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上海市金山中学_2017学年高二数学下学期期末考试试题

上海市金山中学_2017学年高二数学下学期期末考试试题

上海市金山中学 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题

(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

一、填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分,第 7 题

至第 12 题每小题 5 分,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,否则一律得零分.

1. ? x ?1?5 的展开式中 x2 项的系数为



? ? 2.已知直线 l 经过点 ? 5, 0 且方向向量为 ?2, ?1? ,则原点 O 到直线 l 的距离为

.

? ? ? ? 3.已知全集U ? R ,集合 A ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0, x ? R , B ? x m ? 2 ? x ? m ? 2, x ? R ,

若 ?CU A? B ? ?x 0 ? x ? 3, x ? R?,则实数 m 的值为

.

?x ? y ? 12, 4.若变量 x, y 满足约束条件 ??2x ? y ? 0, 则 z ? y ? x 的最小值为_________.
??x ? 2 y ? 0,

5.直线

??x ?

?

?2

?

2t (t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于

2 的点的坐标是

.

?? y ? 3 ? 2t

6.某学生在上学的路上要经过 2 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红

灯的概率都是 1 ,则这名学生在上学路上到第二个路口时第一 3

次遇到红灯的概率是

.

频率 /组距 0.025

7.某学校随机抽取100 名学生调查其上学所需时间(单位:分钟),

并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需

x
0. 006 5

时间的范围是 ?0,100?,样本数据分组为 ?0, 20? ,?20, 40? ,

0.003 O

20 40 60 80 100

时间

?40,60? ,?60,80? ,?80,100? .则该校学生上学所需时间的

均值估计为

.(精确到1 分钟).

8.一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,若取一个红球记 2 分,取一

个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 分的取法有多少种

.

9. 如图,三棱锥 P ? ABC 满足:AB ? AC ,AB ? AP ,AB ? 2 ,AP ? AC ? 4 ,

则该三棱锥的体积 V 的取值范围是



(第 9 题图)

- 1 - / 11

10 . P 是 双 曲 线 x2 ? y2 ? 1 的 右 支 上 一 点 , M , N 分 别 是 圆 (x ? 5)2 ? y2 ? 4 和 9 16

(x ? 5)2 ? y2 ? 1上的点,则 PM ? PN 的最大值等于

.

? ? 11.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 及其内部一动点 P ,集合 Q ? P PA ? 1 ,则集合

Q 构成的几何体表面积为

.

12.在直角坐标平面 xoy 中,已知两定点 F1(?1, 0) 与 F2 (1, 0) 位于动直线 l : ax ? by ? c ? 0 的
? 同侧,设集合 P ? l∣点 F1 与点 F2 到直线 l 的距离之差等于 1? ,
? ? Q ? (x, y) x2 ? y2 ? 1, x、y ? R ,记 S ? ?(x, y) (x, y) ?l,l ? P?,

? ? T ? (x, y) (x, y) ?Q S . 则 由 T 中 的 所 有 点 所 组 成 的 图 形 的 面 积



.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的 相 应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
? ? 13 .已知? 为实数,若复数 z ? sin 2? ?1? i 2 cos? ?1 是纯虚数,则 z 的虚部为( )

A.2

B.0

C . ?2

D . ?2i

14.已知条件? :“直线 l 在两条坐标轴上的截距相等”,条件 ? :“直线 l 的斜率等于 ?1”,

则? 是? 的

()

A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条



15.如图,在空间直角坐标系中,已知直三棱柱的顶点 A 在 x 轴上,

AB 平行于 y 轴,侧棱 AA1 平行于 z 轴.当顶点 C 在 y 轴正半轴上
运动时,以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是 ()

z

A1

C1

B1

C

A .该三棱柱主视图的投影不发生变化; B .该三棱柱左视图的投影不发生变 化;

xA

y B

C .该三棱柱俯视图的投影不发生变化;

D .该三棱柱三个视图的投影都不发生变化.

- 2 - / 11

1 6.如图,两个椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 , y 2 ? x 2 ? 1 内部重叠区域的边界记为曲线 C , P 是曲

25 9

25 9

线 C 上任意一点,给出下列三个判断:

① P 到 F1?? 4,0?、 F2 ?4,0?、 E1 ?0,?4?、 E2 ?0, 4? 四点的距离之和为定值;

②曲线 C 关于直线 y ? x 、 y ? ?x 均对称;

③曲线 C 所围区域面积必小于 36 .
上述判断中正确命题的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分 14 分)已知复数 z1 满足 ?1? i? z1 ?1? 3i ,z2 ? a ? i ?a ?R?(其中 i 是虚数单

位),若 z1 ? z2 ? 2 z1 ,求 a 的取值范围.
18.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分.

