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1-3 逻辑联结词与量词(共50张PPT)

1-3 逻辑联结词与量词(共50张PPT)


高考调研

新课标版 · 高三数学(理)

第 3 课时

逻辑联结词与量词

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2014?考纲下载

1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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请注意!

本节也是高考的热点内容, 尤其是逻辑联结词和含有量词命 题的否定是重点,多以选择题形式出现,属基础题.

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1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断
p q p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真

真 真 假 假

真 假 真 假

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2.全 称 量 词 和 存 在 量 词 1 ( ) 全 称 量 词 有 : 存 在 量 词 有 :

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一切 ,每一个,任给 , 用 符 号 有些,有一个, 对某个 , 用 符 号

“? ”表 示 . “ ? ”表 示 .

2 ( ) 含 有 全 称 量 词 的 命 题 , 叫 做 一 个 x,有 p(x)成 立 ”可 用 符 号 简 记 为 : “ 对任意x属于M,有p(x)成立 ”. 3 ( ) 含 有 存 在 量 词 的 命 题 , 叫 做 特 称 命 题 在M中 的 元 素

全称命题 ;“对 M 中 任 意 ?x∈M,p(x)
, 读 作 :

(存 在 性 命 题

);“存

x0 , 使 p(x0)成 立 ”可 用 符 号 简 记 为 :

?x0∈M,p(x0) ,

读 作 : “ 存在M中的元素x0,使p(x0)成立 ”.
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3.含有一个量词的命题的否定

命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0)

命题的否定 ?x0∈M,綈p(x0) ?x∈M,綈p(x)

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1.(课 本 习 题 改 编 是偶数.

)已知命题 p:若 a,b 都 是 偶 数 , 则

a+b

命题 p 的否命题为____________________________; 命题 p 的否定形式綈 p 为_______________________.
答案 否命题:若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数

否定形式:若 a,b 都是偶数,则 a+b 不是偶数

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2. 若 “綈(p∨q)”为 假 命 题 , 则

(

)

A.p,q 均 为 真 命 题 B.p,q 均 为 假 命 题 C.p,q 中 至 少 有 一 个 为 真 命 题 D.p,q 中 至 多 有 一 个 为 真 命 题

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答案

C

解析 綈(p∨q)为假命题,则 p∨q 为真命题,所以,根据

真值表,故选 C.

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3.2 ( 0 1 3 ·

重庆)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为 ( )

A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0
答案 D

解析

全称命题的否定是特称命题.“对任意 x∈R,都有 “存在 x0∈R,使得 x2 0<0”,故选 D.
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x2≥0”的 否 定 为

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4. 下 列 命 题 中 是 假 命 题 的 是 π A.?x∈(0,2),x> n i s x

(

)

B.?x0∈R,n i s x0+c o s x0=2 C.?x∈R,3x>0 D.?x0∈R,lgx0=0
答案 B

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解析 对于 A, 结 合 三 角 函 数 线 , 易 知 当 n i s x<x , 因 此 A正 确 ; 对 于 B, 注 意 到

π x∈(0,2)时,有 π x+4)≤ 2

n i s x+c o s x= 2s n ( i

<2,因此不存在 x0∈R,使得 n i s x0+c o s x0=2,B 不 正 确 ; 对 于 C,易知 3x>0,因此 C 正 确 ; 对 于 正确.综上所述,选 B. D, 注 意 到 g 1 l =0,因此 D

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5. 下 列 四 个 命 题 :

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①命题“若 a = 0 ,则 a b = 0”的 否 命 题 是 a b ≠0”; ②若 命 题

“a = 0 ,则

p:?x∈R,x2+x+1 < 0 ,则綈 p:?x∈R,x2+x

+1≥0; ③若 命 题 “綈 p”与 命 题 “p 或 q”都 是 真 命 题 , 则 命 题 q

一 定 是 真 命 题 ;
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④命 题 “若 0 < a<1, 则 o g l 其 中 正 确 命 题 的 序 号 是 都 填 上 )
答案 ②③

