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2014年河南省高考试题(全国课标Ⅰ卷)——数学文

2014年河南省高考试题(全国课标Ⅰ卷)——数学文


2014 年河南普通高等学校招生全国统一考试(全国课标 I)

数学(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | ?2 ? x ? 1?,则 M A. (?2,1) (2)若 tan ? ? 0 ,则 A. sin ? ? 0 (3)设 z ? B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0 D. cos 2? ? 0 B. (?1,1) C. (1,3)

B?
D. (?2,3)

1 ? i ,则 | z |? 1? i 1 2 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? (4)已知双曲线 2 ? a 3 6 5 A. 2 B. C. D. 1 2 2 (5)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中
正确的是 A. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 C. f ( x) g ( x) 是偶函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

(6)设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? A. BC B.

1 AD 2

C. AD

D.

(7)在函数① y ? cos | 2 x | , ② y ?| cos x | , ③ y ? cos( 2 x ?

?

1 BC 2

小正周期为 ? 的所有函数为 A. ② ④ B. ① ③ ④ C. ① ② ③ D. ① ③ (8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几 何体是 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 (9)执行右面的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出 的M ?

) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中, 最 6 4

?

1

7 2 15 D. 8 2 (10) 已知抛物线 C: y ? x 的焦点为 F , A?x0, y 20 3 16 C. 5
A. B. 是 C 上一点, A F ? A. 4 C. 1

0

?

5 ,则 x0 ? 4 x0
B. 2 D. 8

(11)设 x , y 满足约束条件 ? 小值为 7,则 a ? A. -5 C. -5 或 3

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最 ? x ? y ? ?1,

B. 3 D. 5 或-3

(12)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 , 若 f ( x ) 存在唯一的零 点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. C.

? ??, ?2? ? 2, ???

B. ?1, ?? ?

D.

? ??, ?1?
第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率 为________. (14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、 C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.

?e x ?1 , x ? 1, ? (15)设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是________. 3 ? ? x , x ? 1, (16)如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山 的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得 ?MCA ? 60? .已知山 高 BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2

(17)(本小题满分 12 分) (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
2

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

(18)(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表 得如下频数分布表: 质量指标值 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 分组 6 26 38 22 8 频数 (I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 19(本题满分12分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,

B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C .
(1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1, 求 三 棱 柱
?

ABC ? A1B1C1 的高.
20.(本小题满分 12 分)
3

已知点 P(2,2) ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积 21(12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? 0 (1)求 b; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜率为 2
a ,求 a 的取值范围。 a ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答 时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E , 且 CB ? CE . (I)证明: ?D ? ?E ; (II)设 AD 不是 O 的直径, AD 的中点为 M ,且 MB ? MC ,证明: ?ADE 为等边三角形.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最
已知曲线 C : 小值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0, 且
3 3

1 1 ? ? ab a b

(I)求 a ? b 的最小值; (II)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

文科数学参考答案
选择题答案
4

一、选择题 1—5BABDA 二、填空题 13.

6—12 CCBDCBA

2 3

14.A 15.(-∞, 8 ] 16.150

17. 【解析】 (I)方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为2,3,由题意得 a2 ? 2 ,a4 ? 3 ,设数列 ?an ? 的

3 1 a ? 1 公差为 d,,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d= ,从而 2, 2
所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ?

1 n ?1 2

????6 分

a n?2 ? an ? 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n ? n ?1 , n n ? 2 2 ?2 ? 3 4 5 n ?1 n ? 2 则: S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 两式相减得 2 2 2 2 2 2 1 3 ?1 1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? ? n?1 ? ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 2 4 ?2 2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2 n?4 所以 S n ? 2 ? n ?1 ???12 分 2
18. 【解析】 (I)

????4分 (II)质量指标值的样本平均数为

x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 .
质量指标值的样本方差为
5

s 2 ? ? ?20 ? ? 0.06 ? ? ?10 ? ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? ?10 ? ? 0.22 ? ? 20 ? ? 0.08 ? 104 …10 分
2 2 2 2

(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计 值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部 产品80%”的规定. …………….12 分

19. 【解析】 (I)连结 BC1 ,则 O 为 BC1 与 B1C 的交点,因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以