如图,直四棱柱 ABCD? A1 B1 C1 D1底面 ABCD直角梯形, AB// CD , ?BAD ? 90? , P 是棱 CD 上一点, AB ? 2 ,

D1 A1

C1
B1

AD ? 2 , AA1 ? 3 , CP ? 3 , PD ? 1. (1)求异面直线 A1P 与 BC1 所成的角;

D P

C

A

B

(2)求证: PB ? 平面 BCC1B1 .
19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
如图,圆锥的顶点为 P ,底面圆心为 O ,线段 AB 和线段 CD 都是底面圆的 直径,且直线 AB 与直线 CD 的夹角为 ? ,已知 OA ?1, PA ? 2 .
2
(1)求该圆锥的体积;
(2)求证:直线 AC 平行于平面 PBD ,并求直线 AC 到平面 PBD 的距离.
20.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满 分 5 分,第 3 小题满分 6 分.
阅读:

- 3 - / 11

已知 a,b??0, ??? , a ? b ?1,求 y ? 1 ? 2 的最小值.
ab

解法如下:

y

?

1 a

?

2 b

?

? ??

1 a

?

2 b

? ??

?

a

?

b?

?

b a

?

2a b

?

3

?

3

?

2

2,

当且仅当 b ? 2a ,即 a ? 2 ?1, b ? 2 ? ab
则 y ? 1 ? 2 的最小值为 3 ? 2 2 . ab

2 时取到等号,

应用上述解法,求解下列问题:

(1)已知 a,b,c ??0, ??? , a ? b ? c ?1,求 y ? 1 ? 1 ? 1 的最小值;
abc

(2)已知

x

?

? ??

0,

1 2

? ??

,求函数

y

?

1 x

?

1

8 ?2

x

的最小值;

(3)已知正数 a1, a2 , a3, , an , a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? 1,

求证: S ? a12 ? a22 ? a32 ? ? an2 ? 1 .

a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a4

an ? a1 2

21.( 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小

题满分 8 分.

设椭圆 E1 的长半轴长为 a1 、短半轴长为 b1 ,椭圆 E2 的长半轴长为 a2 、短半轴长为 b2 ,若

a1 a2

?

b1 b2

,则我们称椭圆 E1 与椭圆 E2 是相似椭圆.已知椭圆 E :

x2 2

?

y2

? 1 ,其左顶点为 A 、

右顶点为 B .

(1)设椭圆 E 与椭圆 F : x2 ? y2 ? 1 是“相 似椭圆”,求常数 s 的值; s2

(2)设椭圆 G :

x2 2

?

y2

?

? ?0

?

?

? 1?

,过

A 作斜率为 k1 的直线 l1 与椭圆 G

仅有一个公共点,

过椭圆 E 的上顶点为 D 作斜率为 k2 的直线 l2 与椭圆 G 仅有一个公共点,当 ? 为何值时

k1 ? k2 取得最小值,并求其最小值;

(3)已知椭圆 E 与椭圆 H : x2 ? y2 ? 1?t ? 2? 是相似椭圆.椭圆 H 上异于 A, B 的任意一点
2t

- 4 - / 11

C ? x0, y0 ? ,求证: ?ABC 的垂心 M 在椭圆 E 上.
金山中学 2016 学年第二学期高二数学期末考试参考答案 2017 年 6 月

(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

一、填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分,第 7 题

至第 12 题每小题 5 分,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,否则一律得零分.

1. ? x ?1?5 的展开式中 x2 项的系数为 10



? ? 2.已知直线 l 经过点 ? 5, 0 且方向向量为 ?2, ?1? ,则原点 O 到直线 l 的距离为 1 .

? ? ? ? 3.已知全集U ? R ,集合 A ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0, x ? R , B ? x m ? 2 ? x ? m ? 2 ,

? ? 若 ?CU A?? B ? x 0 ? x ? 3 ,则实数 m 的值为

2

.

