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优质课一等奖高二数学选修4-4~曲线参数方程

优质课一等奖高二数学选修4-4~曲线参数方程


第二讲 参数方程

1. 参数方程的概念

创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?
投放点 友情提示: 即求飞行员在离救援点的水平 距离多远时,开始投放物资?



救援点

创造情境
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?

y 500

分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: (1)沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动; (2)沿Oy反方向作自由落体运动.

O

x

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水 平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记 空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?

解:建立如图所示坐标系,物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x, 垂直高度为y,所以

y 500

? x ? 100t , ? 2 ( g=9.8m/s ) ? 1 2 y ? 500 ? gt . ? ? 2 令y ? 0, 得t ? 10.10s.

o

x

代入x ? 100t , 得 x ? 1010m.

所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资, 可以使其准确落在指定位置.

1、参数方程的概念:
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标 x, y都是某个变数 t 的函数 ? x ? f (t ), ? (1) ? y ? g (t ). 且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 则方程(1) 就叫做这条曲线的参 数方程, 联系变数 x ,y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。

关于参数几点说明: 参数是联系变数 x, y 的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义; 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不 一样; 3.在实际问题中要确定参数的取值范围;

变式练习:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标水平位移为1000m时投放救援物资(不计 空气阻力,重力加速度g=10m/s),问此时飞机的飞行高 度约是多少?(精确到1m) x=100t=1000, t=10,

y=gt2/2=10×102/2=500m.

? x ? 3t , (t为参数) 例1: 已知曲线C的参数方程是 ? 2 ? y ? 2t ? 1.
(1)判断点M1(0, 1),M2(5, 4)与曲线C的位置关系;

(2)已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。 解:(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组,解得t=0,所 以M1在曲线上.
?5 ? 3t 把点M2的坐标(5,4)代入方程组,得到 ?4 ? 2t 2 ? 1 ?
?6 ? 3t (2)因为点M3(6,a)在曲线C上,所以?a ? 2t 2 ? 1 ?

这个方程组无解,因此点M2不在曲线上
解得t=2, a=9 所以,a=9.

练习

?x ? 1 ? t 2 与x轴的交点坐标是( B ) 1、曲线 ? y ? 4t ? 3(t为参数) ?

A(1,4); B (25/16, 0)

C(1, -3)

D(±25/16, 0)

? x ? sin? (?为参数)所表示的曲线上一点的坐标是( ) 2、方程? D ? y ? cos?

A(2,7); B(1/3, 2/3)

C(1/2, 1/2)

D(1,0)

? x ? sin 2? 3.下列在曲线? y ? cos? ? sin ? (?为参数) ? 3 1 1 ( , ? 2 ) ( ? , ) C (2, 3) A 2 B 4 2

上的点是 ( B ) D (1, 3)

3.已知曲线C的参数方程 且点M(5,4)在该曲线上. (1)求常数a;(2)求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:

? x ? 1 ? 2t , (t为参数,a ? R ) ? 2 ? y ? at .

1+2t=5

at2=4

解得:

a=1 t=2 y=t2

∴ a=1

(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: 由第一个方程得:

x=1+2t

x ?1 2 代入第二个方程得: y ? ( ) , 2 故所求曲线的普通方程为(x-1)2 = 4y

x ?1 t? 2

4.已知动点M作匀速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨 迹参数方程。
解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得

5、由方程x ? y ? 4tx ? 2ty ? 5t ? 4 ? 0( t为 参数 )所表示的一族圆的圆心 轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线

? x ? 1 ? 5t 所以,点M的轨迹参数方程为 ? y ? 2 ? 12t ? 2 2 2

? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t

参数方程求法
(1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y); (2)选取适当的参数; (3)根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义等, 建立点P坐标与参数的函数式; (4)证明这个参数方程就是所求的曲线的参数方程.

课堂小结
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ), ? (1) ? y ? g (t ).

并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上,那么方程(1)就叫做这条曲线的参数方程, 系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。

圆的参数方程

圆周运动中,当物 体绕定轴作匀速运动 时,物体上的各个点 都作匀速圆周运动,
怎样刻画运动中点 的位置呢?

y

M(x, y) r

?
o

M0

x

如果在时刻t,点M转过的角度是θ,坐标是M(x, y),
那么θ=ωt. 设|OM|=r,那么由三角函数定义,有

x y cos ?t ? ,sin ?t ? r r

? x ? r cos ?t (t为参数) ? ? y ? r sin ?t

这就是圆心在原点O,半径为r 的圆的参数方程 参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻) 考虑到θ=ωt,也可以取θ为参数,于是有
? x ? r cos ? (? 为参数) ? ? y ? r sin ?