< o ) g l a(a+1

1 命 题 . a(1+ )是 a 真

_ _ _ _ _ _ _ _

.(把 所 有 正 确 命 题 的 序 号

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解 析 ①错 ; 易 知

对 于 ①, 原 命 题 的 否 命 题 是 ②正 确 ; 对 于

“若 a≠0, 则 a b ≠0”, p

③, 命 题 “綈 p”是 真 命 题 , 则 命 题

是 假 命 题 , 又 命 题 ③正 确 ; 对 于 o g l o ) g l a(1+a>

“p 或 q”为 真 命 题 , 则 命 题

q一 定 是 真 命 题 ,

1 1 1 ④, 若 0 < a<1, 则 a>1,∴a<a,∴1+a<a+1,∴ 1 . a( +1 a ) ,④错

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例1 后 判 断 其 真 假 .

指 出 下 列 命 题 的 构 成 形 式 , 并 对 该 命 题 进 行 分 解 , 然

1 ( ) 矩 形 的 对 角 线 相 等 且 垂 直 ; 2 3 ( ) 3 1 ( ) 0 4 1 ( ) 0 5 2 ( ) 6 2 ( ) ≥3; 是2或5的 倍 数 ; 是2和5的 倍 数 ; 是4和6的 约 数 ; 是4和6的 公 约 数 .
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【 解 析 】 线 相 等 ,

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1 ( ) 是“p∧q”形 式 的 命 题 . 其 中

p: 矩 形 的 对 角

q: 矩 形 的 对 角 线 垂 直 . 该 命 题 为 假 命 题 . 其中 p:3 > 3 ,q:3 =3 . 该命题

2 ( ) 是“p∨q”形 式 的 命 题 . 是 真 命 题 . 3 ( ) 是“p∨q”形 式 的 命 题 . 其 中 是5的 倍 数 . 该 命 题 是 真 命 题 . 4 ( ) 是“p∧q”形 式 的 命 题 . 其 中 是5的 倍 数 . 该 命 题 是 真 命 题 .

p:1 0 是2的 倍 数 ,

q:1 0

p:1 0 是2的 倍 数 ,

q:1 0

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5 ( ) 是“p∧q”形 式 的 命 题 . 其 中 6 的约数.该命题是真命题. 6 ( ) 既不是“p∨q”, 也 不 是 题 , 这 个 命 题 的 等 价 命 题 是 : 义 , 该 命 题 是 : 给 出 命题是真命题.

p:2 是 4 的约数,q:2 是

“p∧q”命 题 , 是 一 个 简 单 命

4 和 6 的公约数是 2.按公约数的定 4 和 6,2 是它们的公约数,即给出判断.该

【答案】 1 ( ) 假 2 ( ) 真 3 ( ) 真 4 ( ) 真 5 ( ) 真 6 ( ) 真

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探究 1 判断一个复合命题的真假往往用真值表,一般先确 定复合命题的构成形式, 然后根据简单命题的真假和真值表得出 结论. 在判断复合命题的真假, 应记住: p 且 q 形式是“一假必假, 全真才真”,p 或 q 形式是“一 真 必 真 , 全 假 才 假 “与 p 的真假相反”. ”,非 p 则是

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思考题 1 (课 本 习 题 改 编

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)分 别 写 出 由 下 列 各 组 命 题 构 成 判 断 其 真

的“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形 式 的 复 合 命 题 , 并

假 . 1 ( ) p: 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 , q: 菱 形 的 对 角 线 相 等 ;

2 ( ) p:a∈{a,b,c},q:{a} {a,b,c}; 3 ( ) p: 不 等 式 +2≤1 的 解 集 为 ?. x2+2x+2 > 1 的 解 集 是 R,q: 不 等 式 x2+2x

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【解析】 1 ( ) p∨q: 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 或 相 等 , 为 真 命 题 . p∧q: 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 且 相 等 , 为 假 命 题 . 綈 p: 菱 形 的 对 角 线 不 垂 直 , 为 假 命 题 .

