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2019-2020学年(人教版)高中数学选修4-5检测:第3讲 柯西不等式与排序不等式2 Word版含答案

2019-2020学年(人教版)高中数学选修4-5检测:第3讲 柯西不等式与排序不等式2 Word版含答案

第三讲二 一、选择题 222 1.已知a+b+c=1,且a,b,c∈R+,则a+b+b+c+c+a的最小值为( ) A.1 C.6 解析:∵a+b+c=1, B.3 D.9 222 ∴++ a+b b+c c+a ?1 1 1? =2(a+b+c)·??a+b+b+c+c+a?? ?1 1 1? =[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·? + + ? ?a+b b+c c+a? ≥(1+1+1)2=9. 答案:D 2.若实数x+y+z=1,则F=2x2+y2+3z2的最小值为( ) A.1 B.6 6 C.11 D. 11 ?1 1? 解析:∵(2x2+y2+3z2)? +1+ ? ?2 3? 1 1 ≥( 2x· +y·1+ 3z· )2 2 3 =(x+y+z)2=1, 16 ∴2x2+y2+3z2≥ = . 11 11 6 6 即 F≥ . 11 答案:D 3.已知a,b,c,d,e是满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16的实数,则e的最大值为( ) A.3 16 C.5 D. 5 B.4 解析:∵(a+b+c+d)2≤4(a2+b2+c2+d2), ∴(8-e)2≤4(16-e2), 16 ∴0≤e≤ . 5 答案:D 4.求函数y=5 x-1+ 10-2x的最大值( ) A.6 3 B.3 6 C.6 D.6 2 解析:函数的定义域为(1,5),且 y>0, y=5× x-1+ 2× 5-x ≤错误!×错误! = 27×4=6 3. 当且仅当 2× x-1=5× 5-x时,等号成立, 127 即 x= 时,函数取最大值 6 3. 27 答案:A 二、填空题 5.设x,y,z∈R,若x2+y2+z2=4,则x-2y+2z的最小值为________时,(x,y,z)=________. 解析:∵(x-2y+2z)2≤(x2+y2+z2) [12+(-2)2+22]=4×9=36, ∴x-2y+2z 最小值为-6, xyz 此时 = = . 1 -2 2 又∵x2+y2+z2=4, 24 4 ∴x=- ,y= ,z=- . 33 3 ? 2 4 4? 答案:-6 ?- , ,- ? ? 3 3 3? 6.已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,则x2+4y2+z2的最小值为________. 解析:由柯西不等式得 (x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2. ∵x+2y+z=1, ∴3(x2+4y2+z2)≥1, 1 即 x2+4y2+z2≥ . 3 1 当且仅当 x=2y=z= , 3 111 即 x= ,y= ,z= 时等号成立. 363 1 故 x2+4y2+z2 的最小值为 . 3 1 答案: 3 三、解答题 7.设a,b,c,d为正数,a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值. 解析:∵a,b,c,d 为正数, ∴由柯西不等式得 (a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥(a+b+c+d)2. ∵a+b+c+d=1, ∴4(a2+b2+c2+d2)≥1, 1 即 a2+b2+c2+d2≥ . 4 1 ∴a2+b2+c2+d2 的最小值为 . 4 a b c3 8.已知a,b,c∈R+,求证:b+c+c+a+a+b≥2. abc 证明: ∵ + + +3 b+c c+a c+b ?a ? ?b ? ?c ? =? +1?+? +1?+? +1? ?b+c ? ?a+c ? ?c+b ? ?1 1 1? =(a+b+c)? + + ? ?b+c c+a a+b? 1 ?1 1 1? =2[(b+c)+(c+a)+(a+b)]??b+c+c+a+a+b?? 1 9 ≥ (1+1+1)2= , 2 2 a b c9 3 ∴ + + ≥ -3= . b+c a+c a+b 2 2 9.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的最值. 解析:由柯西不等式得 111 (2b2+3c2+6d2)( + + )≥(b+c+d)2, 236 即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2, 由条件可得,5-a2≥(3-a)2, 解得 1≤a≤2. 2b 3c 6d 当且仅当 = = 时等号成立, 1/2 1/3 1/6 111 代入 b=2,c=3,d=6时,amax=2, 21 b=1,c=3,d=3时,amin=1.

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