圆心为原点,半径为r 的圆的参数方程为: ? x ? r cos ? (? 为参数) ? ? y ? r sin ?
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时,OM0转过的角度

例1 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0) 是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆周 运动时,求点M的轨迹的参数方程。 y P 解:设点M的坐标是(x, y), M ?xOP ? ? Q ? o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
2 cos ? ? 6 2sin ? x? ? 3 ? cos ? , y ? ? sin ? 2 2

因此,点M的轨迹的参数方程是
? x ? 3 ? cos ? , (? 为参数) ? ? y ? sin ? .

2 2 x ? y ? 16 上一个动点,定点A(12, 0), 5 已知点P是圆

点M在线段PA上,且2|PM|=|MA|,当点P在圆上运动 时,求点M的轨迹. 解:设点M的坐标是(x, y), ?xOP ? ? 则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ). ∵2|PM|=|MA|, ∴由题设
2 AM ? AP ∴(x-12, y)= 2 (4 cos ? ? 12, 4 sin ? ) 3 3
.

8 8 x ? 4 ? cos ? , y ? sin ? 3 3

因此,点M的轨迹的参数方程是

8 ? x ? 4 ? cos ? , ? ? 3 (? 为参数) ? ? y ? 8 sin ? . ? 3 ?

y

圆心为O1 (a, b) , 半径为r 的圆的参数方程 ? x ? a ? r cos? (?为参数) ? ? y ? b ? r sin?

b
v O

P r ?y
a

x

x

一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,
另外,要注明参数及参数的取值范围。 例2 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。 解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1 ? x ? ?1 ? cos? (θ为参数) ∴参数方程为 ? ? y ? 3 ? sin?

3 2 练习: 判断点A( 2,0), B( 2 ,? ), C (1,3)是否在曲线 2 ? x ? 2 cos? (?为参数,0 ? ? ? 2? )上, 若在曲线上, 求 ? ? y ? 3 sin? 出它对应的参数值.

例3 已知x、y满足( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,求 S ? 3 x ? y
? x ? 1 ? 2 cos ? , (? 为参数) 解:由已知得:圆的参数方程为 ? ? y ? ?2 ? 2sin ? .

的最大值和最小值.

所以S ? 3x ? y ? 3(1 ? 2cos ? ) ? (?2 ? 2sin ? ) ? 5 ? 6cos ? ? 2sin ? ? 5 ? 2 10 cos(? ? ? ) 1 (tan ? ? ) 3

Smax ? 5 ? 2 10, Smin ? 5 ? 2 10

? x ? 2 ? cos ? 1 P(x, y)是曲线 ? y ? sin ? (α为参数)上任意一点,则 ?

练习

( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 的最大值为( A )
A.36 B. 6 C.26 D.25

法一:直接代入(应用 辅助角公式)

y ? x ? cos ? ? 2 2 点P(x, y)是曲线? y ? sin ? (? 为参数)上任意一点,则 x ?

法二:数形结合(把参 数 方程表示的圆画出来)

的最大值为( D ) A 1 B 2 C 3 D
? x ? 2 cos ? ? 1 (? 为参数)上任意一点,则 3 点P(x, y)是曲线 ? ? y ? 2sin ? ? 1 x 2 ? y 2 的最大值为 2 ? 2 .
3 3

4 圆 x ? y ? 4Rx cos ? ? 4Ry sin ? ? 3R ? 0( R ? 0)
2 2 2

的圆心的轨迹是( A ) A.圆 B.直线

C.椭圆

D.双曲线

参数方程和普通方程的互化

? x ? 3 ? cos ? , (? 为参数) 在课本例2中,由参数方程 ? y ? sin ? . ?

直接判断点M的轨迹是什么并不方便,

把它化为我们熟悉的普通方程,有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1, 轨迹是什么就很清楚了
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 把参数方程化为普通方程: 一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程; 在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取 值范围保持一致,否则,互化就是不等价的.

例1 把下列参数方程化为普通方程, 并说明它 们各表示什么曲线 : x ? t ? 1, ? t 为参数? ?1? y ?1?2 t ; x ? sin ? ? cos ? , ?2? y ? 1 ? sin 2? . ?? 为参数?
y
1
-1 O -1 -2

1

2

3

x



?1?由x ?

-3

t ? 1 ? 1有 t ? x ? 1,

图2 ? 6

代入y ? 1 ? 2 t , 得到 y ? ?2 x ? 3.
又x ? t ? 1 ? 1, 所以与参数方程等价的普通方程是 y ? ?2 x ? 3 ? x ? 1 ? .

这是以?1,1?为端点的一条射线 ?包括端点??图2 ? 6?.

?2?观察直接由参数方程表 示的点形成轨迹的过程 .