2 ( ) p∨q:a∈{a,b,c}或{a} {a,b,c}, 为 真 命 题 . p∧q:a∈{a,b,c}且{a} {a,b,c}, 为 真 命 题 . 綈 p:a?{a,b,c}, 为 假 命 题 .

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3 ( ) p∨q: 不 等 式 的 解 集 为 ?, 为 假 命 题 .

x2+2x+2 > 1

的 解 集 为

R 或 x2+2x+2≤1

p∧q: 不 等 式 解 集 为 ?, 为 假 命 题 . 綈 p: 不 等 式

x2+2x+2 > 1

的 解 集 为

R 且 x2+2x+2≤1 的

x2+2x+2 > 1

的 解 集 不 是

R, 为 真 命 题 .

【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) 略 3 ( ) 略

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例2 试 判 断 以 下 命 题 的 真 假 1 ( ) ?x∈R,x2+2>0; 2 ( ) ?x∈N,x4≥1; 3 ( ) ?x∈Z,x3<1; 4 ( ) ?x∈Q,x2=3; 5 ( ) ?x∈R,x2-3x+2>0; 6 ( ) ?x∈R,x2+1=0 .



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【 解 析 】 1 ( ) 由 于 ?x∈R, 都 有

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x2≥0, 因 而 有

x2+2≥2>

0, 即 x2+2>0 .所 以 命 题

“?x∈R,x2+2>0”是 真 命 题 . “?x

2 ( ) 由 于 0∈N, 当 x =0 时 , x4≥1 不 成 立 , 所 以 命 题 ∈N,x4≥1”是 假 命 题 . 3 ( ) 由 于 - 1∈Z,当 x= - 1时 , 能 使 ∈Z,x3<1”是 真 命 题 . 4 ( ) 由 于 使 x2=3 成 立 的 数 只 有 ± 3, 而 它 们 都 不 是 有 理 数 . 因 3, 所 以 命 题 x3<1, 所 以 命 题

“?x

此 , 没 有 任 何 一 个 有 理 数 的 平 方 能 等 于 x 2 = 3 ”是 假 命 题 .
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“?x∈Q,

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5 ( ) 假 命 题 , 因 为 只 有 6 ( ) 假 命 题 , 因 为 不 存 在 一 个 实 数

x>2 或 x<1 时满足. x 使 x2+1=0 成立.

【答案】 1 ( ) 真 2 ( ) 假 3 ( ) 真 4 ( ) 假 5 ( ) 假 6 ( ) 假

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探究 2 1 ( ) 含 有 一 个 量 词 的 命 题 的 真 假 判 断 是 高 考 考 查 逻 辑知识的一个重要考点, 解答这类试题的关键是正确理解全称命 题和特称命题的含义, 根据相关的知识作出正确的推理论证或者 通过列举反例推翻命题.

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(2)要 判 定 一 个 全 称 命 题 是 真 命 题 , 必 须 对 限 定 集 合 每 个 元 素 举 出 集 合 x验 证 p( x ) 成 立 ; 但 要 判 定 全 称 命 题 是 假 命 题 , 只 要 能 M中 的 一 个 x=x0, 使 得 ”). p(x0)不 成 立 即 可

M中 的

(这 就 是 通 常

所 说 的 “举 出 一 个 反 例

要 判 定 一 个 特 称 命 题 是 真 命 题 , 只 要 在 限 定 集 合 少 能 找 到 一 个 是 假 命 题 . x=x0,使 p(x0)成 立 即 可 ; 否 则 , 这 一 特 称 命 题 就

M 中 , 至

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思 考 题 是( )

2

若 函 数

a f(x)=x +x(a∈R), 则 下 列 结 论 正 确 的
2

A.?a∈R,f(x)在(0, + ∞) 内 是 增 函 数 B.?a∈R,f(x)在(0, + ∞)内 是 减 函 数 C.?a∈R,f(x)是 偶 函 数 D.?a∈R,f(x)是 奇 函 数

