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线性代数期中试题

线性代数期中试题

广东商学院试题纸 2009—2010 学年度第 1 学期线性代数期中试题
一、填空题(每小题 3 分 ,共 30 分) 3 0 ?9 0 1、行列式 2 0 6 2 。 ? ?5 ?1 7 0 0 0 ?5 0

? 1 ? 1 1 ? 1? ? ? 2、 A = ? ? 1 2 1 ? 1 ? 的秩 r( A )= ??1 ? 3 1 1 ? ? ? ?1 0 3 ? 3? ? ?



? a 0 0? ? ? 3、 ? 0 b 0 ? ? ?0 0 c ? ? ?

5



2x ?x 1 2 3 x ?1 4、行列式 1 2 ?x 1 2 3
3 ?1 1 1 5、设 D ? ?2 7 0 2 2 1 5 6

3 2 中 x3 的系数为 1 x



4 1 ,则 A31 ? A32 ? A33 ? A34 ? 3 2



6、设 ?1 ? ( 1 ,0,0,0,2) 线性 。

,?2 ? (0,1,0,0, 2) ,?3 ? (0,0,1,0, 2) ,?4 ? (0,0,0,1, 2) ,则向量组 ?1 ,?2 ,?3 ,?4 ,

?1 ? 7、设矩阵 A 为 3 阶矩阵,且 A ? 2 ,则 4 A ? A ?



? 1 0 2? ? ? 8、设 A 为 4 ? 3 阶矩阵,且 r ( A) ? 2 ,而 B ? ? 0 2 0 ? ,则 r ( AB) ? ? ?1 0 3 ? ? ?



9、设实矩阵 A = (aij ) 3?3 ? 0,且 a11 ? 0, aij = Aij ( Aij 是 aij 的代数余子式) ,则 A =



10、 设向量 ?1 ? 2?1 ? ? 2 ? 7? 3 ,?2 ? ?1 ? ? 2 ? 3? 3 ,?3 ? ? ?1 ? 3? 2 ? 15? 3 ,?4 ? 4? 1 ? 11? 2 ? ? 3 , 则 ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性 。

3 5

二、选择题(每小题 3 分 ,共 15 分) 1、设 A 为方阵,则 A =0 的必要条件是( (A) 两行(列)元素成正比例 ; (C) 必有一行为其它行的线性组合; )。 (B)任一行为其它行的线性组合; (D)A 中至少有一行元素全为 0。
1

2、设非齐次线性方程组 A X =b, A X =0 为其导出组,下列结论正确的有( )。 (A) A X =0 仅有零解,则 A X =b 有唯一解; (B) A X =0 有非零解,则 A X =b 有无穷多解; (C) A X =b 有唯一解,则 A X =0 仍有可能有非零解; (D) A X =b 有无穷多解,则 A X =0 有非零解。
a11 a12 a13 3 a11 4 a11 ? a12 ? a13 3、列式 D ? a 21 a 22 a 23 ? M ? 0 ,而 D1 ? 3 a 21 4a 21 ? a 22 ? a 23 ,则 D1 ? ( a31 a32 a33 3 a 31 4a 31 ? a 32 ? a 33

)。

(A) 12 M ;

(B) ? 12 M ;

(C) ? 3M ; )。

(D) 3M 。

4、设 A, B 均为 n 阶方阵, A ? o ,且 AB ? o , 则 ( (A) B ? o ; (B) BA ? o ;

(C) ( A ? B)2 ? A2 ? B2 ;

(D) B ? 0 或 A ? 0 。 )。

5、设 A 为 m?n 阶矩阵, 则齐次线性方程组 AX ? 0 只有零解的充要条件是( (A) A 的列向量组线性无关; (B) A 的列向量组线性相关; (C) A 的行向量组线性无关; (D) A 的行向量组线性相关。 三、计算题(每小题 8 分 ,共 32 分)

