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2011年7月全国自考线性代数(经管类)试题

2011年7月全国自考线性代数(经管类)试题


全国 2011 年 7 月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题
课程代码:04184
说明:本卷中,AT 表示方阵 A 的转置钜阵,A*表示矩阵 A 的伴随矩阵,E 表示单位矩阵,|A| 表示方阵 A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的, 请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。

?1 0 ?1? ? ? T 1.设 A = 3 5 0 ,则 AA =( ? ? ?0 4 1 ? ? ?
A.-49 C.7



B.-7 D.49 )

2.设 A 为 3 阶方阵,且 A = 4 ,则 ?2A = ( A.-32 C.8 B.-8 D.32

3.设 A,B 为 n 阶方阵,且 AT=-A,BT=B,则下列命题正确的是( A. (A+B) =A+B C.A 是对称矩阵
2
T



B. (AB) =-AB D.B2+A 是对称阵 )
2 2

T

4.设 A,B,X,Y 都是 n 阶方阵,则下面等式正确的是( A.若 A =0,则 A=0 C.若 AX=AY,则 X=Y
2

B. (AB) =A B

2

D.若 A+X=B,则 X=B-A

?1 ?0 5.设矩阵 A= ? ?0 ? ?0
A.1 C.3

1

1? 2 ?1 4 ? ? ,则秩(A)=( 0 0 5? ? 0 0 0? 3
B.2 D.4



浙 04184# 线性代数(经管类)试题 第 1 页 共 4 页

z=0 ? kx + ? 6.若方程组 ? 2 x + ky + z = 0 仅有零解,则 k=( ?kx ? 2 y + z = 0 ?
A.-2 C.0 B.-1 D.2



7.实数向量空间 V={(x1,x2,x3)|x1 +x3=0}的维数是( A.0 C.2 B.1 D.3



? x1 + 2 x2 ? x3 = λ ? 1 ? 8.若方程组 ? 3x2 ? x3 = λ ? 2 ? λ x2 ? x3 = (λ ? 3)(λ ? 4) + (λ ? 2) ?
A.1 C.3 B.2 D.4

有无穷多解,则 λ =(



?1 0 0 ? ? ? 9.设 A= 0 1 0 ,则下列矩阵中与 A 相似的是( ? ? ?0 0 2? ? ? ?1 0 0 ? ? ? A. 0 2 0 ? ? ?0 0 1 ? ? ? ?1 0 0 ? ? ? C. 0 1 1 ? ? ?0 0 2? ? ?
2 2



?1 1 0 ? ? ? B. 0 1 0 ? ? ?0 0 2? ? ? ?1 0 1 ? ? ? D. 0 2 0 ? ? ?0 0 1 ? ? ?


10.设实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x2 ? x3 ,则 f( A.正定 C.负定

B.不定 D.半正定

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设 A=(-1,1,2)T,B=(0,2,3)T,则|ABT|=______.

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12.设三阶矩阵 A = [α1 , α 2 , α 3 ] ,其中 α i (i = 1, 2, 3) 为 A 的列向量,且|A|=2,则

[α1 + α 2 ,α 2 ,α1 + α 2 ? α3 ] = ______.
? ?0 1 ? 13.设 A = ? a 0 ? ?b 0 ?
? ? 14.矩阵 Q = ? ? ? ? 3 2 1 2

? 0? ? c ? ,且秩(A)=3,则 a,b,c 应满足______. 1? ? 2?
1? ? ? 2 ? 的逆矩阵是______. 3? ? 2 ?

15.三元方程 x1+x3=1 的通解是______. 16.已知 A 相似于 Λ = ?

? ?1 0 ? ? ,则|A-E|=______. ? 0 2?

?0 0 1 ? ? ? 17.矩阵 A = 0 1 0 的特征值是______. ? ? ?1 0 0 ? ? ?
18.与矩阵 A = ?

?1 2 ? ? 相似的对角矩阵是______. ?2 1 ?

?1 0 0 ? ? ? 19.设 A 相似于 Λ = 0 ?1 0 ,则 A4______. ? ? ?0 0 1 ? ? ?
20.二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3 的矩阵是______. 三、计算题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分)

1 2 3 4
21.计算 4 阶行列式 D=

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

.

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?1 0 1 ? ? ? 22.设 A= 0 2 0 ,而 X 满足 AX+E=A2+X,求 X. ? ? ?1 6 1 ? ? ?
?1? ?2? ?5? ?3? ? ?2 ? ?1? ?0? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? 23.求向量组:α1 = ? 3 ? , α 2 = ? 2 ? , α 3 = ? 7 ? , α 4 = ? 5 ? 的秩,并给出该向量组的一个 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ?2 ? ? ?5 ? ? ?3? ?2? ? ?3 ? ? ?4 ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ?
极大无关组,同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.

? x1 + 2 x2 ? 2 x3 = 0 ? 24.当 λ 为何值时,齐次方程组 ?2 x1 ? x2 + λ x3 = 0 有非零解?并求其全部非零解. ? 3x + x ? x = 0 ? 1 2 3
25.已知 1,1,-1 是三阶实对称矩阵 A 的三个特征值,向量 α1 = (1,1,1) 、α 2 = (2, 2,1) 是 A
T T

的对应于 λ1 = λ2 = 1 的特征向量,求 A 的属于 λ3 = ?1 的特征向量. 26.求正交变换 Y=PX,化二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3 为标准形. 四、证明题(本大题 6 分) 27.设 α1,α 2,α 3 线性无关,证明 α1,α1 + 2α 2,α1 + 3α 3 也线性无关.

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