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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:第二章 2.1 2.1.1 综合法和分析法

标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:第二章  2.1  2.1.1  综合法和分析法


2.1.1 综合法和分析法

预习课本 P85~89,思考并完成下列问题 (1)综合法的定义是什么?有什么特点?

(2)综合法的推证过程是什么?

(3)分析法的定义是什么?有什么特点?

(4)分析法与综合法有什么区别和联系?

[新知初探] 1.综合法 定义 推证过程 特点 顺推 证法 或由 因导 果法

利用已知条件和某些数学定义、公理、 P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 定理等, 经过一系列的推理论证, 最后 推导出所要证明的结论成立, 这种证明 方法叫做综合法 2.分析法 定义 从要证明的结论出发, 逐步寻 求使它成立的充分条件, 直至 最后, 把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件(已 知条件、 定理、 定义、 公理等) Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→ 得到一个明显 成立的条件 框图表示 特点 逆推 证法 或执 果索 因法 →…→ Qn?Q (P 表示已知条件, 已有的定 义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结 论).

为止. 这种证明方法叫做分析 法

3.综合法、分析法的区别 综合法 推理方向 解题思路 表述形式 思考的侧 重点 顺推,由因导果 探路较难,易生枝节 形式简洁,条理清晰 侧重于已知条件提供的信息 分析法 倒溯,执果索因 容易探路,利于思考 叙述繁琐,易出错 侧重于结论提供的信息

[点睛] 一般来说, 分析法解题方向明确, 利于寻求解题思路; 而综合法解题条理清晰, 宜于表述.因此在解决问题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表 述解题过程. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法.( (2)分析法就是从结论推向已知.( ) ) )

(3)所有证明的题目均可使用分析法证明.( 答案:(1)× (2)× (3)×

2.若 a>b>0,则下列不等式中不正确的是( A.a2>ab 1 1 C.a>b 答案:C 3.欲证 2- 3< 6- 7成立,只需证( A.( 2- 3)2<( 6- 7)2 B.( 2- 6)2<( 3- 7)2 C.( 2+ 7)2<( 3+ 6)2 D.( 2- 3- 6)2<(- 7)2 答案:C )

)

B.ab>b2 D.a2>b2

4.如果 a a>b b,则实数 a,b 应满足的条件是________. 答案:a>b>0

综合法的应用 [典例] 在△ABC 中,三边 a,b,c 成等比数列.求证:acos2 [证明] ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. a?1+cos C? c?1+cos A? ∵左边= + 2 2 1 1 = (a+c)+ (acos C+ccos A) 2 2
2 2 2 b2+c2-a2? 1 1 a +b -c = (a+c)+ ?a· +c· 2 2? 2ab 2bc ?

C A 3 +ccos2 ≥ b. 2 2 2

b b 3 1 1 = (a+c)+ b≥ ac+ =b+ = b=右边, 2 2 2 2 2 C A 3 ∴acos2 +ccos2 ≥ b. 2 2 2 当且仅当 a=c 时等号成立.

综合法的解题步骤

[活学活用] 1.已知 a,b,c,d∈R,求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 证明:∵左边=a2c2+2abcd+b2d2 ≤a2c2+(a2d2+b2c2)+b2d2 =(a2+b2)(c2+d2)=右边, ∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 2.设数列{an}满足 a1=0, (1)求{an}的通项公式; 1 1 - =1. 1-an+1 1-an

(2)设 bn= 解:(1)∵

1- an+1 ,Sn=b1+b2+…+bn,证明:Sn<1. n

1 1 - =1, 1-an+1 1-an

? 1 ? ∴?1-a ?是公差为 1 的等差数列. ?
n?

又∵

1 1 1 =1,∴ =n,an=1-n. 1-a1 1-an

(2)证明:由(1)得 bn= 1- an+1 n+1- n 1 1 = = - , n n n+1· n n +1 1 1 1 1 1 1 + - +…+ - =1- <1. n 2 2 3 n+1 n+1

∴Sn=b1+b2+…+bn=1- ∴Sn<1.

分析法的应用 [典例] 设 a,b 为实数,求证: [证明] 当 a+b≤0 时,∵ ∴ a2+b2≥ 2 (a+b)成立. 2 a2+b2≥ 2 (a+b). 2

a2+b2≥0,

当 a+b>0 时, 用分析法证明如下:要证 只需证( a2+b2)2≥ a2+b2≥ 2 (a+b), 2

? 2?a+b??2. ?2 ?