?x ? y ? 12, 4.若变量 x, y 满足约束条件 ??2x ? y ? 0, 则 z ? y ? x 的最小值为____ ? 4 _____.
??x ? 2 y ? 0,

5.



线

??x ?

?

?2

?

2t (t为参数) 上与点 A(?2, 3)的距离等于

2 的点的坐标是

?? 3,4? 或

?? y ? 3 ? 2t

??1,2? .

6.某学生在上学的路上要经过 2 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红

灯的概 率都是 1 ,则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 3

2

.

9

7.某学校随机抽取100 名学生调查其上学所需时间(单位:分钟),
并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需
时间的范围是 [0,100],样本数据分组为[0, 20) ,[20, 40) ,

频率 /组距 0.025

[40, 60) ,[60, 80) ,[80,100].则该校学生上学所需时间的均
值估计为___ 34 __.(精确到1 分钟).

x

0. 006 5 0.003
O

20 40 60 80 100

时间

8.一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,若取一个红

- 5 - / 11

球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 分的取法 有多少种
186 .

9.如图,三棱锥 P ? ABC 满足: AB ? AC , AB ? AP , AB ? 2 , AP ? AC ? 4 ,则该三棱

锥的体积 V 的取值范围是

?? ?

0,

4 3

? ??



10 . P 是 双 曲 线 x2 - y2 =1 的 右 支 上 一 点 , M , N 分 别 是 圆 (x ? 5)2 ? y2 ? 4 和 9 16

(x ? 5)2 ? y2 ? 1上的点,则 PM ? PN 的最大值等于 9

.

? ? 11.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 及其内部一动点 P ,集合 Q ? P PA ? 1 ,则集合

Q 构成的几何体表面积为 5?

.

4

12.在直角坐标平面 xoy 中,已知两定点 F1(?1, 0) 与 F2 (1, 0) 位于动直线 l : ax ? by ? c ? 0 的
? 同侧,设集合 P ? l∣点 F1 与点 F2 到直线 l 的距离之差等于1? ,

? ? Q ? (x, y) x2 ? y2 ? 1, x、y ? R ,记 S ? ?(x, y) (x, y) ?l,l ? P?,

? ? T ? (x, y) (x, y) ?Q S .则由T 中的所有点所组成的图形的面积是__ ? ? 3 __. 32

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对 得 5 分,否则一律得零分.
? ? 13.已知? 为实数,若复数 z ? sin 2? ?1? i 2 cos? ?1 是纯虚数,则 z 的虚部为( C )

A.2

B.0

C . ?2

D . ?2i

14.已知条件? :“直线 l 在两条坐标轴上的截距相等”,条件 ? :“直线 l 的斜率等于 ?1”,

则? 是? 的

(B )

A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件 15.如图,在空间直角坐标系中,已知直三棱柱的顶点 A 在 x 轴

上,AB 平行于 y 轴,侧棱 AA1 平行于 z 轴. 当顶点 C 在 y 轴

z

正半轴上运动时,以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的

A1

C1 B1

- 6 - / 11

xA

C y
B



(B )

A .该三棱柱主视图的投影不发生变化;

B .该三棱柱左视图的投影不发生变化;

C .该三棱柱俯视图的投影不发生变化;

D .该三棱柱三个视图的 投影都不发生变化.

16.如图,两个椭圆 x 2 ? y 2 ? 1, y 2 ? x 2 ? 1内部重叠区域的边界记为曲线 C ,P 是曲线

25 9

25 9

C 上任意一点,给出下列三个判断:

① P 到 F1?? 4,0?、F2 ?4,0?、E1?0,?4?、E2 ?0, 4? 四点的距离之和

为定值;

②曲线 C 关于直线 y ? x 、 y ? ?x 均对称;

③曲线 C 所围区域面积必小于 36 .
上述判断中正确命题的个数为( C ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分 14 分)已知复数 z1 满足 ?1? i? z1 ?1? 3i ,z2 ? a ? i ?a ?R?(其中 i 是虚数单

位),若 z1 ? z2 ? 2 z1 ,求 a 的取值范围.

解: z1 ? ?1 ? 2i , z2 ? a ? i ,
??1 ? a?2 ? 1 ? 2 ? 5 即 ?a ? 1?2 ? 9 ,

解得 a ? ?4 或 a ? 2
18.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分.

