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高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线3.3.2双曲线的简单性质课后训练案巩固提升含解析北师大版选修

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线3.3.2双曲线的简单性质课后训练案巩固提升含解析北师大版选修

3.2 双曲线的简单性质
课后训练案巩固提升 A组

1.已知双曲线

=1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )

A.

B.

C.

D.

解析:∵c=3,a2+5=9,∴a=2.故 e= . 答案:C

2.设双曲线 A.4

=1(a>0)的渐近线方程 3x±2y=0,则 a 的值为( )

B.3

C.2

D.1

解析:双曲线

=1 的渐近线方程为 3x±ay=0,与已知方程比较系数得 a=2.

答案:C 3.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

解析: 答案:D

,∴e= .

4.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点

为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( )

A.

=1

B.

=1

C.

=1

D.

=1

解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是 2,双曲线的渐近线方程是 bx±ay=0,根据已知得

=2,即 =2,解得 b=2,则 a2=5,故所求的双曲线方程是

=1.故选 A.

-1-

答案:A

5.已知双曲线

=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 P( ,y0)

在该双曲线上,则

=( )

A.-12

B.-2

C.0

D.4

解析:∵y=x 为渐近线方程,则 b=2,即双曲线方程为 x2-y2=2.当 x= 时, =1.又双曲线的半焦距

为 2,∴ 答案:C

=(-2- ,-y0)·(2- ,-y0)=-1+ =-1+1=0.故选 C.

6.

导学号 90074078 设 F1,F2 分别为双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若

在双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该 双曲线的渐近线方程为( )

A.3x±4y=0

B.3x±5y=0

C.4x±3y=0

D.5x±4y=0

解析:如图,

由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M 中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|= |PF1|.
又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c, 即|PM|=a+c. ∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.

又 c2=a2+b2,∴

,

∴渐近线方程为 y=± x,即 4x±3y=0.

答案:C

7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为 5∶4,则双曲线

的标准方程是

.

解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与虚轴长之

比为 5∶4,即 c∶b=5∶4.

又 c2=a2+b2,解得 c=5,b=4,

所以双曲线的标准方程是

=1.

-2-

答案:

=1

8.若双曲线的渐近线方程为 y=±3x,它的一个焦点是( ,0),则双曲线的方程



.

解析:由题意,得 c=

=3,由此解得 b=3,a=1,故所求双曲线的方程是 x2- =1.

答案:x2- =1

9.已知双曲线

=1 的离心率为 2,焦点与椭圆



;渐近线方程为

.

=1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标

解析:椭圆

=1 的焦点坐标为(-4,0),(4,0),

∴双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线

=1 中,c=4,e=2,∴a=2.∴

b=2

.∴渐近线方程为

x±y=0.

答案:(±4,0) x±y=0 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为 12,离心率为 ;

(2)两顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y=± x; (3)求与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程.

解(1)设双曲线的标准方程为

=1 或

=1(a>0,b>0).

由题意,知 2b=12, ∴b=6,c=10,a=8.

,且 c2=a2+b2,

∴双曲线的标准方程为

=1 或

=1.

(2)设以 y=± x 为渐近线的双曲线方程为

=λ (λ ≠0).

-3-

当 λ >0 时,a2=4λ ,∴2a=2 当 λ <0 时,a2=-9λ ,

∴2a=2

=6.∴λ =-1.

=6.∴λ = .

∴双曲线的方程为

=1 或

=1.

(3)设与双曲线

-y2=1 有公共渐近线的双曲线方程为

-y2=k(k≠0).

将点 M(2,-2)的坐标代入,得 k=

-(-2)2=-2.

∴双曲线的标准方程为

=1. B组

1.已知 0<θ < ,则双曲线 C1: A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

=1 与 C2:

=1 的( )

解析:对于 θ ∈ 答案:D

,sin2θ +cos2θ =1,因而两条双曲线的焦距相等,故选 D.

2.过双曲线 M:x2- =1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交 于点 B,C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是( )

A.

B.

C.

D.

解析:这里的 a=1,c=

,故关键是求出 b2,即可利用定义求解.

易知 A(-1,0),则直线 l 的方程为 y=x+1,与两条渐近线 y=-bx 和 y=bx 的交点分别为

B

,C

.

又|AB|=|BC|,解得 b2=9,则 c=

,故有 e=

.

答案:A

-4-

3.过双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M,N 两点,以 MN

为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 B,则双曲线的离心率等于

.

解析:因为以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,所以 F1 是圆心,半径|MF1|=|F1B|=a+c.由左

焦点 F1(-c,0),知点 M(-c,a+c),将点 M 的坐标代入双曲线方程得

=1,从而

a2(a+c)2=b4,开方得 a(a+c)=b2,可得 c2-ac-2a2=0,即 e2-e-2=0,解得 e=2 或 e=-1(舍去).

答案:2

4.设双曲线 C: -y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A,B.求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.

解由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组 消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.

有两个不同的实数解.



解得 a∈(0,1)∪(1,

),

双曲线的离心率为 e=

,

∵a∈(0,1)∪(1,

),∴e∈

∪(

,+∞),即离心率取值范围为

∪(

,+∞).

5.

导学号 90074079 过双曲线

曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|; (2)求△AOB 的面积; (3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.

(1)解由双曲线的方程得 a= ,b= ,∴c=

=1 的右焦点 F2 且倾斜角为 30°的直线交双 =3,F1(-3,0),F2(3,0),直线 AB 的方程为

y= (x-3).

-5-

设 A(x1,y1),B(x2,y2),由

∴x1+x2=- ,x1x2=-

,

∴|AB|=

|x1-x2|

得 5x2+6x-27=0,

=

=

.

(2)解直线 AB 的方程变形为 x- y-3=0.

∴原点 O 到直线 AB 的距离为 d=

.

∴S△AOB= |AB|·d=

.

(3)证明由题意知,双曲线的渐近线为 y=± x,而直线 AB 的斜率为

,故点 A,B 不可能同

在右支上,假设点 A 在双曲线左支上,点 B 在双曲线右支上,由双曲线的定义得

|AF2|-|AF1|=2

,|BF1|-|BF2|=2

,

∴|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|,即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|. 同理,若点 A 在双曲线右支上,点 B 在双曲线左支上,同样成立.

-6-


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