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高中数学必修1.2.3.4.5知识点

高中数学必修1.2.3.4.5知识点


高中数学 必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示
(1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

N

表示自然数集, N

? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集.

(3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集 .③不含有任何元素的集合 叫做空集( ? ).

【1.1.2】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A ? A A 中的任一元素都属 于B (2) ? 性质 示意图

A? B
子集 (或

B ? A)
A?B
?

?A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B
(1) ?? A (A 为非空子集)
?

A(B)

B

A



真子集 (或 B ? A)
?

A ? B ,且

B 中至

少有一元素不属于 A

(2)若 A ? B 且 B ? C ,则
? ?

A? C
?

B

A

集合 相等

A 中的任一元素都属

A? B

于 B, B 中的任一元素 都属于 A

(1)A ? B (2)B ? A

A(B)

(7)已知集合 它有 2
n

A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2n 个子集,它有 2 n ? 1 个真子集,它有 2 n ? 1 个非空子集,

? 2 非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算
(8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图

交集

A? B

{x | x ? A, 且

x ? B}

并集

A? B

{x | x ? A, 或 x ? B}

A? A ? A (2) A ? ? ? ? (3) A ? B ? A A? B ? B (1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? A A? B ? B
(1) 1 A ? (? U A) ? ? 2 A ? (? U A) ? U

A

B

A

B

补集

? UA

{x | x ?U , 且x ? A}

痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B) 痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B)

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集

| x |? a(a ? 0)
| x |? a(a ? 0)


{x | ?a ? x ? a}
x | x ? ?a 或 x ? a}

ax ? b

看成一个整体,化成

| x |? a



| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0) | x |? a(a ? 0) 型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法 判别式

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象
O

一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

?b ? b2 ? 4ac x1,2 ? 2a
(其中 x1

x1 ? x2 ? ?

? x2 )

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

b } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2}

?

?

〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念
(1)函数的概念 ①设

A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f

,对于集合

A 中任何一个数 x ,在集合 B


中都有唯一确定的数 叫做集合

那么这样的对应 (包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法则 f f ( x) 和它对应,

A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B .

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a

? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [a, b] ;满足

a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的
集合叫做半开半闭区间,分别记做 [ a, b) , ( a, b] ;满足 x ? a, x 合分别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) . 注意:对于集合 {x | a ?

? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集

x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须

a ?b.
(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① ② ③

f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤

y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若

f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数

的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 的定义域应由不等式 a ?

f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)]

g ( x) ? b 解出.

⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个 最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是 提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值. ③判别式法:若函数

y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程

a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在 a( y) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.

【1.2.2】函数的表示法
(5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念 ①设

A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f

,对于集合

A 中任何一个元素,在集合 B 中都
) 叫做集合

有唯一的元素和它对应, 那么这样的对应 (包括集合 到 B 的映射,记作 ②给定一个集合

A ,B 以及 A 到 B 的对应法则 f

A

f : A? B.

A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素

b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象.

〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < x2 时,都 1 . . . .. 有 f(x )<f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x)在这个区间上是增函数 . ... 图象 判定方法 (1)利用定义

y y=f(X)
f(x1 )

(2 )利用已知函数的

f(x2)

单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图

o
函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < x2 时,都 1 . . . .. 有 f(x )>f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x)在这个区间上是减函数 . ...

x1

x2

x

象上升为增) (4)利用复合函数 (1)利用定义

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

(2 )利用已知函数的 单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图
x2

o

x1

x

象下降为减) (4)利用复合函数

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为 增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数

y ? f [ g ( x)] , 令 u ? g ( x)

,若

y ? f (u )

为增,

u ? g ( x)

为增,则

y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为
增, u

? g ( x) 为 减 , 则 y ? f [ g ( x)] 为 减 ; 若 y ? f (u ) 为 减 , u ? g ( x) 为 增 , 则 y

y ? f [ g ( x)] 为减.
(2)打“√”函数

f ( x) ? x ?

a ( a ? 0) 的图象与性质 x
o
x

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在

[? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数.
(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数

y ? f ( x) 的定义域为 I
f ( x) ? M


,如果存在实数 M 满足: (1)

对于任意的 x ? I ,都有 ( 2 )存在

x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M 是函数 f ( x)

的最大值,记作

f max ( x) ? M .
②一般地,设函数

y ? f ( x) 的定义域为 I

,如果存在实数 m 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有

(2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x ) 的最小值,记作 f ( x) ? m ;

f max ( x) ? m .
【1.3.2】奇偶性
(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x,都有 . f( - x)= - . . . . . . f(x) ,那么函数 f(x)叫做奇函 . . . . .. 数 . . 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x, 都有 . f( - x)= f(x) , . . . . . . . . . 那么函数 f(x)叫做偶函数 . ... (1 )利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2 )利用图象(图象 关于 y 轴对称) 图象 判定方法 (1 )利用定义(要先 判断定义域是否关于 原点对称) (2 )利用图象(图象 关于原点对称)

②若函数

f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 .