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【解析】

2x3-a a f′(x) = 2x - x2 ,令 f′(x> ) 0 ,得 x2 > 0 . 即 a=0 时 , f(x)=x2 是 偶 函 数 ,

3 a x> 2,∵a∈R, 故 A,B 错 . 当 故C正 确 , D显 然 错 误 .
【答案】 C

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例 3 写出下列命题的否定,并判断命题否定的真假. 1 ( ) p1:?x∈{x|x 是 无 理 数 2 ( ) p2: 至 少 有 一 个 整 数 , 它 既 能 被 3 ( ) p3:?x∈{x|x∈Z},o g l 0 . 2 x> },x2 是无理数; 2 整除,又能被 5 整除;

【解析】 1 ( ) 綈 p1:?x∈{x|x 是无理数},x2 不是无理数,

是真命题.
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2 ( ) 綈 p2: 所 有 的 整 数 , 都 不 能 被

2整 除 或 不 能 被

5整 除 ,

是 假 命 题 . 3 ( ) 綈 p3:?x∈{x|x∈Z},o g l 是 假 命 题 . 2 x ≤0 ,

【答案】 1 ( ) 真 2 ( ) 假 3 ( ) 假

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探究 3 1 ( ) 弄 清 命 题 是 全 称 命 题 还 是 特 称 命 题 是 写 出 命 题 否 定 的 前 提 . 2 ( ) 注 意 命 题 所 含 的 量 词 , 没 有 量 词 的 要 结 合 命 题 的 含 义 加 上 量 词 , 再 进 行 否 定 . 3 ( ) 要 判 断 “綈 p”命 题 的 真 假 , 可 以 直 接 判 断 , 也 可 以 判 断

“ p” 的 真 假 ,

p 与綈 p 的 真 假 相 反 .

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4 ( ) 常 见 词 语 的 否 定 形 式 有 : 原 语 句 否 定 形 式 是 都 是 > 至 少 有 一 个 一 个 也 没 有 至 多 有 一 个 至 少 有 两 个 对 任 意 x∈A 使

p(x)真 存 在 x0 ∈A 使 p(x0)假

不 是

不 都 是



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思 考 题 是 偶 数 集 . 若 命 题 3 2 ( 0 1 3 ·

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四 川 )设 x∈Z, 集 合

A是 奇 数 集 , 集 合 )

B

p:?x∈A,2x∈B, 则(

A.綈 p:?x∈A,2x?B

B.綈 p:?x?A,2x?B

C.綈 p:?x?A,2x∈B

D.綈 p:?x∈A,2x?B
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【解析】 因全称命题的否定是特称命题,故命题的否定为 綈 p:?x∈A,2x?B.故选 D.
【答案】 D

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例 4 已知命题 p:“?x∈2 1 ] [ , ∈R,x2 若 命 题 0+2ax0+2-a=0”, a 的取值范围.

,x2-a≥0”命题 q:“?x0 “p∧q”是 真 命 题 , 求 实 数

【思路】 1 ( ) 已 知 的 两 个 命 题 是 全 称 命 题 和 特 称 命 题 . 2 ( ) 根据“p∧q”是真命题来确定 a 的 不 等 式 , 从 而 求 出 的取值范围. a

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【 解 析 】 命 题 , 若

由“p∧q”是 真 命 题 , 则 a≤x2 恒 成 立 ,

p为 真 命 题 , ∵x∈2 1 ] [ ,

q也 为 真 ,

p为 真 命 题 ,

,∴x2∈4 1 ] [ ,

∴a≤1 .若q为 真 命 题 , 即

x2+2ax+2-a=0 有 实 根 ,

Δ=4a2-

4 2 ( -a)≥0, 即 a≥1 或 a≤-2, 综 上 所 求 实 数 a≤-2 或 a=1 .
【答案】 a≤-2 或 a=1

a的 取 值 范 围 为

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探究 4 1 ( ) 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一 个或两个)命 题 的 真 假 , 求 出 此 时 参 数 成 立 的 条 件 , 再 求 出 含 逻 辑联结词的命题成立的条件. 2 ( ) 对 全 称 命 题 可 转 化 为 恒 成 立 问 题 .

