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2018-2019学年天津一中高二(上)期末数学试卷

2018-2019学年天津一中高二(上)期末数学试卷

2018-2019 学年天津一中高二(上)期末数学试卷

副标题

题号 得分







总分

一、选择题(本大题共 10 小题,共 30.0 分)

1. 已知椭圆

=1 的左右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个

直角三角形的三个顶点,则点 p 到 x 轴的距离为( )

A.

B. 4

C.

D.

2. 已知双曲线 =1(a>0,b>0)的一条渐近线过点( ,2),且双曲线的一个

焦点在抛物线 x2=4 y 的准线上,则双曲线的方程为( )

A.

=1

B.

=1

C. =1

D. =1

3. 设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点.若在双曲线右支上存

在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲 线的渐近线方程为( )

A. 3x±4y=0

B. 3x±5y=0

C. 4x±3y=0

D. 5x±4y=0

4. 已知方程 - =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值

范围是( )

A. (-1,3)

B. (-1, ) C. (0,3)

D. (0, )

5. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A、B 两点,

若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )

A. x=1

B. x=-1

C. x=2

D. x=-2

6. 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为

A. 108

B. 216

C. 648

D. 1296

7. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法

有( )

A. 6 种

B. 12 种

C. 24 种

D. 30 种

8. (x+1)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a11x11,则 a1+a2+…+a11=( )

A. -64

B. -65

C. 64

D. 65

9. 已知 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,过点 F 作两条互相垂直的直线 l1 与直线 l2,直线 l1

与抛物线交于 A、B 两点,直线 l2 与抛物线交于 C、D 两点,则|AB|+|CD|的最小值

为( )

A. 10

B. 12

C. 14

D. 16

10. 过双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两

点,D 为虚轴上的一个端点,且△ABD 为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范

围为( )

A. (1, )

B. ( ,



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C. ( ,2)

D. (1, )∪(

,+∞)

二、填空题(本大题共 6 小题,共 24.0 分)

11. 分别标有 1、2、3、4 的 4 张卡片,放入分别标号为 1、2、3、4 的 4 个盒中,每盒

不空,且 3 号卡片不能放入 3 号盒中,则有______种不同的方法.

12. 从 5 名男医生.4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男.女医

生都有,则不同的组队方案共有______种 (数字回答).

13. 若(a+x)5 展开式中 x2 的系数为 10,则实数 a=______.

14. 若抛物线 x2=2py(p>0)的准线经过双曲线 y2-x2=1 的一个焦点,则 p=______.

15. P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 m 恒成

立,则是实数 m 的最大值为______.

16. 已知椭圆

=1(a>b>0),A、B 为椭圆左右顶点,F 为左焦点,点 P 为椭圆

上一点,且 PF⊥x 轴,过点 A 的直线与线段 PF 交于 M 点,与 y 轴交于 E 点,若直 线 BM 经过 OE 中点,则椭圆的离心率为______. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 48.0 分)

17. 已知 F 为椭圆

=1(a>b>0)的左焦点,离心率为 ,过 F 且垂直于 x 轴的直

线被椭圆截得的线段长为 . (1)求该椭圆方程; (2)设直线 l 同时与椭圆和抛物线 y2=4x 各恰有一个公共交点,求直线 l 的方程.

18. 过椭圆

=1(a>b>0)的右焦点 F 作直线 x+y- =0 交椭圆于 M、N 两点,H

为线段 MN 的中点,且 OH 的斜率为 ,设点 A(1, ).
(1)求该椭圆的方程; (2)若点 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 G 的轨迹方程; (3)过原点的直线交椭圆于 B、C 两点,求△ABC 面积的最大值.

19. 已知点 M(-2,0)、N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足|PM|+|PN|=6 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若(1-cos∠MPN)|PM|?|PN|=2,求点 P 的坐标.
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20. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(-1, ), P4(1, )中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜 率的和为-1,证明:l 过定点.
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解:设椭圆短轴的一个端点为 M. 由于 a=5,b=4, ∴c=3<b; ∴∠F1MF2<90°,
∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°. 令 x=±3,得 y= = ,

故选:D.