1? x 1 1 1 1? x 1 1 。 1、计算行列式 1 1 1 1? y 1 1 1 1 1? y

?3 ? 4 5 ? ? ? ?1 2、求矩阵 A ? ? 2 ? 3 1 ? 的逆矩阵 A 。 ? 3 ? 5 ? 1? ? ?
3、 已知向量组 ?1 ? (1, ? 1, 2, 4) , 试求 ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ? 2 ? (0, 3, 1, 2) , ? 4 ? (1, ? 2, 2, 0) , ? 3 ? (3, 0, 7, 14) , 的一个极大无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。

?1 1 1? ? ? 4、求矩阵 A ? ? 1 1 1 ? 的特征值及其特征向量。 ?1 1 1? ? ?
四、综合应用题(每小题 9 分,共 18 分) 1、试讨论下列非齐次线性方程组解的情况,若有解,求出其解:

??2 x1 ? x2 ? x3 ? ?2 ? ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? ? ? x ? x ? 2x ? ? 2 3 ? 1 2

? ?1 0 2 ? ? ? T 2、已知矩阵 A = 0 1 2 求正交矩阵 Q ,使 Q AQ 为对角矩阵。 ? ? ? 2 2 0? ? ?
五、证明题(每小题 5 分,共 5 分) 如果向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关,试证:向量组 ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 , ?1 ? ?3 线性无关。
2

附加题: (主要是第四章的内容) 1、已知 n 阶方阵 A 满足关系式 A ? 2 A ? 3E =0,证明 A 是可逆矩阵,并求 A 的逆矩阵。
2

2、设 ? ? (1,0, ?2,5) , ? ? (?3,1,0, 2) , ,则 (? , ? ) =
n



3、设 ? ? (1,?1,2), ? ? (?1,1,1) ,A = E ? ? T ? ,则 A =_______________. 4、设三阶实对称矩阵 A 有三个不同的特征值 ?1, ?2 , ?3 ,且 ?1, ?2 所对应的特征向量分别为 ?1 ? (1, a,1)T ,

?2 ? (a, a ?1,1)T ,则 ?3 所对应的特征向量 ? 3 =________________.
5、已知三阶矩阵 A 的特征值为 0, ? 1 ,则下列结论中不正确的是( )。 (A) 矩阵 A 是不可逆的. (B)矩阵 A 的主对角元素之和为 0. (C) 1 和-1 所对应的特征向量是正交的. (D) Ax=0 的基础解系由一个向量组成. )。 6、已知可逆矩阵 A 的一个特征值为 ? ,则 (2 A) ?1 的特征值为(

1 ; (B) 2? ; 2? 7、若 A ~ B ,则有( )。
(A) (A) ?E ? A ? ?E ? B ;

(C)

2

?



(D)

? 。 2


(B) A ? B

(C)对于 ? ,矩阵 A 与 B 有相同的特征向量 ;
4

(D)A 与 B 均与一个对角矩阵相似。

8、 已知 R 三维向量空间中两个向量 ?1 ? (1,1,1,1)T ,?2 ? (1, ?2,1,0)T , 试求与向量 ?1 , ?2 正交的所有的向量。 9、设矩阵 A ? ? 1 1 0 ? 满足 XA ? A ? X , 求矩阵 X 10、设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 3,已知 ?1 ,

? 3 2 3? ? 0 2 3? ? ?

? 2 , ? 3 是它的 3 个解向量,且 ?1 ? (2, 3, 4, 5)T ,

? 2 ? ?3 ? (1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解。
11、设 ?1 ? (a, 2,10)T , ?2 ? (?1,1, 4)T , ?3 ? (?2,1,5)T , ? ? (1, b, c)T ,问: (1) ?1 , ? 2 , ? 3 什么时候线性相关? (2) ? 什么时候可由 ?1 , ? 2 , ? 3 唯一线性表示?表示法不唯一?

? a 1 0? ?0 0 0? ? ? ? ? 12、已知矩阵 A = ? 1 1 0 ? 与 B = ? 0 3 0 ? 相似 ? 0 0 3? ?0 0 b? ? ? ? ?
(1)求 a , b 的值 (2)求正交矩阵 Q ,使 Q AQ 为对角矩阵。
T

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