如图,直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 底面 ABCD 直角梯形,

AB ∥ CD ,?BAD ? 90? ,P 是棱 CD 上一点,AB ? 2 ,

D1

C1

AD ? 2 , AA1 ? 3 , CP ? 3 , PD ? 1. (1)求异面直线 A1P 与 BC1 所成的角;

A1

B1

D P

C

- 7 - / 11

A

B

(2)求证: PB ? 平面 BCC1B1 ..

解 :( 1 ) 以 D 原 点 , DA, DC, DD1 分 别 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

? ? ? ? A1 2,0,3 , P?0,1,0? , B 2, 2,0 , C1 ?0, 4,3? . 于 是

? ? ? ? PA1 ? 2 ? , , B1C1 ?, ? 32, 2,3 ,

cos? ? PA1 ? BC1 ? 5 ? 5 PA1 ? BC1 12 ? 15 6

z

D1

C1

?异面直线 A1P 与 BC1 所成的角的大小等于 arccos

5. 6

A1

B1

? ? ? ? (2) PB ? 2,1,0 , BC ? ? 2,2,0 , BB1 ? ?0,0,3?

DO P

? PB ? BC ? 0 , PB? BB1 ? 0

A

B

x

? PB ? BC , PB ? BB1 ,? PB ? 平面BCC1B1 .

y
C

19.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

如图,圆锥的顶点为 P ,底面圆心为 O ,线段 AB 和线段 CD 都是底面圆的直径,且直线 AB 与直线 CD 的夹角为 ? ,已知 OA ?1, PA ? 2 .
2
(1)求该圆锥的体积;

(2)求证:直线 AC 平行于平面 PBD ,并求直线 AC 到平面

PBD 的距离.

解: (1)设圆锥的高为 h ,底面半径为 r ,则 r ? 1, h ? 3 ,

∴圆锥的体积V ? 1 Sh ? 3 ? ;

3

3

(2)证明:由对称性得 AC // BD,

∵ AC 不在平面 PBD, BD ? 平面 PBD,

∴ AC // 平面 PBD,

∴C 到平面 PBD的距离即直线 AC 到平面 PBD的距离,

设 C 到平面 PBD的距离为 d

,则由 VC ? PBD

?

VP?

BCD

,得

1 3

S

?PBD

?d

?

1 3

S

?BCD

?h,

- 8 - / 11

可得 1 ? 7 d ? 1 ?1? 4 ?1 ,∴ d ? 2 21 ,

32 3

7

∴直线 AC 到平面 PBD的距离为 2 21 . 7

20.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小

题满分 6 分.

阅读:

已知 a,b??0, ??? , a ? b ?1,求 y ? 1 ? 2 的最小值.
ab

解法如下:

y

?

1 a

?

2 b

?

? ??

1 a

?

2 b

? ??

?

a

?

b?

?

b a

?

2a b

?

3

?

3

?

2

2,

当且仅当 b ? 2a ,即 a ? 2 ?1, b ? 2 ? ab
则 y ? 1 ? 2 的最小值为 3 ? 2 2 . ab

2 时取到等号,

应用上述解法,求解下列问题:

(1)已知 a,b,c ??0, ??? , a ? b ? c ?1,求 y ? 1 ? 1 ? 1 的最小值;
abc

(2)已知

x

?

? ??

0,

1 2

? ??

,求函数

y

?

1 x

?

1

8 ?2

x

的最小值;

(3)已知正数 a1, a2 , a3, , an , a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? 1,

求证: S ? a12 ? a22 ? a32 ? ? an2 ? 1 .

a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a4

an ? a1 2

解(1)

y

?

1 a

?

1 b

?

1 c

?

? ??

1 a

?

1 b

?

1 c

? ??

?a

?

b

?

c?

?

3

?

? ??

b a

?

a b

?

c a

?

a c

?

c b

?

b c

? ??



而 b ? a ? c ? a ? c ? b ? 6 ,当且仅当 a ? b ? c ? 1 时取到等号,则 y ? 9 ,

abacbc

3

即 y ? 1 ? 1 ? 1 的最小值为 9 . abc

(2)

y

?

2 2x

?

8 1? 2x

?

? ??

2 2x

?

8 1? 2x

? ??

??2x

?1?

2x?

?

10

?

2

?1? 2x 2x

?

8? 2x 1? 2x





x

?

? ??

0,

1 2

? ??



2?1? 2x 2x

?

8? 2x 1? 2x

?

