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数列专题一(递推数列通项公式求法)

数列专题一(递推数列通项公式求法)


数列专题一(递推数列通项公式的求法)
类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 1. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 1 , a n?1 ? an ? 2 ,求 a n 。 2 n ?n

2.已知数列,且 a1=2,an+1=an+n,求 an.

类型 2

a n ?1 ? f (n)a n

解法:把原递推公式转化为 3.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

a n ?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

2 n , a n ?1 ? a n ,求 a n 。 3 n ?1

4.已知 a1 ? 3 , a n?1 ?

3n ? 1 an (n ? 1) ,求 a n 。 3n ? 2

1

类型 3

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 法转化为等比数列求解。 5.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 3 ,求 a n .

q ,再利用换元 1? p

6.(2006,重庆,文,14) 在数列 ? an ? 中,若 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________

类型 4

n an?1 ? pan ? q n (其中 p, q 均为常数, 。 (或 an ?1 ? pan ? rq , ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

其中 p,q, r 均为常数) 。 解法: 一般地, 要先在原递推公式两边同除以 q
n ?1

, 得:

a n?1 p a n 1 ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ? (其 q n?1 q q n q

中 bn ?

an p 1 ) ,得: bn ?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q

7.已知数列 ?a n ?中, a1 ?

5 1 1 n?1 , an?1 ? an ? ( ) ,求 a n 。 6 3 2

2

类型 5 递推公式为 an? 2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 (待定系数法):先把原递推公式转化为 an ? 2 ? sa n?1 ? t (an ?1 ? sa n ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p (待定系数——迭加法): ?st ? ?q

8.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an? 2 ?

2 1 an?1 ? an ,求 a n 。 3 3

类型 6 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f (an ) ) 解法: 这种类型一般利用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

S n (n ? 2) 或与 S n ? f ( S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 a n 进行求解。
9.已知数列 ?a n ?前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.

(1)求 an?1 与 a n 的关系; (2)求通项公式 a n .

类型 7 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 、 0,a ? 0) 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 与已知递推式比较,解出 x, y ,从而转化为 ?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。 10.设数列 ?a n ?: a1 ? 4, a n ? 3a n ?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 a n .

3

类型 8

a n?1 ?

f ( n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 g ( n) a n ? h( n)

an?1 ? pan ? q 。
例:已知数列{an}满足: a n ?

a n?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? a n?1 ? 1

4



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