1 即证 a2+b2≥ (a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. 2 ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, ∴ a2+b2≥ 2 (a+b)成立.综上所述,不等式得证. 2

分析法证明不等式的依据、方法与技巧 (1)解题依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论; (2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单的不等式的证明,经常用综合法.而对于 一些条件简单、结论复杂的不等式的证明,常用分析法; (3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的 充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;

(4)应用技巧:用分析法证明 数学命题时,一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语. [活学活用] 已知 a,b,c 都为正实数,求证: 证明:要证 只需证 a2+b2+c2 a+b+c ≥ , 3 3 a2+b2+c2 a+b+c ≥ . 3 3

a2+b2+c2 ?a+b+c?2 ≥ 3 ? 3 ?,

只需证 3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, 只需证 2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac, 只需证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0, 而这是显然成立的, 所以 成立. 分析法与综合法的综合应用 a2+b2+c2 a+b+c ≥ 3 3

[典例] 已知 a,b,c 是不全相等的正数,且 0<x<1. 求证:logx a+b b+c a+c +logx +logx <logxa+logxb+logxc. 2 2 2

a+b b+c a+c [证明] 要证明 logx +logx +logx 2 2 2 <logxa+logxb+logxc, a+b b+c a+c? 只需要证明 logx? ? 2 · 2 · 2 ?<logx(abc), 由已知 0<x<1,只需证明 由公式 a+b b+c a+c · · >abc, 2 2 2

a+b b+c ≥ ab>0, ≥ bc>0, 2 2

a+c ≥ ac>0.又∵a,b,c 是不全相等的正数, 2 ∴ 即 a+b b+c a+c · · > 2 2 2 a2b2c2=abc.

a+b b+c a+c · · >abc 成立. 2 2 2

a+b b+c a+c ∴logx +logx +logx <logxa+logxb+logxc 成立. 2 2 2

分析综合法的应用

综合法由因导果,分析法执果索因,因此在实际解题时,常常把分析法和综合法结合 起来使用,即先利用分析法寻找解题思路,再利用综合法有条理地表述解答过程. [活学活用] 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,a,b,c 为三个内角对应的边长,求证: 1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c 1 1 3 证明:要证 + = , a+b b+c a+b+c 即证 a+b+c a+b+c c a + =3,即证 + =1. a+b b+c a+b b+c

即证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 即证 c2+a2=ac+b2. ∵△ABC 三个内角 A,B,C 成等差数列. ∴B=60°. 由余弦定理,有 b2=c2+a2-2cacos 60°, 即 b2=c2+a2-ac. ∴c2+a2=ac+b2 成立,命题得证.

层级一

学业水平达标 )

1 1 1.若 a>b>1,x=a+a,y=b+b,则 x 与 y 的大小关系是( A.x>y C.x≥y B.x<y D.x≤y

1 解析:选 A 因为函数 y=x+x在[1,+∞)上是增函数,又因为 a>b>1,∴x>y. x y 1 1 2.已知 a,b,x,y 均为正实数,且a>b,x>y,则 与 的大小关系为( x+a y+b x y A. > x+a y+b x y C. < x+a y+b 解析:选 A ∵a,b 均为正数, 1 1 ∴由 > 得 0<a<b, a b 又∵x>y>0, ∴xb>ay. ∴xy+xb>xy+ay. x y B. ≥ x+a y+b x y D. ≤ x+a y+b )

即 x(y+b)>y(x+a). 两边同除正数(y+b)(x+a), 得 x y > ,故选 A. x+a y+b

3.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满 足什么条件( ) B.a2=b2+c2 D.a2≤b2+c2 b2+c2-a2 <0,得 b2+c2<a2. 2bc ) B.c<b<a D.b<a<c 1-ln x ln x ,则 f′(x)= ,∴0<x<e 时,f′(x) x x2 ln 4 ,∴b>a>c. 4

A.a2<b2+c2 C.a2>b2+c2 解析:选 C 由 cos A= 4.若 a=

ln 2 ln 3 ln 5 ,b= ,c= ,则( 2 3 5

A.a<b<c C.c<a<b 解析:选 C 利用函数单调性.设 f(x)=

>0,f(x)单调递增;x>e 时,f′(x)<0,f(x)单调递减.又 a=

5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1) +f(x2)的值( ) B.恒等于零 D.无法确定正负

A.恒为负值 C.恒为正值

解析:选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数, 由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0. 6.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)=x- xln x 取导得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1)时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区间(0,1)上是 增函数”应用了________的证明方法. 解析:该证明过程符合综合法的特点. 答案:综合法 7.如果 a a+b b>a b+b a,则正数 a,b 应满足的条件是________. 解析:∵a a+b b-(a b+b a) =a( a- b)+b( b- a)=( a- b)(a-b) =( a- b)2( a+ b). ∴只要 a≠b,就有 a a+b b>a b+b a.

答案:a≠b 8.若不等式 (- 1)na< 2+ ________. 1 1 1 3 3 解析:当 n 为偶数时,a<2-n,而 2-n≥2- = ,所以 a< ,当 n 为奇数时,a> 2 2 2 1 1 3 -2-n,而-2-n<-2,所以 a≥-2.综上可得,-2≤a< . 2 3 -2, ? 答案:? 2? ? 1 1 9.已知 a>0,b-a>1. (1)求证:0<b<1; (2)求证: 1+a> 1 . 1-b ?-1?n 1 n 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是


1 1 1 1 证明:(1)由 a>0, - >1 可得 > +1>1, b a b a 所以 0<b<1. (2)因为 a>0,0<b<1,要证 1+a> 只需证 1+a· 1-b>1, 即证 1+a-b-ab>1, a-b 即证 a-b-ab>0,即 ab >1, 1 1 又 - >1,这是已知条件,所以原不等式得证. b a 10.已知数列{an}的首项 a1=5,Sn+1=2Sn+n+5,(n∈N*). (1)证明数列{an+1}是等比数列. (2)求 an. 解:(1)证明:由条件得 Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n≥2)① 又 Sn+1=2Sn+n+5,② ②-①得 an+1=2an+1(n≥2), 所以 an+1+1 ?2an+1?+1 2?an+1? = = =2. an+1 an+1 an+1 1 , 1-b

又 n=1 时,S2=2S1+1+5,且 a1=5, 所以 a2=11,所以 a2+1 11+1 = =2, a1+1 5+1

所以数列{an+1}是以 2 为公比的等比数列.

