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101中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学试卷(理科)

101中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学试卷(理科)


北京市 101 中学 2011-2012 学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
1. 若 a, b ? R, i 是虚数单位,且 a ? (b ? 2)i ? 1 ? i ,则 a ? b 的值为( ) A. -2 B. -4 C. 2 D. 4

2. 在极坐标系中,圆 ? ? 2 的圆心到直线 ? cos? ? ? sin ? ? 2 的距离为( )

A.
? 2 ? ? 2

2 2

B. 1

C.

2

D. 2

3.

?

(1 ? cos x)dx 等于( )A. ?

B. 2

C. ? ? 2

D. ? ? 2

4. 从 圆 O 外 一 点 P 作 圆 O 的 割 线 PAB 和 PCD , AB 是 圆 O 的 直 径 , 若

PA ? 4, PC ? 5, CD ? 3 ,则 ?CBD ? ( )A. 15°
5. 若 X ~ B(5,0,3),Y ~ N (1,4) ,则 E ( X ) ? E (Y ) ? ( A. 2.5 B. 2.05 C. 6 D. 9

B. 30° )

C. 45°

D. 60°

6. 现有排成一排的 7 个座位,安排 3 名同学就座,如果要求剩余的 4 个座位连在一起, 那么不同的坐法总数为( )A. 16 B. 18 C. 24 D. 32

7. 从只有 3 张中奖的 10 张彩票中不放回随机逐张抽取, X 表示直至抽到中奖彩票时的 设 次数,则 P(X ? 3) ? ( A. )

3 10

B.

7 10

C.

21 40

D.

7 40

8. 1 升水中有 2 只微生物,任取 0.1 升水化验,含有微生物的概率是( ) A. 0.01 9. 若 ( x ? B. 0.19 C. 0.1 D. 0.2 ;展开式中

1 n ) 展开式中第二项与第六项的系数相等,则 n ? x


间一项的系数为

10. 从如图所示的长方形区域内任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 。

11. 复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,则 z ? i ? 1 的最小值是

。 种 (用

12. 将 5 位志愿者分成 3 组, 分赴三个不同的地区服务, 不同的分配方案有 数字作答) 。

13. 在极坐标系中,曲线 ?2 ? 3 sin ? 和 ? cos? ? 1 相交于点 A,B,则线段 AB 的中点 E 到极点的距离是 。

14. 已知 ?ABC 中,?c ? 90?, AC ? 3, BC ? 4 , 一个圆心为 M, 半径为

1 的圆在 ?ABC 2

内,沿着 ?ABC 的边滚动一周回到原位。在滚动过程中,圆 M 至少与 ?ABC 的一边相切, 则点 M 到 ?ABC 顶点的最短距离是 15. 已知复数 z1 ? (1)求 z1 ; (2)求 z1 ? z 2 的最大值。 16. 已知 (3 ? 2x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 ,求(请写出最后结果) : (1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ; (2) a0 ? a2 ? a4 ? a6 ; (3) a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 。 17. 将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字 0,1,2,3,4,5)和一个正四面 体(四个面分别标有数字 1,2,3,4)同时抛掷一次,规定“正方体向上的面上的数字为 a, 正四面体的三个侧面上的数字之和为 b”。设复数 z ? a ? bi 。 (1)若集合 A ? { z z 为纯虚数},用列举法表示集合 A; (2)求事件“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a ? (b ? 6) ? 9 ”的概率。
2 2

, M 的运动轨迹的周长是 点



( 3 ) ? 3i) 3 (3 ? 4i) , z2 ? 1。 4 ? 3i

18. 某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,决出胜负即

停止比赛。按以往的比赛经验,每局比赛中,甲胜乙的概率为 (1)求比赛三局甲获胜的概率; (2)求甲获胜的概率; (3)设比赛的局数为 X,求 X 的分布列和数学期望。

2 。 3

19. 在数列 {an },{bn } 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等 比数列 (n ? N * ) 。 (1)求 a 2 , a3 , a 4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 {an },{bn } 的通项公式,并证明你的结论; (2)证明:

1 1 1 5 ? ??? ? 。 a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn 12

【试题答案】
1. A 10. 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. D 8. B 9. 6;20

1 11. 1 12. 150 13. 2 14. 3

2 ,6 2

15. (1)化简 z1 ? 6 3 ? 6 3i ,所以 z1 ? 6 6 ; (2) z1 ? z 2 表示复数 z1 和 z 2 对应的点之间的距离,所以 z1 ? z 2

max

? 1? 6 6 。

16. (1) 由已知得 a0 ? 37 , a0 ? a1 ? ? ? a7 ? (3 ? 2 ?1) 7 ? 1 , 所以 a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

1 ? 37 ? ?2186; 2 ) 另 原 式 中 的 x ? ?1 , 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? 57 , 所 以 (

2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? 1 ? 57 ,所以 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? 39063;
(3)依题意得展开式中偶数项的系数都小于零,所以 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? a7 ? 57 ? 78125。 17. (1) A ? {6i,7i,8i,9i} ;
(2)基本事件空间中基本事件的个数为 24。 设满足“复数在复平面内对应的点( a, b )满足 a ? (b ? 6) ? 9 ”为事件 B。
2 2 2 2 当 a ? 0 时 , b ? 6,7,8,9 满 足 a ? (b ? 6) ? 9 ; 当 a ? 1 时 , b ? 6,7,8 满 足

a 2 ? (b ? 6) 2 ? 9 ;当 a ? 2 时, b ? 6,7,8 满足 a 2 ? (b ? 6) 2 ? 9 ;
2 2 当 a ? 3 时, b ? 6 满足 a ? (b ? 6) ? 9

即 B 包含的基本事件为:

(0,6), (0,7), (0,8), (0,9), (1,6), (1,7), (1,8), (2,6), (2,7), (2,8), (3,6) 共 11 个 。 所 以
P( B) ? 11 。 24

18. (1) P1 ? ( ) ?
3

8 ; 27 2 3 1 2 2 64 2 2 2 1 2 2 2 2 (2) P2 ? ( ) ? C 3 ( ) ? ? ? C 4 ( ) ? ( ) ? ? ; 3 3 3 3 3 3 3 81
(3)X 的分布列如下: X P 3 4 5

2 3

1 3

10 27

8 27

E( X ) ?

107 。 27

19. (1) a2 ? 6, b2 ? 9, a3 ? 12, b3 ? 16, a4 ? 20, b4 ? 25 , 猜想 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1) 2 , 用数学归纳法证明: ① n ? 1 时,由上述可得结论成立; 当 ② 假设当 n ? k 时,结论成立,即 ak ? k (k ? 1),bk ? (k ? 1) 2 , 当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1) 2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2), bk ?1 ?
2 ak ? 2 bk

? (k ? 2) 2 。
所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立。 由①,可知 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1) 2 对一切正整数都成立。 ② (2)当 n ? 1 时,

1 1 5 ? ? , a1 ? b1 6 12 1 1 ? a1 ? b1 a 2 ? b2

当 n ? 2 时,由(1)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2n(n ? 1) ,所以

???

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? ( ? ??? ? ? ( ? )? ? ? , an ? bn 6 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) 6 2 2 n ? 1 6 4 12

综上,原不等式成立。



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