B1C ? BC1
面 ABO , 故 B1C ? AB

,又 AO ? 平面 BB1C1C ,故 B1C ? AO

B1C ? 平面 ABO ,由于 AB ? 平

???6 分

(II) 作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H, 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC. 因为 ?CBB1 ? 60? , , 所以△ BC ? 1, CBB1 为等边三角形,又 BC=1,可得OD=

3 ,由于 AC ? AB1 ,所以 4 1 1 OA ? B1C ? ,由 OH·AD=OD·OA,且 2 2 7 21 ,得OH= AD ? OD 2 ? OA2 ? 4 14 21 21 ,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为 7 7
……………………….12 分

又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为

20. 【解析】 (I) 圆C的方程可化为 x ? ? y ? 4 ? ? 16 , 所以圆心为 C(0,4),半径为 4.
2 2

设M(x,y),则 CM ? ( x, y ? 4) ,

MP ? (2 ? x, 2 ? y ) ,,由题设知 CM MP ? 0 ,故

x ? 2 ? x ? ? ? y ? 4 ?? 2 ? y ? ? 0 ,即

? x ? 1? ? ? y ? 3?
2

2

?2 ? 2 ???? 6 分

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是

? x ? 1? ? ? y ? 3?
2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM.
6

因为ON 的斜率为3,所以 l 的斜率为 ? ,直线 l 的方程为: y ? ? 又 OM ? OP ? 2 2 , O 到 l 的距离为 所以 ?POM 的面积为:

1 3

1 8 x? 3 3

4 10 4 10 , PM ? , 5 5
?????12 分

16 . 5

a 由题设知 f ?(1) ? 0 ,解得 b ?1. …………4 分 ? (1 ? a) x ? b , x 1? a 2 (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,??),由(Ⅰ)知, f ( x) ? a ln x ? x ?x, 2 a 1? a ? a ? f ?( x) ? ? (1 ? a ) x ? 1 ? ?x? ? ? x ? 1? x x ? 1? a ? 1 a (i)若 a ? ,则 ? 1 ,故当x?(1,??)时, f '(x) ??0 , f (x)在(1,??)上单调递增. 2 1? a a a 1? a a 所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x0 ) ? 的充要条件为 f (1) ? ,即 ?1 ? 1? a 1? a 2 1? a 所以? 2 ?1 ??a ?? 2 ?1; 1 a a a (ii)若 ? a ? 1 ,则 )时, f '(x) <?0 , x?( ? 1 ,故当x?(1, , ?? ) 2 1? a 1? a 1? a a a 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)在(1, )上单调递减,f (x)在 , ?? 单调递增. 1? a 1? a a a a 所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x0 ) ? 的充要条件为 f ( ,而 )? 1? a 1? a 1? a a a a2 a a ,所以不和题意. f( ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2 ?1 ? a ? 1 ? a 1 ? a
21. 【解析】 (I) f ?( x) ?

1? a ?1 ? a a 。 ?1 ? ? 2 2 a ?1 综上,a 的取值范围为: ? 2 ? 1, 2 ? 1 ? ?1, ?? ?
(ⅲ) 若 a ? 1 ,则 f (1) ?

?

?

22. 【解析】(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆,所以

N

? D= ? CBE,由已知得, ? CBE= ? E ,
所以 ? D= ? ?????5 分 知 MN⊥ 所以 O 在 MN 上,又 AD (Ⅱ)设 BCN 中点为,连接 MN,则由 MB=

不是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OM⊥AD, 即 MN⊥AD,所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE, 又 ? CBE= ? E,故 ? A= ? 由(Ⅰ)(1)知 ? D= ? E, 所以△ADE 为等边三角
7

形.

?????10 分

23. 【解析】(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0

? x ? 2 cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) , ???5 分

(Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5 d 2 5 4 则 | PA |? ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 sin 30 5 3 22 5 当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为 ; 5 2 5 当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为 . ????10 分 5 1 1 2 24. 【解析】(Ⅰ) 由 ab ? ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, a b ab d?
故 a ? b ? 3 a b ? 4 2 ,且当 a ? b ?
3 3 3 3

2 时等号成立,
???5 分

∴ a ? b 的最小值为 4 2 .
3 3

(Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ? 所以不存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立.

3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾, 2
?????10 分

8



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