
(1)求证: AF ⊥平面 SBC 。 (2)在线段 DE 上是否存在点 G ,使二面角 G ? AF ? E的大小为
-3-/7

30 ?若存在,求出 DG 的长;若不存在,请说明理由。
22.(本题 12 分)
已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F1(?2,0) ,点 B(2, 2) 在椭圆 C 上,直线 y ? kx(k ? 0) 与椭圆 C 交于 E, F 两点,直线 AE, AF ,分别与 y 轴交于点 M , N 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)在 x 轴上是否存在点 P ,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有 ?MPN为直角?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。
-4-/7

高二(理科)数学试题答案 一、选择题(包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D

B

A

D

C

A

A

B

D

二、 填空题(包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

10 11 12

C

B

A

13. 5 ; 2

14. ?x ? 0, x2 +x ? 0 ;

三、 解答题

15.10 23;

16. 3 3 。 2

17. 由题意得: p 真 q 假。 p : ?1 ? x ? 5, ?q : ?3 ? x ? 0 。所求为{x | ?1 ? x ? 0}。

18.(1)由题设可知直线 l 的方程为 y=kx,

因为直线 l 与圆 C 交于两点,所以 | k ? 3 | ? 2 ,解得 k ? ?1? 2 6 或k ? ?1? 2 6 。

k2 ?1

3

3

所以 k 的取值范围为 (??, ?1? 2 6 ) (?1? 2 6 , ??) 。

3

3

(2)设圆心到直线的距离为 d ,则 d 2 ? ( 2 3 )2 ? 22 ,? d ? 1 2

①若直线的斜率不存在,直线方程为 x ? 0 成立

②若直线的斜率存在,设其方程为 y ? kx ,则 | k ? 3 | ? 1,得 k ? 4 ,直线方程为 y ? 4 x 。

k2 ?1

3

3

综上所求直线方程为 x ? 0 或 y ? 4 x 。 3

19.(1)略

(2)如图,取 CD 中点 G,连接 BG.∵∠CDE=∠BED=90°,

∴BE∥CD.又∵CD=2,BE=1,∴BE∥DG,且 BE=DG,∴四边形 DEBG 为正方形,
∴BG=DE=1,∠BGC=90°.又∵GC= 1 ,CD=1,∴BC= 2 。 2
又∵AC= 2 ,AB=2,∴AB2=AC2+BC2, 即 AC⊥BC.

又∵平面 ABC⊥平面 BCDE,且交线为 BC,AC? 平面 ABC,∴AC⊥平面 BCDE. 过点 C 作 DE 的平行线 CG,以 C 为原点,CD,CG,CA 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z

-5-/7



建立如图所示的空间直角坐标系,则点 D(2,0,0),A(0,0, 2 ),B(1,1,0),E(2,1,0),

故 AE =(2,1,- 2 ), AB =(1,1,- 2 ), AD =(2,0,- 2 ).

设平面

ABC

的法向量为

n=(x,y,z),则

??n ?

?

AD

?

0



??2x ?

?

2z ? 0

??n ? AE ? 0 ??2x ? y ? 2z ? 0

令 x=1,得 n ? (1, 0, 2) 。设直线 AB 与平面 ADE 所成的角为 α ,则 sin α =|cos< n, AB >|= 3 。 6

20.(1)由题意知 a=2 3,

又∵一条渐近线为 y =bax,即 bx-ay=0.∴由焦点到渐近线的距离为

3,得

|bc| b2+a2=

3.

又∵c2=a2+b2,∴b2=3,∴双曲线的方程为1x22 -y32=1

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.

将直线方程

y=

33x-2

x2 y2 代入双曲线方程12- 3 =1



x2-16

3x+84=0,

????? 则 x1+x2=16

3,y1+y2= 33(x1+x2)-4=12.∴

yx00=4 3 3, 1x220 -y320=1.

解得??x0=4 3, ?y0=3.

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3)。

21.(1)略;
(2)分别以 AC, AB, AS 为 x轴,轴y, z轴 建立空间直角坐标系。

设 DG ? ? DE,G ? (1, ?, 0)

求得平面 GAF 的法向量为 n ? ??, ?1,1? ?? , 平面 AEF 的法向量可取 m ? ??1,1,0? 。

则 cos n, m

n?m

?

?

3 , ? ? 1 或? ? (2 舍)

n?m 2

2

? DG ? 1 ,故存在点 G 满足题意。 2

-6-/7

22.(1)设椭圆 C

的方程为

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a

?b

? 0) ,因为椭圆的左焦点为 F1 ?

? 2,0? ,所

? ? 以 a2 ? b2 ? 4 ,设椭圆的右焦点为 F2 ?2,0? ,已知点 B 2, 2 在椭圆 C 上,

由椭圆的定义知 BF1 ? BF2 ? 2a ,所以 2a ? 3 2 ? 2 ? 4 2 ,

所以 a ? 2 2 ,从而 b ? 2 ,所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1. 84
? ? (2)因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 ,

因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆 x2 ? y2 ? 1交于两点 E , F , 84
? ? 设点 E x0, y0 (不妨设 x0 ? 0 ),则点 F ??x0 , ? y0 ? ,

? y ? kx,

联立方程组

? ?

x2

?? 8

?

y2 4

,消去 y 得 x2 ?1

?

1

8 ? 2k

2

,所以 x0

?

22 1 ? 2k 2

, y0

?

2 2k , 1 ? 2k 2

所以直线 AE 的方程为 y ?

k

? ? x ? 2 2 ,因为直线 AE 与 y 轴交于点 M ,

1? 1? 2k 2

令 x ? 0 得 y ? 2 2k ,即点 M (0, 2 2k ) ,

1? 1? 2k 2

1? 1? 2k 2

同理可得点 N (0, 2 2k ) . 1? 1? 2k2

假设在 x 轴上存在点 P(t, 0) ,使得 ?MPN 为直角,则 MP ? NP ? 0 ,

即 t2 ? ?2 2k ? ?2 2k ? 0 ,即 t2 ? 4 ? 0 . 解得 t ? 2 或 t ? ?2 . 1? 1? 2k2 1? 1? 2k2
故存在点 P?2,0? 或 P??2,0? ,无论非零实数 k 怎样变化,总有 ?MPN 为直角。

-7-/7


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