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思考题 4

已知两个命题 r(x):n i s x+c o s x>m,s(x):x2+

mx+1>0.如果对?x∈R,r(x)∧s(x)为 假 , r(x)∨s(x)为 真 , 求 实 数 m 的取值范围.

【思路】 由题意可知,r(x)与 s(x)有且只有一个是真命题, 所以可先求出对?x∈R 时,r(x),s(x)都 是 真 命 题 时 再按要求分情况讨论出所求 m 的范围. m 的范围,

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【 解 析 】 ∵n i s x+c o s x= 2s n ( i m< - 2.

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π x+4)≥- 2, x2+mx+1>0 恒 成 立 ,

∴当 r(x)是 真 命 题 时 ,

又∵对?x∈R,s(x)为 真 命 题 , 即 有 Δ=m2-4<0,∴-2<m<2. ∴当 r(x)为 真 , s(x)为 假 时 , m< - 即 m≤-2 .

2, 同 时

m≤-2 或 m≥2,

当 r( x) 为 假 , s( x) 为 真 时 , m≥- 2且 - 2<m<2, 即 - <2 . 综 上 , 实 数
【答案】

2≤m

m的 取 值 范 围 是

m≤-2 或 -

2≤m<2 .

m≤-2 或- 2≤m<2
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1.命 题 的 否 定 与 否 命 题 的 区 别 : 否 命 题 是 既 否 定 其 条 件 , 又 否 定 结 论 ; 而 命 题 p, 是 只 否 结 论 不 否 条 件 . 2. 命 题 的 否 定 与 原 命 题 的 真 假 总 是 相 对 立 的 , 即 一 真 一 假 ; 而 否 命 题 与 原 命 题 的 真 假 无 必 然 联 系 . 3. 含 一 个 量 词 的 命 题 的 否 定 , 既 要 否 定 量 词 , 又 要 否 定 结 论 .
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p的 否 定 即 非

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1.2 ( 0 1 4 ·

衡 水 调 研

)命题“?x∈R,x3>0”的否定是( B.?x∈R,x3≤0 D.?x∈R,x3>0

)

A.?x∈R,x3≤0 C.?x∈R,x3<0
答案 B

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2. 2 ( 0 1 · 辽宁)已 知 命 题

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p: ?n∈N,2n> 0 1 0 0

, 则綈 p 为(

)

A.?n∈N,2n≤0 1 0 0 C.?n∈N,2n≤0 1 0 0
答案 A

B.?n∈N,2n> 0 1 0 0 D.?n∈N,2n< 0 1 0 0

解析 特称命题的否定是全称命题.即 p:?x∈M,p(x), 则綈 p:?x∈M,綈 p(x).故选 A.

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3.2 ( 0 1 4 · 定是( )

东 北 三 校 联 考

)命题“?x>0, 都 有

x2-x≤0”的否

A.?x>0,使得 x2-x≤0 B.?x>0,使得 x2-x>0 C.?x>0,都有 x2-x>0 D.?x≤0,都有 x2-x>0
答案 B

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4. 已 知
答案

1 p:2 >0, 则綈 p 对应的 x 的集合为_________. x -x-2
{x|-1≤x≤2}

解 析

1 p: 2 >0?x>2 或 x<-1, x -x-2

∴ 綈 p: - 1≤x≤2 .

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5. 设 命 题 面 四 个 复 合 命 题 : 1 1 p:若 a>b,则a<b; 命 题

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1 q:a b< 0 . b <0?a

给 出 下

①p∨q;②p∧q;③(綈 p)∧(綈 q);④(綈 p)

∨(綈 q). 其 中 真 命 题 的 个 数 有
答案 解析 2

_ _ _ _ _ _ _ _

个 .

p 假,q 真,故①④真.

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