③奇函数在

y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或 奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

〖补充知识〗函数的图象
(1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) h?0,右移|h|个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k k ?0,下移|k|个单位

②化解函数解析式; ④画出函数的图象.

②伸缩变换

0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换

x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)

y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径, 获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 x
n

? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,

a 的 n 次方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方
根用符号 ?
n

a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.
a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当

②式子

n

n 为偶数时, a ? 0 .
③根式的性质:

( n a )n ? a


;当

n

为奇数时,

n

an ? a

;当

n

为偶数时,

n

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念
m

①正数的正分数指数幂的意义是: a n 幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a
?

? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数
m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 a a

的负分数指数幂没有意义. (3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.

? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R)
r

② (a

r s

) ? ars (a ? 0, r, s ? R)

③ (ab)

? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)
【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
0 ? a ?1

a ?1

y
图象

y ? ax

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域

1

x 0
R
(0, ??)

O

1

x 0

过定点 奇偶性 单调性

图象过定点 (0,1) ,即当 x 非奇非偶 在 R 上是增函数

? 0 时, y ? 1 .
在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数,

N

叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga

N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

(2)几个重要的对数恒等式

log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 (4)对数的运算性质 ①加法: loga 如果 a . N (其中 e ? 2.71828 ?)

N ;自然对数: ln N

,即 log e

? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么
②减法: log a ④a
log a N

M ? loga N ? loga (MN )
M ? loga M n (n ? R)
n log a M (b ? 0, n ? R ) b

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n loga ⑤ log

?N

ab

Mn ?

⑥换底公式: log a

N?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 函数 对数函数

y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
0 ? a ?1
x?1

a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

(6)反函数的概念 设函数 果对于 子x 值域为 C , 从式子 y ? f ( x) 中解出 x , 得式子 x ? ? ( y ) . 如 y ? f ( x) 的定义域为 A ,

y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式

? ? ( y ) 表示 x 是 y 的函数,函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,

习惯上改写成

y ? f ?1 ( x) .

(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ③将 x

y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ;

? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 ②函数

y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.

③若 P ( a, b) 在原函数 ④一般地,函数

y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义 一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限(图象关于

y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶

函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ?

? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ?? ) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数

的图象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与

y 轴.
? q (其中 p, q 互 p
q p

④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ?
q p

质, p 和 q ? Z ) ,若 是偶函数,若

p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x
q

是奇函数,若

p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x

p 为偶数 q 为奇数时,则

y ? x p 是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数

y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若

x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,
其图象在直线

y ? x 下方.

〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 (3)二次函数图象的性质 ①二次函数

f ( x) 更方便.

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ). 2a 4a
? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?
b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? 2a 2a 2a
时,

②当 a

f min ( x) ?

4ac ? b 2 4a

;当 a

? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ?

b b ] 上递增,在 [ ? , ?? ) 上 2a 2a

4ac ? b2 b 递减,当 x ? ? 时, f max ( x) ? 2a 4a
③二次函数



f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
(4)一元二次方程 ax
2

? . |a|

? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不 够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用, 下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令
②对称轴位置:x

从以下四个方面来分析此类问题: ①开口方向:a f ( x) ? ax2 ? bx ? c , ③判别式: ? ④端点函数值符号. ①k<x1≤x2

??

b 2a

?
y

y
a?0

f (k ) ? 0
?

x??

b 2a

O

k x1
x??
②x1≤x2<k

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

?
y y
f (k ) ? 0
?

a?0
O

x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0

y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1<x1≤x2<k2

?
a?0
?

y
?

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0
f(k1)f(k2) ? 0, 并同时考虑 f(k1)=0

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2) 满足 k1<x1 (或 x2) <k2 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合

?

y
?

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0
⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 设

f (k 2 ) ? 0

?

