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高中数学必修2知识点总结03 直线与方程

高中数学必修2知识点总结03 直线与方程


高中数学必修 2 知识点总结 03 直线与方程
【编者按】坐标法是以坐标系为桥梁,把研究几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质 的方法,是解析几何中最基本的研究方法。通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式 与数量关系的结合。教材要求:掌握如何在直角坐标系中建立直线的方程;并通过圆的方程研究直线的有 关性质,如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。 一、直线与方程高考考试内容及考试要求: 考试内容: 1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式; 2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离; 考试要求: 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜 式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直 线的方程判断两条直线的位置关系. 二、直线与方程 课标要求: 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素; 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率 的计算公式; 3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) ,体 会斜截式与一次函数的关系; 4.会用代数的方法解决直线的有关问题,包括求两直线的交点,判断两条直线的位置关系,求两点 间的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离等。 要点精讲: 1.直线的倾斜角:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角。特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 倾斜角α 的取值范围:0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 2.直线的斜率:一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示, 也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 3.过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:

k ? tan ? ?

y2 ? y1 x2 ? x1
°

(若 x1=x2,则直线 p1p2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90 ) 。 4.两条直线的平行与垂直的判定 (1)若 l1,l2 均存在斜率且不重合: ① l1 ? l2 ? k1 ? k2 ;② l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 注: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立。 (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 若 A1、A2、B1、B2 都不为零。

l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0

l1 ? l2 ?

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 ? A2 B2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

l1 ? l2 ? A1 ? A2 ? B1 ? B2 ? 0 l1与l2相交 ? l1与l2重合 ?

注意:若 A2 或 B2 中含有字母,应注意讨论字母=0 与 ? 0 的情况。两条直线的交点:两条直线的交点 的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。 5.直线方程的五种形式 确定直线方程需要有两个互相独立的条件,确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方 程的适用范围。

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于 x 轴)的直线;两点式不能表示平行或重合两坐 标轴的直线;截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 6.直线的交点坐标与距离公式 (1)两直线的交点坐标 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
若方程组有唯一解,则两条直线相交,解即为交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两 条直线平行。 (2)两点间距离 两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式

P P2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 1
特别地: PP / / x 轴,则 PP ?| x1 ? x2 | 、 PP / / y 轴,则 PP ?| y1 ? y2 | 1 2 1 2 1 2 1 2 (3)点到直线的距离公式 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? (4)两平行线间的距离公式: 若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则:

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

d?
注意点:x,y 对应项系数应相等。

C1 ? C 2 A 2 ? B2

附注:在解答有关直线的问题时,应特别注意的几个方面: (1)在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次要注意倾角的范围; (2)在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直 线在两坐标轴上的 “截距相等” “截距互为相反数” “在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的 m 倍 (m >0) ”等时,采用截距式就会出现“零截距” ,从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解; (3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止由于“无斜率” ,从而造成丢解.如在求过圆外 一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时, 一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论; (4)首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题; 处理代数问题; 分析代数结果的几何含义, 最终解决几何问题。 这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终。 (参考教材:人教版必修 2A 版)



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