设椭圆短轴的一个端点为 M.根据椭圆方程求得 c,进而判断出∠F1MF2<90°, 即∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°.令 x=±3,进而可得点 P 到 x 轴的距离. 本题主要考查了椭圆的基本应用.考查了学生推理和实际运算能力.是基础

题.
2.【答案】C
【解析】
解:双曲线

=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点( ,2),

可得渐近线的斜率为 k= = ,

双曲线的一个焦点在抛物线 x2=4 y 的准线 y=- 上,

可得 c= ,

即 a2+b2=7,

解得 a= ,b=2,

则双曲线的方程为:

=1.

故选:C.

由题意可得渐近线的斜率,即为 a,b 的关系式,求得抛物线的准线方程,可得

c,由 a,b,c 的关系,解方程可得 a,b,进而得到所求双曲线的方程.

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本题考查双曲线的方程和性质,以及抛物线的方程和性质,运用渐近线方程

和斜率公式是解题的关键,属于基础题.

3.【答案】C
【解析】

解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形 PF2F1 是一个等腰三角形,F2 在直线 PF1 的投影是其中点,由勾股定理知

可知|PF1|=2

=4b

根据双曲定义可知 4b-2c=2a,整理得 c=2b-a,代入 c2=a2+b2 整理得 3b2-4ab=0,

求得 =

∴双曲线渐近线方程为 y=± x,即 4x±3y=0

故选:C.

利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出 a 与 b 之间的等

量关系,可知答案选 C,

本题主要考查三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知

识能力的考查,属中档题
4.【答案】A
【解析】
解:∵双曲线两焦点间的距离为 4,∴c=2,

当焦点在 x 轴上时, 可得:4=(m2+n)+(3m2-n),解得:m2=1,

∵方程

-

=1 表示双曲线,

∴(m2+n)(3m2-n)>0,可得:(n+1)(3-n)>0,

解得:-1<n<3,即 n 的取值范围是:(-1,3).

当焦点在 y 轴上时,

可得:-4=(m2+n)+(3m2-n),解得:m2=-1, 无解. 故选:A.

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由已知可得 c=2,利用 4=(m2+n)+(3m2-n),解得 m2=1,又(m2+n)(3m2-n)>0,

从而可求 n 的取值范围.

本题主要考查了双曲线方程的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
先假设 A,B 的坐标,根据 A,B 满足抛物线方程将其代入得到两个关系式,再

将两个关系式相减根据直线的斜率和线段 AB 的中点的纵坐标的值可求出 p

的值,进而得到准线方程。本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位

置关系等基础知识。 【解答】 解:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有 y12=2px1,y22=2px2,

两式相减得:(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),

又因为直线的斜率为 1,所以

=1,

所以有 y1+y2=2p,又线段 AB 的中点的纵坐标为 2, 即 y1+y2=4,所以 p=2,所以抛物线的准线方程为 x=- =-1. 故选:B.

6.【答案】D
【解析】
【分析】 本题考查排列、组合的运用,涉及分步计数原理的应用,对于相邻问题,可用
捆绑法.
根据题意,完成任务可分为两步,①、每个三口之家内部排序,②、三个家庭
之间排序,计算每一步的情况数目,由分步计数原理计数公式,计算可得答 案. 【解答】 解:根据题意,分 2 步进行:
①、将每个三口之家都看成一个元素,每个家庭都有 A33 种排法,
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三个三口之家共有(A33)3 种排法, ②、将三个整体元素进行排列,共有 A33 种排法, 故不同的作法种数为 A33×(A33)3=(A33)4=(6)4=1296. 故选 D.
7.【答案】C
【解析】
解:根据题意,分两步, ①由题意可得,所有两人各选修 2 门的种数 C42C42=36, ②两人所选两门都相同的有为 C42=6 种,都不同的种数为 C42=6, 故选:C.
根据题意,分两步,①先求所有两人各选修 2 门的种数,②再求两人所选两
门都相同与都不同的种数,进而由事件间的相互关系,分析可得答案.
本题考查组合公式的运用,解题时注意事件之间的关系,选用直接法或间接 法. 8.【答案】B
【解析】
解:∵(x+1)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a11x11,令 x=0,可得 a0=1, 再令 x=1,1+a1+a2+…+a11=-64,∴a1+a2+…+a11=-65, 故选:B.
在所给的等式中,令 x=0,求得 a0 的值,再令 x=1,可得 a1+a2+…+a11 的值. 本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,
通过给二项式的 x 赋值,求展开式的系数和,可以简便
的求出答案,属于基础题. 9.【答案】D
【解析】
解:由 l1⊥l2,直线 l1 与 C 交于 A、B 两点, 直线 l2 与 C 交于 C、D 两点,
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要使|AB|+|CD|最小, 则 A 与 D,B,C 关于 x 轴对称,即直线 CD 的斜率为 1,