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值
1 ( p ? q) . 2
③若 ?

f ( x) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 ?
(Ⅰ)当 a

? 0 时(开口向上)
②若

①若 ?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a

p??

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a

b ? q ,则 2a

m ? f (q)

a?0

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

a?0

y

x??

f (q)
O
f (? b ) 2a

f (p) q
x

b 2a

q p
O

f
b f ((p) ? ) b 2M a ? f (q) ? x0 ,则 ①若 ?

p
②?

x
b ) 2a

2a

a?0
(Ⅱ)当 a

yx ? ? b

b ? x0 ,则 M ? f ( p) 2a y b a?0 ??
x

f f (? (q)

b x(q) p f ( p) ? p ,则 M ①若 ? 0 ? ? 2a q
O

? 0 时(开口向下 f )

2a

f

2a

(p) q b x0 b b ?? q ,则 M ? f (? ) ③若 ? ? q ,则 ②若 p ? ? 2a p O 2a x 2a
x

M ? f (q)
b f ((p) ? ) 2a

f (q)
a?0

f f (? yb
2a

b ) 2a

a?0

f (?

yb
2a

)

f (?

a?0
)

f f( ?

yb
2a

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

(q) q p
x
O

p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

q
x?? b 2a

x

f

f (p)

f

①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0
f (?

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f f( ?

yb
2a

)

yb
2a

)

f (p)

(q)

x0 ? O p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p ?
f

O

q
x?? b 2a

f (p) 第三章 函数的应用

x

一、方程的根与函数的零点 1 、函数零点的概念:对于函数

y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.
3、函数零点的求法: 求函数 1 ○

y ? f ( x) 的零点: (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; y ? f ( x) 的图象联系起来,并利

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 ○

用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点:

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . 2 1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次
二次函数 函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交 点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

3)△<0,方程 ax

2

? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.

高中数学 必修 2 知识点
第一章 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图
1 三视图: 正视图:从前往后 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下

空间几何体

1.3 空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 4 圆台的表面积 S

S ? 2?rl ? 2?r 2 ? ?rl ? ?r 2 ? ?Rl ? ?R 2

3 圆锥的表面积 S

? ?rl ? ?r 2 ? 4?R 2
1 S底 ? h 3 4 V ? ?R 3 3
D α A
0

5 球的表面积 S

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积

V ? S底 ? h
1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

2 锥体的体积

V ?

4 球体的体积

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画

C

B

成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四边形的四 个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L B∈L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 => L α

α ?

A

L

α ?

A

C ? ?

B

β
P

α

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 不同在任何一个平面内,没有公共点。

?

L

共面直线
异面直线:

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直 线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, );

=>a∥c

?
2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a b α β => a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a b β β β ∥α

a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 a∥b

2.3.1 直线与平面垂直的判定

1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直 线 L 叫做平面α 的垂线, 平面α 叫做直线 L 的垂面。 如图, 直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L

p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 β

本章知识结构框图 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

第三章 直线与方程

3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ?当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ?当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°.

3.1.2 两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那

么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即 如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒 数,那么它们互相垂直,即

3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k 0

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b

2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与

y 轴的交点为 (0, b)
其中

3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2 、直线的截距式方 A (a,0) ,与 程:已知直线 的 交 点 为

P 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 )

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
l
B



x

轴的交点为 , 其 中

y轴

(0, b)

a ? 0, b ? 0
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 2、各种直线方程之间的互化。

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 解:解方程组 L1:2x+y +2=0

?3x ? 4y ? 2? 0 ? ?2 x ? 2y ? 2? 0

得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2)

3.3.2 3.3.3

两点间距离 点

两 点 间的距

PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

离公式

到直线的距离公式

1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l :

Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 :

Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
第四章 4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程: ( x ? a)
2

C1 ? C2 A2 ? B 2
圆与方程

? ( y ? b)2 ? r 2

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) (1) ( x0 (3) ( x0
2

? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法:
(2) ( x0

? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内

? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上

4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程: x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

2、圆的一般方程的特点: (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

ax ? by ? c ? 0 , 设直线 l : 圆 C :x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆的半径为 r , 圆心 (?
到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;

2

2

D E , ? ) 2 2

4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含;

4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为 代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
R M O P Q M' y

4.3.1 空间直角坐标系
1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、

z 轴上的坐标
2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点

x

3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系 中的坐标, 记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫 做点 M 的竖坐标。

z

4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

?? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为
? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是

? ?

l r



6、弧度制与角度制的换算公式: 2? 7、若扇形的圆心角为 ?

