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用数学归纳法证明泰勒公式

用数学归纳法证明泰勒公式

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 用数学归纳法证明泰勒公式 作者:迟炳荣 王秀红 来源:《中学数学杂志(高中版)》2008 年第 05 期 1 引言 一般的高等数学教材中[1]都介绍了关于泰勒公式的如下两个命题: 命题 1 带皮亚诺(Peano)余项的泰勒(Talor) 公式: f(x)在[a,b]上具有 n 阶导数,则 ∈[a,b]有 f(x)=f(a)+f ′(a)(x-a)+f(2)(a)2!(x- - n(x)(1) 其中 Rn(x)=o((x- 即 - 命题 2 带拉格朗日(Langrange)余项的泰勒公式: 函数 f(x)在 x0 的邻域内 x∈U(x0)内 n+1 阶可导,对 ∈ f(x)=f(a)+f′(a)(x-a)+f(2)(a)2!(x- - 其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1 ∈[x0,x]使得 两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数 公式(1)非普通的等式,而是反映了极限性质的渐进等式,因此公式(1)在求极限时很 有用处,对余项可以提供充分小量的估计 公式(2)的余项有确定表达式,当然也有不确定因素,即有中值,但不妨碍定理的使 用,为近似计算的误差估计提供了理论依据 这两个命题的证明都需要多次使用柯西(cauchy)中值定理或者罗比达(L’Hospital)法 则,非常繁琐本文给出泰勒公式的一个简洁的证明,给出的余项既可以进行误差的阶的估计, 又可以进行近似计算 2 主要结果 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 引理 1 f(x)在[a,b]上可导,且 f ′(x)≥0,则 f(x)≥f(a),x∈[a,b] 证明:由于 f ′(x)≥0,所以 f(x)在[a,b]上递增,f(x)≥f(a) 推论 1 f(x)和 g(x)在[a,b]上可导,且 , 则 f(x)-f(a)≥g(x)-g(a),x∈[a,b] 特别地 f(a)=g(a)=0,则有 f(x)≥g(x), x∈[a,b] 证明:令 h(x)=f(x)-g(x),对 h(x)使用引理 1 引理 2 H(x)在[a,b]上可导,且有 (1)H(k)(a)=0,k=0,1,2,…,n-1, (2)m≤H(n)(a)≤M,x∈[a,b], 则有 m(x- - 证明:对 n 用数学归纳法证明 n=0 时,显然成立 若已有 m(x- - , 由推论 1 得到 m(x- - 定理 若函数 f(x)在[a,b]上 n+1 阶连续可导,则存在 A 和 B,使得[a,b]中的任意 x0 和 x,有下式成立 f(x)=f(x0)+f ′(x0)(x-x0)+f(2)(x0)2!(x- f(n)(x0)n!(x- (3) 其中 Rn(x)介于 A(x-x0)n+1(n+1)!和 B(x-x0)n+1(n+1)!之间 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 特别地,若记 M=max{|A|,|B|}, 则 -x0|n+1(n+1)! 证明:由于 f(n+1)(x)连续,必有 令 Rn(x)=f(x)-f(x0)+f ′(x0)(x-x0) +f(2)(x0)2!(x- - , 则有: (1)R(k)n(x0)=0,k=0,1,2,…,n (2)A≤R(n+1)n(x)=f(n+1)(x)≤B 由引理 2,有|Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!,M=max{|A|,|B|} 注:由|Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!,有 Rn(x)=o((x- 因此,命题 2 可以看成定理的一个推论,但比较而言,定理的证明不需要较多的中值定理 的知识,证明简单 由定理, 可以直接写出以下几个基本初等函数的泰勒公式: 2)sinx=x3)cosx=14)ln(1+x)=x- 6)11- -1)n-1x2n-1(2n- - -1)n- -1)2!x -1)…(α- 3 应用举例 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 例 1 求 e 的近似值,使得其误差 解取 由于 在[0,1]上具有任意阶连续导数,且 ,所以 M≤e,由公式(3) 取 x=1,有 e≈1+1+12!+13!+…+1n! |Rn(1)|≤M(n+1)!≤e(n+1)! 例 2 求极限 - 解 由于 sinx=x- !+R4(x),因为 所以 ,因此 ,所以 - - 例 3 证明二项式展开定理: -16 -k. 证明:设函数 则函数 f(x)存在任意阶的导函数 f(k)(x)=n(n-1)…(n-k+1)(x+b)n-k (k=0,1,…,n), f(k)(0)=n(n-1)…(n-k+1)bn-k (k=0,1,…,n) 且 f(n+1)(x)=0,由定理得 =∑nk=0n(n-1)…(n-k+1)bn- - 所以 - 又 所以 -k. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 参考文献 [1] 高等数学第四版上册,同济大学数学教研室主编,高等教育出版社 [2] 数学分析第三版上册,华东师范大学数学系编,高等教育出版社 作者简介 迟炳荣(1972—),女,潍坊工商职业学院建筑工程系讲师,鲁东大学数学与 信息学院教育硕士,主要从事高等数学教学研究 注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以 PDF 格式阅读原文

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