又直线 l2 过点(1,0),

则直线 l2 的方程为 y=x-1,

联立方程组

,则 x2-6x+1=0,

∴x1+x2=6,x1x2=1,

∴|CD|=

?|x1-x2|= ?

=8,

∴|AB|+|CD|的最小值为 2|CD|=16.

故选:D.

根据题意可判断当 A 与 D,B,C 关于 x 轴对称,即直线 CD 的斜率为 1,

|AB|+|CD|最小,根据弦长公式计算即可.

本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,注意运用韦达

定理和弦长公式,属于中档题.
10.【答案】D
【解析】
解:设双曲线

的左焦点 F1(-c,0),

令 x=-c,可得 y=±

=± ,

可得 A(-c, ),B(-c,- ),

又设 D(0,b),可得 =(c,b- ),

=(0,- ), =(-c,-b- ),

由△ABD 为钝角三角形,可能∠DAB 为钝角,可得 ? <0,

即为 0- ?(b- )<0,

化为 a>b,即有 a2>b2=c2-a2,
可得 c2<2a2,即 e= < , 又 e>1,可得 1<e< , 可能△ADB 中,∠ADB 为钝角,可得 ? <0,

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即为 c2-( +b)( -b)<0, 化为 c4-4a2c2+2a4>0, 由 e= ,可得 e4-4e2+2>0,

又 e>1,可得 e>



综上可得,e 的范围为(1, )∪(

.+∞).

故选:D.

设出双曲线的左焦点,令 x=-c,代入双曲线的方程,解得 A,B 的坐标,讨论

∠DAB 为钝角,可得 ? <0,或∠ADB 为钝角,可得 ? <0,运用向

量数量积的坐标表示,再由离心率公式和范围,即可得到所求范围.

本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用转化思想,以及向量数量积的坐

标表示,考查运算能力,属于中档题.
11.【答案】18
【解析】
解:根据题意,分 2 步进行分析:

①,3 号卡片不能放入 3 号盒中,则 3 号卡片可以放入 1、2、4 号盒子中,有 3 种放法; ②,将剩下的 3 张卡片全排列,放入剩下的 3 个盒子中,有 A33=6 种放法; 故有 3×6=18 种不同的放法; 故答案为:18

根据题意,分 2 步进行分析:①,3 号卡片可以放入 1、2、4 号盒子中,有 3 种

放法;②,将剩下的 3 张卡片全排列,放入剩下的 3 个盒子中,由分步计数原

理计算可得答案.

本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.
12.【答案】70
【解析】
解:直接法:一男两女,有 C51C42=5×6=30 种,
两男一女,有 C52C41=10×4=40 种,共计 70 种

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间接法:任意选取 C93=84 种,其中都是男医生有 C53=10 种, 都是女医生有 C41=4 种,于是符合条件的有 84-10-4=70 种. 故答案为:70.

不同的组队方案:选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,

方法共有两类,一是:一男二女,另一类是:两男一女;在每一类中都用分步计 数原理解答. 直接法:先分类后分步;间接法:总数中剔除不合要求的方法,这种问题是排

列组合中典型的问题,注意表示过程中数字不要弄混.