? 360? , 1? ?

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? ? 57.3 . ? ? ?

?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,
? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
y P T v O M A x

C ? 2r ? l , S ?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2

8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点

r r ? x2 ? y 2 ? 0

?

?

,则 sin ?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正.

10、三角函数线: sin ?

? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

11、角三角函数的基本关系:

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?



? 6 ? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13 、①的图象上所有点向左(右)平移

?

个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数
1

y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来
的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 ②数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
1

y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? ?

个单位长度,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来
的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 14、函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.

y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
2?

①振幅: ? ;②周期: ? ?

?

;③频率:

f ?

1 ? ? ? 2?

;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .

函数 则?

y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin
?

;当 x ?

x2 时,取得最大值为 ymax ,

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:



函 质

数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域 当 时

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
x ? 2 k? ?


??1,1?
? k ? ??
; 当 当 x ? 2k?

?
2

? k ??? 时,
既无最大值也无最小值

最 值

ymax ? 1

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ??

时,

ymin ? ?1.

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性 在 奇函数 偶函数 奇函数

2?

2?

?

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?


单 调 性

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

?2k? ? ? ,2k? ?? k ??? 上 ?2k? ,2k? ? ? ?

在 ? k?

是增函数;在

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.

对称中心 对 称 性 对称轴 x

? k? ,0?? k ???
? k? ?







心 对称中心 ? 无对称轴

?
2

?k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

? k ???

第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ?三角形法则的特点:首尾相连. ?平行四边形法则的特点:共起点. ?三角形不等式: 数量:只有大小,没有方向的量. 零向量:长度为 0 的向量.

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b



?运算性质:①交换律: a ? b

?

?

? ? ?b ?a ;
?

②结合律:

? ? ? ? ? ? ? ? b ? ? c ? a ? ? b ? c ? ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ?a

?

?

?

C ? a

?坐标运算:设 a

?

? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

18、向量减法运算: ?三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ?坐标运算:设 a

? b
?

?

?

? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
19、向量数乘运算: ?实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

?

?

?a ? ? a

?

?



②当 ?

? ? ? ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? ? ?a ? 0 .

?运算律:① ?

? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ?? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ?b .
? ? ? ? ?
? ?

?

?

?坐标运算:设 a

?

? ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
? ? ? a?0

20、向量共线定理:向量 a

?

? . ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ?a

?

?

设a

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、b b ? 0

?

?共
?

线. 21、 平面向量基本定理: 如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a 组基底) 22 、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是

?? ?? ?

?

?? ?? ? ? ? ? ? ? (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一 ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当

??? ? ???? ? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) (当 ? ? 1 , ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? 1 ?. 1? ? ? ? 1? ?
23、平面向量的数量积: ? a ?b

? ?

? ? ? ? ? ? ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
;当 a

?性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a 与 b 反向时, a ? b ?运算律:① a ? b

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b


?

?

? ?

? ? ?? a b

;a ?a

? ?

? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

?

?

? ? ? ? ? ? b ??c ? a ?c ? b ?c . ? ? ;③ ? a

?

?

?坐标运算:设两个非零向量 a 若

?

? ? ? ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
,或

?2 ? a ? ? x, y ? , 则 a ? x 2 ? y 2

? a ? x2 ? y 2

. 设

? ? a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ?

,则

? ? a?b? x 0. 1 x 2 ? y 1 y 2 ?


? a



? b

都 是 非 零 向 量 ,

? a ? ? x1 , y1 ?

2 2



? b ? ? x2 , y2 ?



?



? a



? b

的 夹 角 , 则

? ? x1 x2? y1 y2 a ?b c o? s? ? ? ? 2 2 a b x1 ? y 12 x ? 2 y

第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ? cos ? sin

?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;? cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;
?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?
( tan ? ? tan ? ; ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? )

? tan

? tan

( tan ? ? tan ?

. ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? )

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ?

sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2
? cos 2?

? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
? tan 2?

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?


?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?



万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2

26、 半角公式 :

α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2

α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sin α(后两个不用判断符号,更加好用)
27 、 合 一 变 形

?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 ? y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ? . ?

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角 公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差, 倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是

? 2

的二倍;

? 2



? 4

的二倍;

② 15

o

? 45o ? 30o ? 60o ? 45o ?

30o 2
?(

;问: sin

?
12

?

; cos

?
12

?



③?

? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?
4

??) ;

⑤ 2?

? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常 化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式 ; ;

1 ? cos?

常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan ? ? __________ _____ 1 ? tan ?



1 ? tan ? ? __________ ____ ; 1 ? tan ?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan
2

??




tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?
= =

; ; (其中

tan ? ?

; ) ; 1 ? cos ?

1 ? cos ? ?

?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊 值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50
o

(1 ? 3 tan10o ) ?

; 。

tan ? ? cot ? ?

高中数学
(一)解三角形:

必修 5 知识点
a b c ? ? ? 2R sin ? sin ? sin C

1、 正弦定理: 在 ??? C 中,a 、b 、c 分别为角 ? 、? 、C 的对边, , 则有 ( R 为 ??? C 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式:① a ② sin ?

? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;

?

a b c ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; , sin ? ? , sin C ? 2R 2R 2R
???C

3、三角形面积公式: S

?

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
2
2 2 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? ,推论: cos ? ? b ? c ? a

4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a

2bc

(二)数列:
1.数列的有关概念: (1) (2) 数列:按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数 N*或它的有限子 集{1,2,3,?,n}上的函数。 通项公式:数列的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系用一个公式来表示,这个公式即是该数列的 通项公式。如:

an ? 2n2 ?1。

(3)

递推公式:已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与他的前一项 an-1(或前几项) 可以用一个公式来表示,这个公式即是该数列的递推公式。 如:

a1 ? 1, a2 ? 2, an ? an?1 ? an?2 (n ? 2) 。
列举法:如 1,3,5,7,9,… (2)图象法:用(n, an)孤立点表示。 解析法:用通项公式表示。 (4)递推法:用递推公式表示。

2.数列的表示方法: (1) (3) 3.数列的分类:

?有穷数列 按项数? ?无穷数列
4.数列{an}及前 n 项和之间的关系:

?常数列:an ? 2 ? n ?递增数列:an ? 2n ? 1, an ? 2 按单调性 ? 2 ?递减数列:an ? ?n ? 1 ?摆动数列:a ? (?1) n ? 2n ? n
?S1 , (n ? 1) an ? ? ?Sn ? S n ?1 , (n ? 2)
等比数列

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
5.等差数列与等比数列对比小结: 等差数列 一、定 义 1. an ? a1 ? ? n ?1? d 二、公 式 2. S n ?

an ? an?1 ? d (n ? 2)

an ? q(n ? 2) an ?1
1. an

? a1qn?1

an ? am ? ? n ? m? d , ? n ? m?

an ? amqn?m ,(n ? m)
2.

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? ? na1 ? d 2 2

?na1 ? q ? 1? ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q n ? 1 ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
2

1. a, b, c成等差 ? 2b ? a ? c , 三、性 质 称 b 为 a 与 c 的等差中项 2. 若m?n

1. a, b, c成等比 ? b
*

? ac ,

称 b 为 a 与 c 的等比中项

? p ? q( m 、n 、p 、q ? ? ) , 则 am ? an ? a p ? aq 3. Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等差数列

? p ? q( m 、n 、p 、q ? ?* ) , 则 am ? an ? a p ? aq 3. Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列
2. 若m?n

(三)不等式
1、 a ? b

? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b. 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; n n ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; ⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ??, n ? 1? ;
⑧a

? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .

小结:代数式的大小比较或证明通常用作差比较法:作差、化积(商) 、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中,常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法: (1)化成标准式: ax 线性规划问题: 1.了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
2

(2)求出对应的一元二次方程的根; ? bx ? c ? 0,(a ? 0) ; (4)根据不等号方向取出相应的解集。

(3)画出对应的二次函数的图象;

3.解线性规划实际问题的步骤: (1)将数据列成表格; (2)列出约束条件与目标函数; (3)根据求最值方法:①画:画可行域;②移:移 与目标函数一致的平行直线;③求:求最值点坐标;④答;求最值; 两类主要的目标函数的几何意义: ①z (4)验证。

? ax ? by -----直线的截距;② z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 -----两点的距离或圆的半径;
? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 a ? b ? ab .
2
? a?b ? ; ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ? 2 ?
2

4、均值定理: 若 a

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 5、均值定理的应用:设 x 、 y 都为正数,则有
?若 x ? ?若 xy

y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

选修 1-1,1-2 知识点
第一部分 简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、原命题: “若

p ,则 q ” q p 逆命题: “若 ,则 ” ? p ,则 ? q ” 逆否命题: ? q ,则 ? p ” 否命题: “若 “若

4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 利用集合间的包含关系: 例如: 若 A? B, 则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件; 若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 6、逻辑联结词:?且(and) :命题形式 p ? q ;?或(or) :命题形式 p ? q ; ?非(not) :命题形式 ? p .

