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高三数学解三角形复习资料【超好资料】

高三数学解三角形复习资料【超好资料】


第2讲
一. 【课标要求】

解三角形

(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一 些简单的三角形度量问题; (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题。

二. 【命题走向】
对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数 的求值以及三角恒等式的证明问题,立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。 今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,结合实际应用 问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题,也可能是中、难度的解 答题

三. 【要点精讲】
1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C
(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 3.三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2)△= absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2 2 2 a sin B sin C b sin C sin A c 2 sin A sin B (3)△= = = ; 2 sin(B ? C ) 2 sin(C ? A) 2 sin( A ? B)
(1)△= (4)△=2R2sinAsinBsinC。 (R 为外接圆半径) (5)△=

abc ; 4R

(6)△= s(s ? a)(s ? b)(s ? c) ; ? s ?

? ?

1 ? ( a ? b ? c) ? ; 2 ?

(7)△=r·s。 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有 一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角
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形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可 分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形 是斜三角形,则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)边与角关系: 正弦定理

余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA; 它们的变形形式有:a = 2R sinA, 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特 点。 (1)角的变换 因为在△ ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。

a b c ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C

b2 ? c2 ? a2 sin A a 。 ? , cos A ? 2bc sin B b

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。

r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半。 (3) 在△ABC 中, 熟记并会证明: ∠A, ∠B, ∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°; △ ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列。

四. 【典例解析】
题型 1:正、余弦定理 例 1. (1)在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ? 81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形; (2)在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边长 精确到 1cm) 。 解析: (1)根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 ) ? 66.20 ;
根据正弦定理,

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

(2)根据正弦定理,

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20 因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. sin B ?
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①当 B ? 640 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,

c?

a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400 a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

②当 B ?1160 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 , c ?

点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解 的情形; (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2. (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A; (2)在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 解析: (1)∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , ∴ A ? 600. 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8, 2 3 < 2?1.8 ? 3.6, ∴ a < c ,即 00 < A < 900 , ∴ A ? 600. (2)由余弦定理的推论得: cos A?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7 A ? 56020? ;

cos B ?

c2 ? a2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 0.8398, ? 2ca 2?134.6?161.7 B ? 32053? ;

? ? 90047?. C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053)
点评:应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。 题型 2:三角形面积 例 3.在 ?ABC 中, sin A ? cos A ? 的面积。
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2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 2

解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。

? sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45? ) ? 1 ? cos(A ? 45? ) ? . 2

2 , 2

又 0 ? A ? 180 , ? A ? 45? ? 60? , A ? 105?.
? ?

? tan A ? tan(45? ? 60? ) ?

1? 3 ? ?2 ? 3 , 1? 3
2? 6 . 4

sin A ? sin 105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos60? ? cos45? sin 60? ?

S ?ABC ?

1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 。 2 2 4 4

解法二:由 sin A ? cos A 计算它的对偶关系式 sin A ? cos A 的值。

? sin A ? cos A ?

2 2
1 2



? (sin A ? cos A) 2 ? ? 2 sin A cos A ? ?

1 2 ? ? ? 0 ? A ? 180 ,? sin A ? 0, cos A ? 0.
? (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2 sin A cos A ? 3 , 2

? sin A ? cos A ?

6 2 sin A ?



① + ② 得

2? 6 。 4 2? 6 。 4

① - ② 得

cos A ?

从而

tan A ?

sin A 2? 6 4 ? ? ? ?2 ? 3 。 cos A 4 2? 6

以下解法略去。 点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算 能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢?
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例 4.在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则 为 解析 .

AC 的值等于 cos A

, AC 的取值范

设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? ? ?

又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30? ? ? ? 45? ?
? ? ? ? ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2 cos ? ? ( 2, 3).