2

16 ? 8 ,

- 9 - / 11

当且仅当

2?1? 2x 2x

?

8? 2x 1? 2x

,即

x

?

1 6

?

? ??

0,

1 2

? ??

时取到等号,则

y

?

18



所以函数 y ? 1 ? 8 的最小值为18 . x 1? 2x

(3) 2S

?

? ? ?

a12 a1 ? a2

?

a22 a2 ? a3

?

?

an2 an ?

a1

? ? ?

???

a1

?

a2

?

?

? a2

?

a3

?

?

? ?an ? a1 ???

? ? ? a12 ? a22 ?

? an2

?

? ? ?

a12 a1 ? a2

? ? a2

?

a3

?

?

a22 a2 ? a3

?

? a1

?

a2

?

?

?

an2 an ?

a1

? ? a1

?

a2

?

?

a12 a1 ? a2

? ? an

?

a1

???
?

? ? ? a12 ? a22 ? ? an2 ? ?2a1a2 ? 2a2a3 ? ? 2ana1 ? ? ?a1 ? a2 ? ? an ?2 ? 1

当且仅当 a1 ? a2 ?

?

an

?

1 n

时取到等号,则 S

?

1 2

.

21.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小

题满分 8 分.

设椭圆 E1 的长半轴长为 a1 、短半轴 长为 b1 ,椭圆 E2 的长半轴长为 a2 、短半轴长为 b2 ,若

a1 a2

?

b1 b2

,则我们称椭圆 E1 与椭圆 E2 是相似椭圆.已知椭圆 E :

x2 2

?

y2

? 1 ,其左顶点为 A 、

右顶点为 B .

(1)设椭圆 E 与椭圆 F : x2 ? y2 ? 1 是“相似椭圆”,求常数 s 的值; s2

(2)设椭圆 G :

x2 2

?

y2

?

? ?0

?

?

? 1?

,过

A 作斜率为 k1 的直线 l1 与椭圆 G

仅有一个公共点,

过椭圆 E 的上顶点为 D 作斜率为 k2 的直线 l2 与椭圆 G 仅有一个公共点,当 ? 为何值时

k1 ? k2 取得最小值,并求其最小值;

(3)已知椭圆 E 与椭圆 H : x2 ? y2 ? 1?t ? 2? 是相似椭圆.椭圆 H 上异于 A, B 的任意一点
2t

C ? x0, y0 ? ,求证: ?ABC 的 垂心 M 在椭圆 E 上.

解:(1) 显然椭圆 E 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1, 2
由椭圆 E 与 F 相似易得:

- 10 - / 11

当 s ? 2 时, 2 ? 1 ? s ? 4 ; s2
当 0 ? s ? 2 时, 2 ? 1 ? s ? 1. 2s
则 s ? 4 或1;
? ? (2)易得 A ? 2,0 , D?0,1? ,

? ? 可得 l1,l2 的方程分别为 y ? k1 x ? 2 , y ? k2 x ? 1,

? ? ? ? 依题意联立:

? ? ? ?

y x

? k1
2
?y

x
2

? ?

?

2

?2

? 1 ? 2k12 x 2 ? 4

2k12 x ? 4k12 ? 2? ? 0 ,

? ?? ? 又直线 l1 与椭圆 G 相切,则 ?1 ? 0 (又 0 ? ? ? 1),即 32k14 ? 4 1 ? 2k12 4k12 ? 2? ? 0 ,

即 k1 ?

1 2

?, 1? ?

? ? 依题意再联立:

? ? ? ??

y?k x2
? 2

2x y2

?1 ??

?

1 ? 2k22

x2

? 4k2 x ? 2 ? 2?

? 0,

? ? 又直线 l2 与椭圆 G 相切,则 ? 2 ? 0 (又 0 ? ? ? 1),即16k22 ? 4 1 ? 2k22 ?2 ? 2? ? ? 0 ,

即 k2

?

1 2

1?? ?

,故 k1k2

?1, 2

即 k1 ? k2 ? 2

k1k2 ?

2 ,当且仅当 k1

?

k2

时取到等号,此时 ?

?

1, 2

所以当时,取得最小值.

(3)证明:显然椭圆,由,可得,

即有椭圆.

由椭圆上的任意一点,于是①

设的垂心的坐标为,

由得,又,

将代入,得②

由①②得.

又代入(1)得,即的垂心在椭圆上.

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