?2?把x ? sin ? ? cos ?平方
后减去y ? 1 ? sin 2? , 得到 x ? y, 又x ? sin ? ? cos ? ?
2

y

3
2 1 -1 -2

? -1 2 sin ? ? ? ?, 所以 ?4 ? 图2 ? 7 x ? ? 2, 2 . 所以与参数方程等价的普通方程是
O
1

??

2 x

?

?

x 2 ? y, x ? ? 2 , 2 .

这是抛物线的一部分 ?图 2 ? 7?.
这是以 ? 2, 2 、 2, 2 为端点的一段抛物线弧

?

?

?

? ?

?

练习、将下列参数方程化为普通方程:

? x ? 2 ? 3 cos? (1) ? ? y ? 3 sin ?
(1) (x-2)2+y2=9

? x ? sin ? (2) ? ? y ? cos2?

x=t+1/t
(3)

y=t2+1/t2

因为表示整支圆,所以不需要再限定范围

(2) y=1- 2x2(- 1≤x≤1) (3) x2- y=2(x≥2或x≤- 2)

步骤:(1)消参; (2)求定义域。

练习 将下列参数方程化为普通方程
? x ? t 2 ? 2t (1)? 2 y ? t ?2 ?
? x ? cos ? (? 为参数) (2) ? ? y ? cos 2? ? 1

? x? ? ? ( 3 )? ?y ? ? ?

t ?1 t?2 2t t?2

2 ? x? ? ? 1? t2 ( 4 )? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

例2 求参数方程
? ? ? x ? | cos ? sin |, ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? ) ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? ? 2

表示( B ) (A)双曲线的一支, 这支过点(1, 1/2); (B)抛物线的一部分, 这部分过(1, 1/2); (C)双曲线的一支, 这支过点(–1, 1/2); (D)抛物线的一部分, 这部分过(–1, 1/2).

小 结
参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方 法有三种: 1.代入法: 利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数 利用三角恒等式消去参数 2.三角法: 根据参数方程本身的结构特征, 整体上消去 3.整体消元法: 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0:在消参过程中 注意变量x、y取值范围的一致性,必须根据参数的取值 范围,确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。

普通方程化为参数方程:
普通方程化为参数方程需要引入参数:

如:直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0,可以化为参数方程: ?x ? t ( t为参数) ? ? y ? 2t ? 2
一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例 如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变量与参数t的 关系y=g(t),那么:
? x ? f (t )    ? ? y ? g( t )

就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中,必须使x, y的取 值范围保持一致

x y 例 3 求椭圆 ? ? 1的参数方程 : 9 4 ?1? 设 x ? 3cos ? , ?为参数 ;

2

2

? 2 ? 设 y ? 2t , t 为参数. 解 ?1?把x ? 3 cos? 代入椭圆方程 , 得到
所以y 2 ? 4?1 ? cos2 ? ? ? 4 sin 2 ?, 即y ? ?2 sin ?.
由参数? 的任意性, 可取 y ? 2 sin ? , 所以, 椭圆 x ? 3 cos? , x2 y 2 ? ? 1的参数方程是 ? ?为参数? y ? 2 sin ?. 9 4

9 cos ? y ? ? 1, 9 4
2 2

x 2 4t 2 ?2?把y ? 2t代入椭圆方程, 得 ? ? 1, 9 4 2 2 2 于是x ? 9 1 ? t , x ? ?3 1 ? t .

?
2

?

x2 y 2 所以, 椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4
2 x ? ? 3 1 ? t , x ? 3 1?t , ?t为参数? ?t为参数? y ? 2t , y ? 2t ,

思考 为什么例4?2?中的两个参数方程合起 来才 是椭圆的参数方程 ?

练习: 曲线y=x2的一种参数方程是(
2 ? x ? t ? A、 ? 4 y ? t ? ?

).
?x ? t D、 ? 2 y ? t ?

? x ? sin t B、 ? 2 y ? sin t ?

?x ? t ? C、 ? ? ?y ? t

解: 在y=x2中,x∈R,

y≥0,

在A、B、C中,x, y的范围都发生了变化, 因而与 y=x2不等价; 而在D中, x, y范围与y=x2中x, y的范围相同, 代入y=x2后满足该方程,

从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的.

练习 将下列参数方程化为普通方程
? x ? t 2 ? 2t (1)? 2 y ? t ?2 ?
? x ? cos ? (? 为参数) (2) ? ? y ? cos 2? ? 1

? x? ? ? ( 3 )? ?y ? ? ?

t ?1 t?2 2t t?2

2 ? x? ? ? 1? t2 ( 4 )? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

练习 把下列普通方程化为参数方程: (1) y ? x ? y ? 1 ? 0 ,设 y ? t ? 1,t为参数;
2
1 2 1 2 1 2

(2) x ? y ? a

,设

? 为参数。 x ? a cos ? ,
4



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