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北京市西城区(北区)2014年下学期期末高二数学(理科)复习卷

北京市西城区(北区)2014年下学期期末高二数学(理科)复习卷

北京市西城区 (北区) 2014 年下学期期末高 二数学(理科)复习卷

此篇期末高二数学(理科)复习卷由区教研室命制, 本站 小编收集整理。 试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分,共 40 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 是虚数单位,若复数 满足 ,则 等于 A. B. C. D. 2. 甲骑自行车从 A 地到 B 地, 途中要经过 4 个十字路口,已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都 是 ,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两 个十字路口都没有遇到红灯,直到第 3 个路口才首次遇到红 灯的概率是 A. B. C. D. 3. 函数 的图象在点(2, )处的切线方程是 A. B. C. D. 4. 从 0,1,2,3,4 中随机选两个不同的 数字组成一个两位数,其中偶数有 A. 9 个 B. 10 个 C. 11 个 D. 12 个 5. 设函数 的导函数为 ,若 为奇函数,则有 A. , B. C. D. 6. 已知一个二次函数的图象如图所示, 那么它与 轴所围成的封闭图形的面积等于

A. B. C. D. 7. 将 4 名男生和 4 名女生随机地排成一行, 那么有且只有 2 名男生相邻的概率是 A. B. C. D. 8. 已知函数 ,若同时满足条件: ① , 为 的一个极大值点; ② , 。 则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、 填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分,共 30 分。 把答案填在题中横线上。 9. 的二项展开式中的常数项为__________。 (用数字作 答) 10. 如果函数 ,那么 __________。 11. 已知某随机变量 X 的分布列如下( ): X1-1 P 且 X 的数学期望 ,那么 X 的方差 D(X)=__________。 12. 已知函数 的图象在 和 处的切线互相平行,则实 数 __________。 13. 有 5 名男医生和 3 名女医生,现要从中选 6 名医 生组成 2 个地震医疗小组,要求每个小组有 2 名男医生和 1 名女医生,那么有__________种不同的组队方法。(用数字作 答)

14. 设函数 ,其中 ,且 ,给出下列三个结论: ①函数 在区间( )内不存在零点; ②函数 在区间( )内存在唯一零点; ③设 为函数 在区间( )内的零点,则 。 其中所有正确结论的序号为__________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 甲、 乙两人练习投篮, 每次投篮命中的概率分别为 , , 设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响。 (I)如果甲、乙两人各投篮 1 次,求两人投篮都没有命 中的概率; (II)如果甲投篮 3 次, 求甲至多有 1 次投篮命中的概率。 16. (本小题满分 13 分) 设函数 ,且 ,其中 ,2,3,…。 (I)计算 的值; (II)猜想数列 的通项公式,并用数字归纳法加以证明。 17. (本小题满分 13 分) 已知函数 。 (I)求函数 的单调区间; (II)设 ,求函数 在区间 上的最小值。 18. (本小题满分 13 分)

箱中装有 4 个白球和 个黑球。规定取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分,现从箱中任取 3 个球,假设每个 球被取出的可能性都相等。 记随机变量 X 为取出的 3 个球所 得分数之和。 (I)若 ,求 的值; (II)当 时,求 X 的分布列和数字期望 E(X)。 19. (本小题满分 14 分) 请先阅读: 设平面向量 ,且 与 的夹角为 , 因为 , 所以 。 即 , 当且仅当 时,等号成立。 (I)利用上述想法(或其他方法),结合空间向量,证明: 对于任意 , , , ,都有 成立; (II)试求函数 的最大值。 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 , 。 (I)求函数 的解析式; (II)若对于任意 ,都有 成立,求实数 的取值范围; (III)设 , ,且 ,求证: 。 【试题答案】

一、 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分,共 40 分。 1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A 8. A 二、 填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分,共 30 分。 9. 160 10. 11. 12. -1 13. 90 14. ②③ 注:第 14 题多选、少选均不得分。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。(如有其他 方法,仿此给分) 15. (本小题满分 13 分) (I)解:记“甲、乙两人各投篮 1 次,且都没有命中”为 事件 A。(1 分) 因为甲每次投篮命中的概率为 , 所以甲投篮一次且没有命中的概率为 。(2 分) 同理,乙投篮一次且没有命中的概率为 。(3 分) 所以 。 答: 甲、 乙两人各投篮 1 次, 且都没有命中的概率为 。 (6 分) (II)解:记“甲投篮 3 次,且至多有 1 次投篮命中”为事 件 B。(7 分) 因为甲每次投篮命中的概率为 , 所以甲投篮 3 次,且都没命中的概率为 ,(9 分) 甲投篮 3 次,且恰有 1 次投篮命中的概率为 (11 分) 所以 。

答:甲投篮 3 次,且至多有 1 次投篮命中的概率为 。 (13 分) 16. (本小题满分 13 分) (I)解:由题意,得 ,(1 分) 因为 , 所以 , 。(3 分) (II)解:由 ,猜想 (5 分) 以下用数字归纳法证明: 对任何的 , 证明: ①当 时, 由已知,左边 ,右边 ,所以等式成立。(7 分) ②假设当 时等式成立,即 ,(8 分) 则 时, 。 所以当 时,猜想也成立。(12 分) 根据①和②,可知猜想对于任何 都成立。(13 分) 17. (本小题满分 13 分) (I)解:因为 。(2 分) 令 ,解得 。(3 分) 当 变化时, 与 的变化情况如下表: -0+ 极小值 (5 分) 所以函数 在( )上单调递减,在 上单调递增。(6 分) (II)解:当 时,

因为函数 在( )上单调递减, 所以当 时,函数 有最小值 。(8 分) 当 时, 因为函数 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以当 时,函数 有最小值 。(10 分) 当 时, 因为函数 在( )上单调递增, 所以当 时,函数 有最小值 。(12 分) 综上,当 时,函数 在 上的最小值为 ; 当 时,函数 在 上的最小值为 ;; 当 时,函数 在 上的最小值为 。(13 分) 18. (本小题满分 13 分) (I)解:由题意,得取出的 3 个球都是白球时,随机变 量 。(1 分) 所以 ,(3 分) 即 , 解得 。(5 分) (II)解:由题意,得 X 的可能取值为 3,4,5,6。(6 分) 则 , , 。

。(10 分) X 的分布列为: X3456 P (11 分) 所以 。(13 分) 19. (本小题满分 14 分) (I)证明:设空间向量 ,且 与 的夹角为 , 因为 , 所以 ,(3 分) 即 (6 分) 所以 , 当且仅当 时,等号成立。(7 分) (II)解;设空间向量 , ,且 与 的夹角为 ,(9 分) 因为 , 所以 , 即 ,(12 分) 当且仅当 (即 与 共线,且方向相同)时,等号成立。 所以当 时,即 时,函数 有最大值 。(14 分) 20. (本小题满分 14 分) (I)解:因为 , 所以 。(2 分)

令 ,得 , 所以 。 (II)解:设 , 则 ,(5 分) 令 ,解得 。(6 分) 当 变化时, 与 的变化情况如下表: (0,1)1 +0极小值 所以当 时, 。(8 分) 因为对于任意 ,都有 成立, 所以 。(9 分) (III)证明:由(II),得 ,即 , 令 ,得 , 令 ,得 ,(11 分) 所以 因为 , 所以 ,(13 分) 所以 , 即 , 所以 , 所以 (14 分)

此篇期末高二数学(理科)复习卷由陈毅飞老师友情提 供,仅供参考。 北京市北京市高二数学北京市高二数学西城区


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