(2)因为 a1+1=6,所以 an+1=6×2n 1=3×2n,


所以 an=3×2n-1. 层级二 1 1 1.使不等式a<b成立的条件是( A.a>b C.a>b 且 ab<0 ) B.a<b D.a>b 且 ab>0 应试能力达标

b- a 1 1 1 1 解析:选 D 要使 < ,须使 - <0,即 <0. a b a b ab 若 a>b,则 b-a<0,ab>0;若 a<b,则 b-a>0,ab<0. 2.对任意的锐角 α,β,下列不等式中正确的是( A.sin(α+β)>sin α+sin β B.sin(α+β)>cos α+cos β C.cos(α+β)>sin α+sin β D.cos(α+β)<cos α+cos β 解析:选 D 因为 α,β 为锐角,所以 0<α<α+β<π,所以 cos α>cos(α+β).又 cos β>0,所以 cos α+cos β>cos(α+β). y 1 4 3.若两个正实数 x,y 满足 + =1,且不等式 x+ <m2-3m 有解,则实数 m 的取值 x y 4 范围是( ) B.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞) y 4x · 4x y )

A.(-1,4) C.(-4,1)

y 1 4 y y 4x 1 4 x+ ?? + ?=2+ + ≥2+2 解析: 选 B ∵x>0, y>0, ∴x+ =? x+y =1, 4 ? 4??x y? 4x y

y =4,等号在 y=4x,即 x=2,y=8 时成立,∴x+ 的最小值为 4,要使不等式 m2-3m>x 4 y + 有解,应有 m2-3m>4,∴m<-1 或 m>4,故选 B. 4 4.下列不等式不成立的是( A.a +b +c ≥ab+bc+ca B. a+ b> a+b(a>0,b>0) C. a- a-1< a-2- a-3(a≥3) D. 2+ 10>2 6 解析:选 D 对 A,∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,∴a2+b2+c2≥ab+bc +ca;对 B,∵( a+ b)2=a+b+2 ab,( a+b)2=a+b,∴ a+ b> a+b;对 C,要 证 a- a-1< a-2- a-3(a≥3)成立,只需证明 a+ a-3< a-2+ a-1,两边
2 2 2

)

平方得 2a-3+2 a?a-3?<2a-3+2 ?a-2??a-1?,即 a?a-3?< ?a-2??a-1?,两边平 方得 a2-3a<a2-3a+2,即 0<2.因为 0<2 显然成立,所以原不等式成立;对于 D,( 2+ 10)2-(2 6)2=12+4 5-24=4( 5-3)<0,∴ 2+ 10<2 6,故 D 错误. 2ab a+b? 5.已知函数 f(x)=2x,a,b 为正实数,A=f? ,B=f( ab),C=f?a+b?,则 A, ? ? ? 2 ? B,C 的大小关系是________. 解析:∵ 2ab a+b 2ab ≥ ab(a,b 为正实数), ≤ ab ,且 f(x)=2x 是增函数,∴f?a+b? 2 ? ? a+b

a+b? ≤f( ab)≤f? ? 2 ?,即 C≤B≤A. 答案:C≤B≤A 6.如图所示,四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的侧棱垂直于底面,满足________时,BD⊥ A1C(写上一个条件即可).

解析:要证 BD⊥A1C,只需证 BD⊥平面 AA1C. 因为 AA1⊥BD,只要再添加条件 AC⊥BD, 即可证明 BD⊥平面 AA1C,从而有 BD⊥A1C. 答案:AC⊥BD(答案不唯一) 7.在锐角三角形 ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. π π 证明:在锐角三角形 ABC 中,∵A+B> ,∴A> -B. 2 2 π π ∴0< -B<A< , 2 2 π? 又∵在? ?0,2 ?内正弦函数 y=sin x 是单调递增函数, π ? ∴sin A>sin? ?2-B?=cos B, 即 sin A>cos B.① 同理 sin B>cos C,② sin C>cos A.③ 由①+②+③,得: sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.

8.设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d.证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明:(1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab,( c+ d)2=c+d+2 cd, 由题知 a+b=c+d,ab>cd,得( a+ b)2>( c+ d)2, 因此 a+ b> c+ d. (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd, 所以由(1)得 a+ b> c+ d. ②若 a+ b> c+ d,则( a+ b)2>( c+ d)2, 即 a+b+2 ab>c+d+2 cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd, 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2, 因此|a-b|<|c-d|. 综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.



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