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《线性代数》期末试卷-A1

《线性代数》期末试卷-A1


试 卷
考试科目: 姓名: 线 性 代 数 考核方式:开卷( ) 闭卷(√) 试卷适用专业(班) : 13 级 经济管理类各专业(教考分离) 20014-2015 学年度 第 二 学期 套别:A 套(√) B 套( ) 五 六 七 总计

7.齐次线性方程组 ? 个数是

? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 0 的基础解系中所含向量 ? x 2 ? 2 x3 ? 3 x 4 ? 4 x5 ? 0
。 。 。

8.设向量 ? ? (3,2,1,5) T 与 ? ? (1, a,?3,2a)T 正交,则 a ? 9.设 ? 为矩阵 A 的特征值,则 B ? A ? 2 A ? E 的特征值为
3

线

题 号 分 值 得 分 阅卷人

一 20

二 10

三 63

四 7

10. 已 知 三 阶 实 对 称 矩 阵 A 的 特 征 值

?1 ? ?2 ? 3, ?3 ? ?3 , 则

A2 0 1 2?



学号:

二、选 择 题 : 一、填 空 题 : ( 每小题 2 分, 共 20 分 )
。 。

( 每小题 2 分, 共 10 分 )
) 。



1.在 5 阶行列式中,项 a12 a31a54 a43 a25 的符号应取 2. 设 A, B 为三阶矩阵, 且 A ? 3, 2B ? 40,则 AB ?

?1 1 0 ? ? ? * 1.设矩阵 A ? ? 0 ? 1 3 ? , A 为 A 的伴随矩阵,则 A* ? ( ? 2 3 ? 1? ? ?
(A)-18. (B)4. (C)-8. (D)8.

3
班级: 3.已知 D ? 2

0 2 1

4 2 ,则 D 的第三行各元素的余子式之和为 3


5

?0 0 1? ? ? 2.设矩阵 A ? ? 2 1 0 ? ,B 是三阶矩阵且 AB ? O , 则 r ( B) ?( ? ? 1 1 ? 1? ? ?
(A)2. (B)1. (C)0. (D)3.

) 。

? a 0 0? ? ? n 4.已知矩阵 A ? ? 0 b 0 ? ,则 A ? ?0 0 c? ? ?





3.设 A 为 m ? n 矩阵,线性方程组 Ax ? b 对应的齐次方程组为 Ax ? 0 , 则下列结论正确的是( ) 。 (A) Ax ? 0 仅有零解, 则 Ax ? b 有唯一解. (B) Ax ? 0 有非零解, 则 Ax ? b 有无穷多个解. (C) Ax ? b 有唯一解的充要条件是 r ( A) ? n . (D) Ax ? b 有无穷多个解, 则 Ax ? 0 有非零解. 。 4.如果矩阵 An 的秩 r ( An ) ? r ? n ,则下列结论不正确的是( ) 。

5. 已 知 向 量 组 ?1 ? (1,?2,3),? 2 ? (0,2,5),? 3 ? (?1,0, k ) 线 性 相 关,则 k ? 学院: 。

2 3? ?1 ? ? 6.若矩阵 A ? ? 2 3 5 ? 的秩为 2,则 t ? ? 3 t ? 2 6? ? ?

注意:答题不能超过密封线!本套试卷共 4 页,此页是第 1 页

(A)矩阵 An 可逆.

(B) An 中必包含 r 个线性无关的列向量.

(C)线性方程组 An x ? 0 一定存在非零解. (D)任意 r ? 1 个行向量所组成的向量组一定线性相关. 姓名: 5.设 A 为 n 阶矩阵,则 A 与对角矩阵相似的充分必要条件的是( (A) A 为实对称矩阵. (B) A 有 n 个互不相同的特征值. (C) A 有 n 个线性无关的特征向量. (D) A 的属于不同特征值的特征向量相互正交. ) 。

? 2 ? 2 3? ? 1 ? 1? ? ? ? ? ? 1 2 ? , B ? ? 2 0 ? , 求 X 使 AX ? B 。 2.设 A ? ? 1 ??1 0 1? ? 5 ? 3? ? ? ? ?

线

学号:

三、解 答 题 :

( 每小题 9 分, 共 63 分 )
1 3 2 3 ? 3 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 3 3。 ? n



3 1.计算 n 阶行列式 Dn ? 3 ? 3

3. 设 三 阶 矩 阵 A ? ( A1 , A2 , A3 ) , 且 A ? ?5 , 计 算 行 列 式

A1 ? A2 , A2 ? 3A3 ,2 A3 ? A1 。
班级: 学院:



注意:答题不能超过密封线!本套试卷共 4 页,此页是第 2 页

4. 求 向 量 组 ?1 ? (2,1,4,3)T ,

? 2 ? (?1,1,?6,6)T , ? 3 ? (1,1,?2,7)T ,

? 4 ? (2,4,4,9)T 的极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示。
姓名:

? 1 ? ? ? 1? ? 4? ? ? ? ? ? ? 6.将 ? 1 ? ? 2 ? , ? 2 ? ? 3 ? , ? 3 ? ? ? 1? 化为标准正交向量组。 ? ? 1? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?

学号:

线
? x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 0 ? x ? 2 x ? 3x ? 3x ? 1 ? 1 2 3 4 5.已知线性方程组 ? ,讨论: 3 x ? 2 x ? ax ? x 2 3 4 ? b ? 1 ? ? x1 ? x 2 ? x3 ? ax4 ? 0
(1)当 a , b 取何值时,线性方程组无解、有唯一解。 (2)当 a , b 取何值时,线性方程组有无穷多解,并求出其通解。

?0 ? 7. 设矩阵 A ? ? 1 ?1 ?
?1



0 1 0

1? ? a ? 可对角化, 求: (1)a 的值; (2) 可逆矩阵 P , ? 0?

班级:

使得 P AP ? Λ 为对角矩阵。

学院:



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四、证 明 题 :

( 本题共 7 分 )

设矩阵 A ? (?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ) ,其中 ?1 ? 2? 2 ? ? 3 ,且 ? 2 , ? 3 , ? 4 线 性无关。已知向量 b ? 3? 2 ? ? 4 ,证明: (1)

姓名:

? ? (1,1,1,1)T 为线性方程组 Ax ? b 的解;

线
学号: 班级: 学院:

(2) r (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? 3 。





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