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

7、?全称量词——“所有的” 、 “任意一个”等,用“ ? ”表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ?存在量词——“存在一个” 、 “至少有一个”等,用“ ? ”表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点 F )的点的轨迹称为椭圆. 1,F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2 即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

范围

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2 a

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

3、平面内与两个定点 F 1, F 2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F 1F 2 )的点的轨迹 称为双曲线.即: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 4、双曲线的几何性质: 焦点在 y 轴上 焦点的位置 焦点在 x 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2 a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?
y?? b x a

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a
y?? a x b

渐近线方程

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 6、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为 抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 7、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2
y轴

对称轴

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2
e ?1

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

8、 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、? 两点的线段 ?? , 称为抛物线的 “通 径” ,即 ?? ? 2 p . 9、焦半径公式:

p ; 2 p 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x2 ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2
若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?

第三部分 导数及其应用
1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1
x ? x0

2、导数定义: f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ?

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; . ?x

3、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 线的斜率. 4、常见函数的导数公式:
' n ' n?1 ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx ;

y ? f ? x?

在点

? ? x0 , f ? x0 ??

处的切

③ (sin x) ? cos x ;④ (cosx) ? ? sin x ;
' '

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数运算法则:

⑦ (log a x ) ?
'

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

?1? ? 2?

? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 ? ? 3? ? g ? x ? ? ? g ? x ?? ?



6、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值;

? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
8、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最
大值,最小的一个是最小值. 9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。

第四部分
1.概念:

复数

(1) z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥0; (2) z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); (3) z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; (4) a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i; (2) z1.z2 = (a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i; (3) z1÷z2 =
(a ? bi)(c ? di) ? bd bc ? ad (z ≠0) ; ? ac ? i 2 2 (c ? di)(c ? di) c ? d 2 c2 ? d 2

3.几个重要的结论: (1) (1 ? i) 2 ? ?2i ;? 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i; 1? i 1? i

(2) i 性质:T=4; i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0; (3) z ? 1 ? z z ? 1 ? z ?
4.运算律: (1) z
m

1 。 z
m m

? z n ? z m?n ; (2)(z m ) n ? z mn ; (3)(z1 ? z2 ) m ? z1 z2 (m, n ? N );
z1 z ? z ? z。 )? 1 ; z2 z2

5. 共轭的性质: ? ( z1 ? z 2 ) ? z1 ? z 2 ; ? z1 z 2 ? z1 ? z 2 ; ?(

6.模的性质:? || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ;? | z1 z 2 |?| z1 || z 2 | ;?

|

z1 | z1 | n n ;? | z |?| z | ; |? z2 | z2 |

第五部分

统计案例

1.线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n 2 ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx
?

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。

2.相关系数(判定两个变量线性相关性) :r ?

? (x
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( y i ? y )
n

? ( xi ? x ) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:? r >0 时,变量 x , y 正相关; r <0 时,变量 x , y 负相关; ?① | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② | r | 接近于 0 时,两个变量之 间几乎不存在线性相关关系。 3.回归分析中回归效果的判定: ?总偏差平方和:

? ( yi ? y) 2 ?残差:ei ? yi ? yi ;?残差平方和:? ( yi ? yi) 2 ;
i ?1 i ?1

n

?

?

n

?

?回归平方和:

?(y
i ?1

n

i

? y ) 2 - ? ( yi ? yi) 2 ;?相关指数 R 2 ? 1 ?
i ?1

n

?

? ( yi ? yi ) 2 ?(y
i ?1 i ?1 n

n

?


i

? yi )

2

注:① R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ② R 越接近于 1, ,则回归效果越好。 4.独立性检验(分类变量关系) : 随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
2 2

2

第六部分 一.推理:

推理与证明

?合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在 进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理: 由某类食物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特

征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理: 由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有 这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ?演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论” 是演绎推理的一般模式, 包括: ?大前提---------已知的一般结论; ?小前提--------所研究的特殊情况;?结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

二.证明
⒈直接证明 ?综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ?分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明的方法叫分 析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证 明原命题成立,这种证明方法叫反证法。



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