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高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性


高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性 【知识点精析】
1. 函数的单调性: 定义法、求导法 注: (1)单调性是函数的区间性质,若一个函数在其整个定义域内(是一个区间)都 是增函数(减函数)则称这个函数为单调函数。 (2)一次函数是单调函数,二次函数不是单调函数,但以对准轴为界,对应两个单调 区间,指、对数函数是单调函数;三角函数不是单调函数。 (3)奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致,如奇函数 y ? x 单调性相反。 (3)复合函数的单调性遵循“同增,异减”的规律。 (4)对于可导函数 y ? f (x) ,若在独立区间 D 上, f ?(x) ? 0 ,则 f (x) 是 D 上的增 函数, f ?( x) ? 0 ,则为减函数。 2. 函数的奇偶性:定义 注: (1)由定义可知,函数定义域在 x 轴上反映出具有关于原点对称的特征,这是函数 具有奇偶性的必要条件,也即不是这一特征,不说函数的奇偶性。 当然,既然有奇函数,偶函数,也就有非奇非偶函数,那么是否有既是奇函数又是偶函 数呢?有,如 f ( x) ? 0 , x ? D 是常函数,则只要 D 关于原点对称即是既奇又偶函数。 (2)函数的奇偶性,从其图象上反映出来的特征其实是它的对称性,奇函数图象关于 原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称,且条件具有充要性。这一图象特征,又可延伸到《解 析几何》的研究方法上。 (3)对于奇函数 y ? f (x) ,若 0 ? D ,则必有 f (0) ? 0 。 (4)在初等函数中,一次函数 y ? kx ? b 只可能是奇函数,但要求 b ? 0 ,二次函数
3

在(0, ? ? ) ? 同时在( ? ?,0 ) ? ,偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的

y ? ax 2 ? bx ? c 只可能是偶函数,但也要 b ? 0 (对称轴是 y 轴) ,指数、对数函数是不具
有奇偶性的,三角函数具有奇偶性。 (5)在公共定义域内,两个同奇偶的函数之和、差、积、商不改变其奇偶性,一奇一 偶的积、商为奇函数,这一点类似符号法则(视奇为“-”偶为“+”。 ) (6)判断函数 y ? f (x) 的奇偶性的方法(除定义法外还有以下)

f ( x) ? f ( ? x ) ? 0 或

f ( x) ? ?1(奇函数) f (?x)

f ( x) ? f ( ? x) ? 0 或

f ( x) ? 1(偶函数) f (?x)

3. 函数的周期性:对于函数 y ? f (x) ,若存在一个常数 T( T ? 0 )使得对于定义域中 的任意 x 值,都有 f (T ? x) ? f ( x) 成立,则称 T 是 f (x) 的周期。 周期性也是函数的一个整体性质, 这点在三角函数中有充分的表现, 在高数中常以抽象 函数的形式出现,其图象特征便是规律性再现。 注: (1)抽象函数的周期表现,对于函数 y ? f (x) ,若 f ( x ? a) ? f ( x ? b)(a ? b)

? f (x) 是周期函数,且 T ? a ? b ,若 f ( x ? a) ? ? f ( x ? b)(a ? b) ? f ( x) 是周期函数,
且 T ? 2(a ? b)

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(2) 从函数图象上分析, 定义在 R 的一个函数, 如果图象有两条对称轴, ? m 与 x ? n x (m? n) ,则它必有无数对称轴,且它是周期函数, T ? 2(m ? n) ,如果其图象有一个对 称中心, 一条对称轴, 则它必有无数的对称中心与对称轴, 且它是周期函数,T ? 4(m ? n) 。 (3)若 T 是 f (x) 的周期,则 kT ( k ? 0, k ? Z )亦为 f (x) 的周期,一般我们尽可能 选择正数,较小的数作其周期(即最小正周期) 。 【相关习题】 2 1. 已知函数 f(x)=2x -mx+3, x ? ? ?2, ?? ? 时是增函数, x ? ? ??, ?2 ? 时是减函数, f(1) 当 当 则 等于 ( ) A.-3 B.13 C.7 D.含有 m 的变量 2.函数 f ( x ) ?
1? x ? x ?1
2

是(

) D. 奇函数
2

1? x ? x ?1
2

A. 非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C. 偶函数 3.已知函数(1) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 , (2) f ( x ) ? (4) f ( x ) ?

x ? 1 ? 1 ? x ,(3) f ( x ) ? 3 x ? 3 x

?0( x ? Q ) ? ,其中是偶函数的有( ?1( x ? C R Q )

)个

A.1 B.2 C.3 D.4 4.奇函数 y=f(x) x≠0) ( ,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1, 则函数 f(x-1)的图象为 ( )

5.函数

f ( x ) ? ?2 x ? 4tx ? t 在区间[0, 1]上的最大值 g(t)=
2
2


f (

6.已知 f(x)在区间 (0, ??) 上是减函数,则 f ( x ? x ? 1)

3 4

)

7.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x<0 时, f(x)是增函数,若 x1<0,x2>0,且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系是 .
x ? 2x ?
2

1 2 ,其中 x ? [1, ??) ,(1)试判断它的单调性;(2)试求它的最小值.