13.【答案】1
【解析】
解:(a+x)5 展开式中 x2 的系数为

,因为(a+x)5 展开式中 x2 的系数为 10,

所以 =10,解得 a=1,

故答案为:1. 直接利用二项式定理的展开式的通项公式,求出 x2 的系数是 10,得到方程,

求出 a 的值.

本题考查二项式定理系数的性质,考查计算能力.
14.【答案】2
【解析】
解:根据题意,双曲线的方程为:y2-x2=1,

则其焦点在 y 轴上,且 c= , 则抛物线 x2=2py(p>0)焦点坐标为(0,± ),

,解可得 p=2 ;

故答案为:2 . 根据题意,由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标,对于抛物线 x2=2py

(p>0),用 p 表示其准线方程,结合题意列出方程即可得 p 的值,即可得答案.

本题考查抛物线、双曲线的几何性质,关键是求出双曲线的焦点坐标.

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15.【答案】
【解析】
解:由题意,双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 x±y=0,

由点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 m 恒成立,

∴m 的最大值为直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 的距离,即 d=

=.

故答案为: .
双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 x±y=0,c 的最大值为直线 x-y+1=0 与直线 x-y=0 的距离. 本题考查双曲线的性质,考查两平行线之间的距离公式,考查学生的计算能

力,属于基础题.

16.【答案】
【解析】
解:由题意可设 F(-c,0),A(-a,0),B(a,0),

设直线 AE 的方程为 y=k(x+a), 令 x=-c,可得 M(-c,k(a-c)),令 x=0,可得 E(0,ka), 设 OE 的中点为 H,可得 H(0, ),

由 B,H,M 三点共线,可得 kBH=kBM,

即为 =



化简可得

,即为 a=3c,

可得 e=



故答案为:

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由题意可得 F,A,B 的坐标,设出直线 AE 的方程为 y=k(x+a),分别令 x=-c,

x=0,可得 M,E 的坐标,再由中点坐标公式可得 H 的坐标,运用三点共线的条

件:斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值.

本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的方程和性质,以及直线方程

的运用和三点共线的条件,属于中档题.

17.【答案】解:(1)由 e= ,得 a2=2b2,

方程椭圆

=1(a>b>0)中,令 x=c,可得 y=±

即 2× = ,得 a= ,b=1,

得椭圆方程



(2)由题显然直线存在斜率, ∴设其方程为 y=kx+m,…………………(5 分)



,整理得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,

由△=0,化简得:m2-2k2-1=0,…………………(8 分)

代入抛物线 C2:y2=4x,得到 y2-y+m=0,
k=0 时,y=m △=0,化简得:km-1=0(k≠0),…………………(10 分)



?



当 k=0 时,m=±1 ∴直线的方程为 y= 【解析】

或 y=-

或 y=±1…12 分

(1)由 e=

,求得 a2=2b2,结合 2× = ,即可求得 a 和 b 的值,求得椭

圆方程;

(2)将直线方程代入椭圆方程由△=0,求得 m2-2k2-1=0,代入抛物线方程,由

△=0,求得 km-1=0,即可求得 k 和 m 的值,求得直线方程.

本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系,考查计算能力,属

于中档题.

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18.【答案】解:(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2)则

,两式相减可得,

(x12-x22)+ (y12-y22)=0,
即 (x1+x2)(x1-x2)+ (y1+y2)(y1-y2)=0,
∵直线 x+y- =0 交椭圆于 M、N 两点,H 为线段 MN 的中点,且 OH 的斜率为 ,
∴ =-1, = , ∴4b2=a2,① ∵右焦点 F 作在直线 x+y- =0 上, 令 y=0,可得 x= , ∴c= , ∵a2-b2=c2=3,②, 由①②,解得 a2=4,b2=1, ∴椭圆方程为 +y2=1;

(2)设 G(x,y),P(x′,y′),则有

,即

中, 整理可得

+(2y- )2=1,

故线段 PA 的中点 G 的轨迹方程为

+(2y- )2=1,

(3)当直线 BC 垂直 x 轴时,此时|BC|=2,d=1,则 S△ABC=1, 当直线 BC 的斜率存在时,设直线 BC 的方程为 y=kx,

联立方程组可得

,消 y 整理可得(1+4k2)x2-4=0,

,代入为 +y2=1

解得 x1=-

,x2=



则|BC|=

?|x1-x2|=



点 A 到直线 BC 的距离 d= ,

∴S△ABC= |BC|?d= ?

