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卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2013)

卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2013)


卓越联盟自主招生真题及答案 (2011-2013 年) 目 录

2011 年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 ........................................... 2 2011 年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 .......................................................... 5 2012 年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 11 2012 卓越联盟自主招生数学真题答案解析 ............................................................ 14 2013 年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 20 2013 年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 ........................................................ 22

2011 年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题

数学试题
分值: 一、选择题, 1.已知向量 为非零向量, 则 夹角为( ) 分 时量: 分钟

A.

B.

C.

D.

2.已知



(

)

A. 3.在正方体 则异面直线

B.

C . 中, 为棱

D. 的中点, ) 是棱 上的点,且 ,



所成角的正弦值为(

A.

B.

C.

D.

4. 为虚数单位,设复数 满足 A. B. C.

,则 D. 轴上,

的最大值为(

)

5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 为抛物线的焦点,若 A.. 6.在三棱柱 面 的距离为( ) B.

三个顶点都在抛物线上,且 ,则抛物线方程为( D. 为 的中点,则点 )

的重心

边所在的直线方程为 C.

中,底面边长与侧棱长均不等于 2,且

到平

A.

B.

C.

D.

7.若关于 的方程

有四个不同的实数解,则

的取值范围为(

)

A. 8. 如图 , ,交

B. 内接于 在

C. ,过 中点 ,若

D. 作平行于 的直线 ,则 交 于 ,交 ) 于

点处的切线于

的长为(

A. 9.数列 共有 11 项,

B. 且 D. 160

C.

D.

满足这种条件的不同数列的个数为( ) A. 100 B. 120 C. 140

10.设

是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为 表示变换的复合,先做 ) C. D. ,再做

的旋转, .用

表示坐标平面关于 次

轴的

镜面反射.用 是( A. 二、解答题 11.设数列 (1)设 (2)若 B.

表示连续

的变换,则

满足 ,证明:若 求 ,则

. 是等比数列; 的值;

12.在 (1)求 (2)若

中, 的取值范围; ,问 为何值时,

是角

的平分线,且

.

最短?

13.已知椭圆的两个焦点为 (1)求椭圆的方程; (2)过 作两条互相垂直的直线

,且椭圆与直线

相切.

,与椭圆分别交于



,求四边形

面积

的最大值与最小值.

14.一袋中有

个白球和

个黑球.从中任取一球,如果取出白球 ,则把它放回袋中;如果取出 次这样的操作后,记袋中白球的个

黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复 数为 (1)求 (2)设 . ; ,求

(3)证明:

15.设 (1)求 ;

.

(2)设

求常数 ,使得 ,证明 .

取得最小值;

(3)记(2)中的最小值为

2011 年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 一.选择题 二.解答题 11.【解】(1)证:由 ,得





,所以

是以

为首项,以

为公比的等比数列;

(2)由(1) 可知

,

所以由累加法得



也所以有

时,

也适合该式;

所以







由于

所以

解得

.

12.【解】(1)过

作直线

,交

延长线于

,如图右.

所以,

也所以有 在 即 中,有

,即

所以,



所以

.

(2)因为



中,有

记 当

,则 时,

此时

取最小值,此时

.

故当

时,

取最小值

.

13.【解】设椭圆方程为

,因为它与直线

只有一个公共点,

所以方程组 所以 又因为焦点为

只有一解,整理得 得 ,所以 .

.

联立上式解得

所以椭圆方程为

.

(2)若

斜率不存在(或为 0)时,则

.



斜率存在时,设为 方程为

,则 .设



.

所以直线

与椭圆交点坐标为

联立方程

化简得

.



所以

同理可得

所以

因为

(当且仅当

时取等号)

所以,

也所以

所以综上所述,

的面积的最小值为

,最大值为 2.

14.【解】(1)

时,袋中的白球的个数可能为

个(即取出的是白球),概率为

;也可能



个(即取出的是黑球),概率为

,故

.