8. 已知 f ( x ) ?
x

9.已知函数 f ( x ) ?

2 a ?1 a

?

1 a x
2

,常数 a ? 0 。

(1)设 m ? n ? 0 ,证明:函数 f ( x ) 在 [m ,] 上单调递增; n (2)设 0 ? m ? n 且 f ( x ) 的定义域和值域都是 [m , ] ,求 n ? m 的最大值. n 10. 在集合 R 上的映射: f1 : x ? z ? x ? 1 ,
2

f 2 : z ? y ? 4( z ? 1) ? 1 .
2

(1)试求映射 f : x ? y 的解析式; (2)分别求函数 f1(x)和 f2(z)的单调区间;(3) 求函数 f(x)的单调区间.
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【高考题】 1.(广东卷文)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x

A. (??,2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??) 21 世纪教育网 )

2.(全国卷Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( (A) f ( x) 是偶函数 (B) f ( x) 是奇函数

(C) f ( x) ? f ( x ? 2) (D) f ( x ? 3) 是奇函数 a 3.(浙江文)若函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? R) ,则下列结论正确的是( ) x A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 21 B. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数 B. f (80) ? f (11) ? f (?25) 4.(山东)定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数, 则( ). A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

? x 2 ? 3x ? 4 5.(江西卷文)函数 y ? 的定义域为 x A. [?4, 1] B. [?4, 0) C. (0, 1]

D. [?4, 0) ? (0, 1]

6. ( 2009 江 西 卷 文 ) 已 知 函 数 f ( x) 是 (??, ??) 上 的 偶 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有

) 的值 f ( x ? 2) f ( x) ,且当 x ?[0, 2) 时, f ( x) ? log2 (x ? 1 ,则 f (?2008)? f (2009) ?
为 A. ?2 B. ?1 C.1 D. 2 7. 四川卷文) ( 已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都 有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 A. 0 B.

5 2

1 2

C. 1

D.

5 2

8.(湖南卷文)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f ( x) ? K , 1 ?x f K ( x) ? ? 取函数 f ( x) ? 2 。当 K = 时,则 f K ( x) 的增区间为【 】 2 ? K , f ( x) ? K .
A . (??,0) B. (0, ??) C . (??, ?1) D . (1, ??)

9. 辽宁卷文) ( 已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??) 单调增加, 则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取 值范围是( ) ( (A)

1 2 1 2 , ) (B) [ , ) 3 3 3 3

1 3 1 2 1 2 (C)( , ) (D) [ , ) 2 3 2 3

10.(陕西卷文)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ? [0, ??)( x1 ? x2 ) ,有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1

(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) (C) f (?2) ? f (1) ? f (3)
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(B) f (1) ? f (?2) ? f (3) (D) f (3) ? f (1) ? f (?2)

11.(2009 福建卷文)定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图 所示,则在 ? ?2, 0 ? 上,下列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 A. y ? x ? 1
2

B. y ?| x | ?1

? 2 x ? 1, x ? 0 C. y ? ? 3 ? x ? 1, x ? 0

?e x , x ? o ? D. y ? ? ? x ?e , x ? 0 ?
x

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1 3 2 13.(2009 江苏卷)函数 f ( x) ? x ? 15 x ? 33x ? 6 的单调减区间为
12.(2009 重庆卷理)若 f ( x) ?

. .

14.(江苏卷)已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? (??, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是

?

?

(c, ??) ,其中 c =

.

15.(江苏)设 a 为实数,函数 (1)若

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a) | x ? a | .
(2)求

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围;

f ( x) 的最小值;

(3)设函数 h( x) ? 16.设函数 f ( x) ?

f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解集. ....
1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3
(Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。21 世纪教 数,a>0,21 世纪教育网

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;

17.(2009 安徽卷文) 已知函 (Ⅰ) 讨论 (Ⅱ) a=3, 设 求 的单调性; 在区间{1,
3

}上值域。期中 e=2.71828…是自然对数的底数

18.(江西卷文)设函数 f ( x) ? x ?

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 19.(陕西卷文)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 1, a ? 0
3

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=my 与 y ?
的取值范围。
2

求 f ( x) 的图象有三个不同的交点, m

20. ( 重 庆 卷 文 ) 已 知 f ( x) ? x ? bx ? c 为 偶 函 数 , 曲 线 y ? f ( x) 过 点 ( 2 , 5 , )

g ( x) ? ( x ? a ) f ( x ) .
(Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间.

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