?

=

=

=

=



∵4k+ ∈(-∞,-4]∪[4,+∞),

当且仅当 4k+ =-4 时,即 k=- ,取的最大值,最大值为 ,

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综上所述△ABC 面积的最大值 . 【解析】

(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),结合点差法和直线的斜率,以及 OH 的斜率为 ,

可得 4b2=a2,再根据右焦点 F 作在直线 x+y的方程;

=0 上,求出 c,即可求出椭圆

(2)设 G(x,y),P(x′,y′),则有

,即

,代入为 +y2=1

中,即可求出; (3)设直线的方程与椭圆联立,利用弦长公式求出 CB,A 到 CB 的距离,然后

求解三角形的面积,求出最大值即可.

本题考查椭圆的方程和运用,考查直线方程和椭圆方程联立,消去未知数,

运用韦达定理和弦长公式,考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用,

属于中档题.

19.【答案】解:(1)设动点 P(x,y),
∵点 M(-2,0)、N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足|PM|+|PN|=6

∴点 P 是以 M,N 为焦点的椭圆

=1(a>b>0),且 a=3,c=2,

∴点 P 的轨迹方程为 =1.

(2)在△MPN 中,cos∠MPN=

=

=



∵(1-cos∠MPN)|PM|?|PN|=2,

∴(1-

)?|PM|?|PN|=2,

, ∴||PM|-|PN||=2 , ∴点 P 在以 M(-2,0)、N(2,0)为焦点的双曲线

=1(a>0,b>0)上,

联立



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解得点 P 的坐标 P( , ),或 P( ,- )或 P(- , )或 P(- ,- ). 【解析】

(1)设动点 P(x,y),推导出点 P 是以 M,N 为焦点的椭圆

=1(a>b>0),

且 a=3,c=2,由此能求出点 P 的轨迹方程.

(2)在△MPN 中,cos∠MPN=

=

,由

(1-cos∠MPN)|PM|?|PN|=2,推导出||PM|-|PN||=2 ,从而点 P 在以 M(-2,0)、

N(2,0)为焦点的双曲线

=1(a>0,b>0)上,联立

,能求

出点 P 的坐标. 本题考查点的轨迹方程的求法,考查点的坐标的求法,考查椭圆、双曲线、直 线方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题. 20.【答案】解:(1)根据椭圆的对称性,P3(-1, ),P4(1, )两点必在椭圆 C
上, 又 P4 的横坐标为 1,∴椭圆必不过 P1(1,1), ∴P2(0,1),P3(-1, ),P4(1, )三点在椭圆 C 上. 把 P2(0,1),P3(-1, )代入椭圆 C,得:
,解得 a2=4,b2=1,

∴椭圆 C 的方程为

=1;

证明:(2)①当斜率不存在时,设 l:x=m,A(m,yA),B(m,-yA), ∵直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1,



=

= =-1,

解得 m=2,此时 l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ②当斜率存在时,设 l:y=kx+t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),

联立

,整理,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,

,x1x2=





=

=

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=

=

=-1,又 t≠1,

∴t=-2k-1,此时△=-64k,存在 k,使得△>0 成立, ∴直线 l 的方程为 y=kx-2k-1, 当 x=2 时,y=-1, ∴l 过定点(2,-1). 【解析】
本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直

线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数

与方程思想、化归与转化思想,是中档题.

(1)根据椭圆的对称性,得到 P2(0,1),P3(-1, ),P4(1, )三点在椭圆 C

上.把 P2(0,1),P3(-1, 的方程;

)代入椭圆 C,求出 a2=4,b2=1,由此能求出椭圆 C

(2)当斜率不存在时,不满足;当斜率存在时,设 l:y=kx+t,(t≠1),联立

,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、

直线方程,结合已知条件能证明直线 l 过定点(2,-1).

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