例 5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; 解 (1)因为 cos (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

? ??? ? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

??? ? ??? ? 3 4 A 2 5 2 A ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 ,? cos A ? 2 cos ? 2 5 5 2 5
1 bc sin A ? 2 2

得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

(2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5

例 6.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
分析::此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是
2 2

二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: a?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 ?c, 化简并整理得: 2(a 2 ? c 2 ) ? b2 .又由已知 2ab 2bc
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a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2



又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、 提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再 考的知识和方法了解就行,不必强化训练 题型 4:三角形中求值问题 例 7. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 值,并求出这个最大值。 B+C π A B+C A 解析:由 A+B+C=π ,得 2 = 2 - 2 ,所以有 cos 2 =sin 2。 B+C A A A A 1 3 cosA+2cos 2 =cosA+2sin 2 =1-2sin22 + 2sin 2=-2(sin 2 - 2)2+ 2; π A 1 B+C 3 当 sin 2 = 2,即 A= 3 时, cosA+2cos 2 取得最大值为2。 点评:运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三 角函数的性质求得结果。 例 8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; 解(Ⅰ) cos A ? 2 cos
2

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



B?C 取得最大 2

? ??? ? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ?

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所以 5 5

1 1 4 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为: bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5
第 6 页 共 6 页

所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

点评:本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的 公式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力 题型 5:三角形中的三角恒等变换问题 例 9.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列, 且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及

b sin B 的值。 c 分析:因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求∠A,需找∠A 与三边的关系,故可用
b2 b sin B =a,再用正弦定理可求 的值。 c c 解法一:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac。

余弦定理。由 b2=ac 可变形为

又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。
b2 ? c2 ? a2 bc 1 = = ,∴∠A=60°。 2bc 2bc 2 b sin A 在△ABC 中,由正弦定理得 sinB= ,∵b2=ac,∠A=60°, a

在△ABC 中,由余弦定理得:cosA=

b sin B b 2 sin 60? 3 ? =sin60°= 。 c ac 2 解法二:在△ABC 中,



1 1 bcsinA= acsinB。 2 2 2 ∵b =ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB。
由面积公式得
3 b sin B =sinA= 。 2 c 评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用 正弦定理。



例 10.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的 2 2 2 2

值。 解析:因为 A、B、C 成等差数列,又 A+B+C=180°,所以 A+C=120°, 从而

A?C A?C ? 3 .由两角和的正切公式, =60°,故 tan 2 2

A C ? tan 2 2 ? 3。 得 A C 1 ? tan tan 2 2 tan
所以 tan

A C A C ? tan ? 3 ? 3 tan tan , 2 2 2 2

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tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 3 。 2 2 2 2

点评:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知 角求解,同时结合三角变换公式的逆用。 题型 6:正、余弦定理判断三角形形状 例 11.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B 点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形 方向,通畅解题途径 例 12.在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且

sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵

a ? b ? 2 ?1
第 8 页 共 8 页

∴ ∴

2b ? b ?

2? 1 ∴ b ? 1

a ? 2 ,c ?

5

题型 7:正余弦定理的实际应用 例 13.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后 求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

解:在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? 3 2? 6 , 即 AB= sin 15? ? 20

AB

AC

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。 。 点评:解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换 要求的降低,对三角的综合考查将向三角形中问题伸展,但也不可太难,只要掌握基本知识、 概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关。 (2)为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设 计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和 公式写出计算 M,N 间的距离的步骤

第 9 页 共 9 页

?1 , ?1

解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角;B 点到 M,

N 的俯角 ?2 , ?2 ;A,B 的距离 d (如图所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )

第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如图 所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ?2 ? ?1 )

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ?

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

21.在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且

sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
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解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2? 1 ∴ b ? 1

a ? 2 ,c ?

5

点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的 语言转化为三角的符号语言, 再通过局部的换元, 又将问题转化为我们熟知的函数 f (t ) ? t ? 4 ,
t

这些解题思维的拐点,你能否很快的想到呢?

五. 【思维总结】
1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短边 所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C, 再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C。 2.三角形内切圆的半径: r ?

a ? b ? c斜 2S? ,特别地, r直 ? ; a?b?c 2

3.三角学中的射影定理:在△ABC 中, b ? a ? cos C ? c ? cos A ,? 4.两内角与其正弦值:在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,? 5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角 定理及几何作图来帮助理解” 。 第 11 页 共 11 页



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