(2)首先, 种; 第 次袋中有

时,第

次取出来有

个白球的可能性有两

个白球,显然每次取出球后 ,球的总数保持不变 ,即

个白球(故此

时黑球有 第

个),第

次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为 个白球,第 次取出来的是黑球,由于每次球的总数为 个,

次袋中有

故此时黑球的个数为

.这种情况发生的概率为

.

故 (3)第 次白球的个数的数学期望分为两类:



次白球个数的数学期望,即

. 由于白球和黑球的总个数为

,第

次取出

来的是白球,这种情况发生的概率是

;第

次取出来的是黑球,这种情况发生的概率



,此时白球的个数是



15.(1) (2)若 若 故 则 则 当

; 显然,当 取最小. 取最小;

由(1)知

所以, 记

则令

,得



时,

取最小值.

(3)将

代入

式右边,

等价于

由于

时,

所以下面只须证明

即可.





,



,注意到函数

是单调递增的,且

所以

.得证.

天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析
对于数理知识测试中数学部分,专家评论道:数学考题考察的是高中数学的基本 知识、基本概念和基本技能,但只是考察的侧重点与高考不同,试题重点考察了学生的 空间想象能力,要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工 科院校的特点出发, 考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的 (最大值或最小值) 优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。 对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁 学、振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识, 基本技能解决问题和分析问题的能力。选择题多数与高考题类型相似,主要考核学生对 物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。计算题主要考察了电 学、热学和力学知识的综合应用能力。

2012 年卓越联盟自主招生数学试题

卓越人才培养合作高校 2012 年自主选拔学业能力测试 数 学

本卷共 100 分,考试用时 90 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上,并 在规定位置粘贴考试用条形码。 2.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在试卷上的无 效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

2012 卓越联盟自主招生数学真题答案解析

2013 年卓越联盟自主招生数学试题 一、选择题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分.每小题给出的 4 个结论中,只有一项是符 合题目要求 (1)已知 (A) (C) 是定义在实数集上的偶函数,且在 (B) (D) 上递增,则

(2) 已知函数

的图象经过点

, 且



相邻两个零点的距离为

,为得到

的图象,可将

图象上所有点

(A)先向右平移

个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的

倍,纵坐标不变

(B) 先向左平移

个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的

倍,纵坐标不变

(C) 先向左平移

个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的

倍,纵坐标不变

(D) 先向右平移

个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 (3)如图,在

倍,纵坐标不变

五个区域中栽种 3 种植物,要求同

一区域中只种 1 种植物,相邻两区域所种植物不同,则不同的 栽种方法的总数为( ) (A)21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数 有 若 (A) (B) ,且在 上 在 上存在导数 . 的取值范围为 (C) (D) ,对任意的 ,

,则实数

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分)

(5)已知抛物线 近线方程为 (6) 设点 则 (7)设曲线 入区域 (8)如图, 于 ,且 是圆 的切线, 与 在 . 的内部, 点

的焦点是双曲线

的一个焦点,则双曲线的渐

, 分别为边 .



的中点, 且



轴所围成的区域为 内的概率为 是切点, ,则 与

,向区域 .

内随机投一点,则该点落

垂直,垂足是

,割线 (用

交圆 表示).

三、解答题(本大题共 4 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (9) (本小题满分 13 分)在 中,三个内角 已知 、 、 所对边分别为 . 、 、 .

(1)求角

的大小;

(2)求

的最大值.

(10)(本题满分 13 分)

设椭圆 两点.

的离心率为

,斜率为

的直线 过点

且与椭圆交于

(1)求椭圆方程; (2)若直线 与 (3)设 有 为椭圆的下顶点, . 、

轴相交于点 分别为直线

,且 、

,求

的值; 恒

的斜率,证明对任意的

(11)(本题满分 15 分)设

,(1)证明:



(2)若

,证明: 中,

. , .

(12) (本题满分 15 分) 已知数列 (1)若 对

都成立,求

的取值范围;

(2)当

时,证明



(1)A;

2013 年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (2)B; (3)C; (4)B.

(5)

; (6)2;

(7)

; (8)





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