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2019-2020年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质1课时训练含解析新人教A版必修

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质1课时训练含解析新人教A版必修

2019-2020 年高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数余弦函数的性质 1 课时训练含解析新人教 A 版必修
课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求 f(x)=Asin(ω x+φ )及 y =Acos(ω x+φ )的周期.3.掌握 y=sin x,y=cos x 的周期性及奇偶性.
1.函数的周期性 (1)对于函数 f(x),如果存在一个______________,使得当 x 取定义域内的____________时, 都有____________,那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的__________________. 2.正弦函数、余弦函数的周期性 由 sin(x+2kπ )=________,cos(x+2kπ )=________知 y=sin x 与 y=cos x 都是______ 函数,____________________都是它们的周期,且它们的最小正周期都是________. 3.正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数 y=sin x 与余弦函数 y=cos x 的定义域都是______,定义域关于________对 称. (2)由 sin(-x)=________知正弦函数 y=sin x 是 R 上的______函数,它的图象关于______ 对称. (3)由 cos(-x)=________知余弦函数 y=cos x 是 R 上的______函数,它的图象关于______ 对称.

一、选择题

1.函数 f(x)= 3sin(x2-π4 ),x∈R 的最小正周期为(

)

A.π2

B.π

C.2π

D.4π

2.函数 f(x)=sin(ω x+π6 )的最小正周期为π5 ,其中 ω >0,则 ω 等于(

)

A.5

B.10

C.15

D.20

3.设函数 f(x)=sin???2x-π2 ???,x∈R,则 f(x)是( )
A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数

C.最小正周期为π2 的奇函数

D.最小正周期为π2 的偶函数

4.下列函数中,不是周期函数的是( )

A.y=|cos x|

B.y=cos|x|

C.y=|sin x|

D.y=sin|x|

5.定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 π ,且当 x

∈???-π2 ,0???时,f(x)=sin x,则 f???-5π3 ???的值为(

)

A.-12

B.12

C.-

3 2

D.

3 2

6.函数 y=cos(sin x)的最小正周期是( )

A.π2

B.π

C.2π

D.4π

题号

1

2

3

4

5

6

答案

二、填空题

7.函数 f(x)=sin(2π x+π4 )的最小正周期是________.

8.函数 y=sin???ω x+π4 ???的最小正周期是23π ,则 ω =______. 9.若 f(x)是 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=sin x,则 f(x)的解析式是______________.

10.关于 x 的函数 f(x)=sin(x+φ )有以下命题: ①对任意的 φ ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 φ ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 φ ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 φ ,f(x)都不是偶函数. 其中的假命题的序号是________.

三、解答题

11.判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=cos???π2 +2x???cos(π +x);

(2)f(x)= 1+sin x+

(3)f(x)=eessiinn

+e x

-sin

-e x

-sin

x
x.

1-sin x;

12.已知 f(x)是以 π 为周期的偶函数,且 x∈[0,π2 ]时,f(x)=1-sin x,求当 x∈[52π , 3π ]时 f(x)的解析式.

能力提升 13.欲使函数 y=Asin ω x(A>0,ω >0)在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值,则 ω 的最 小值是________.
14.判断函数 f(x)=ln(sin x+ 1+sin2x)的奇偶性.

1.求函数的最小正周期的常用方法: (1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推出使 f(x+ T)=f(x)成立的 T. (2)图象法,即作出 y=f(x)的图象,观察图象可求出 T.如 y=|sin x|. (3)结论法,一般地,函数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A、ω 、φ 为常数,A≠0,ω >0,x∈R) 的周期 T=2π .
ω 2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则,即先求定义域,看它是否关于原点对称.

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

答案

知识梳理

1.(1)非零常数 T 每一个值 f(x+T)=f(x) (2)最小正周期

2.sin x cos x 周期 2kπ (k∈Z 且 k≠0) 2π 3.(1)R 原点 (2)-sin x 奇 原点 (3)cos x 偶 y 轴

作业设计

1.D 2.B

3.B [∵sin???2x-π2 ???=-sin???π2 -2x???=-cos 2x, ∴f(x)=-cos 2x.
又 f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),

∴f(x)的最小正周期为 π 的偶函数.] 4.D [画出 y=sin|x|的图象,易知.]

5.D

[f???-5π3

???=f???π3 ???=-f???-π3 ???=-sin???-π3 ???=sin

π 3



3 2 .]

6.B [cos[sin(x+π )]=cos(-sin x)=cos(sin x).

∴T=π .]

7.1

8.±3

解析 |2ωπ|=23π ,∴|ω |=3,∴ω =±3.

9.f(x)=sin|x|

解析 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=sin(-x)=-sin x, ∵f(-x)=f(x),∴x<0 时,f(x)=-sin x. ∴f(x)=sin|x|,x∈R. 10.①④

解析 易知②③成立,令 φ =π2 ,f(x)=cos x 是偶函数,①④都不成立.

11.解 (1)x∈R,f(x)=cos???π2 +2x???cos(π +x)=-sin 2x·(-cos x)=sin 2xcos x. ∴f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin 2xcos x=-f(x). ∴y=f(x)是奇函数. (2)对任意 x∈R,-1≤sin x≤1, ∴1+sin x≥0,1-sin x≥0.

∴f(x)= 1+sin x+ 1-sin x定义域为 R.

∵f(-x)= 1+ -x + 1- -x = 1+sin x+

∴y=f(x)是偶函数.

(3)∵esin

-e x

-sin

x≠0,∴sin

x≠0,

∴x∈R 且 x≠kπ ,k∈Z.

∴定义域关于原点对称.

又∵f(-x)=ee

-x +e- -x -e-

-x -x

e-sin =e-sin

x+esin x-esin

x
x=-f(x),

1-sin x=f(x),

∴该函数是奇函数. 12.解 x∈[52π ,3π ]时,3π -x∈[0,π2 ],

∵x∈[0,π2 ]时,f(x)=1-sin x,

∴f(3π -x)=1-sin(3π -x)=1-sin x. 又∵f(x)是以 π 为周期的偶函数, ∴f(3π -x)=f(-x)=f(x), ∴f(x)的解析式为 f(x)=1-sin x,x∈[52π ,3π ].

13.1299π 解析 要使 y 在闭区间[0,1]上至少出现 50 个最小值, 则 y 在[0,1]上至少含 49 34个周期,

??

3 4

T≤1

即???T=2ωπ

199 ,解得 ω ≥ 2 π .

14.解 ∵sin x+ 1+sin2x≥sin x+1≥0, 若两处等号同时取到,则 sin x=0 且 sin x=-1 矛盾, ∴对 x∈R 都有 sin x+ 1+sin2x>0. ∵f(-x)=ln(-sin x+ 1+sin2x) =ln( 1+sin2x-sin x) =ln( 1+sin2x+sin x)-1 =-ln(sin x+ 1+sin2 x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.


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