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2015全国各省高考数学题文科(精心汇编)

2015全国各省高考数学题文科(精心汇编)


绝密★启封并使用完毕前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅰ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。
1、已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14} ,则集合 A (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2

B 中的元素个数为

2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? (A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

3、已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) (A) ?2 ? i (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i 4、如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从

1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )
(A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

5、 已知椭圆 E 的中心为坐标原点, 离心率为

1 2 , E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8 x 的焦点重合, 2

A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ?
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 6、 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有 委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角 处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆 的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立 方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛 7、已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( ) (A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12 )

8、函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为( (A) ( k? ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

(B) (2k? ?

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4

-1-

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4 9、执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( ) (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 12
(C) ( k ? (D) (2k ?

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 10、已知函数 f ( x) ? ? ,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
(A) ?

4 7

(B) ?

5 4

(C) ?

3 4

(D) ?

1 4

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图中 的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( ) (A ) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
x?a 12、设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2 的图像关于直线 y ? ? x 对称,且 f (?2) ? f (?4) ? 1 ,

则 a ?( ) (A) ?1

(B) 1

(C) 2

(D) 4

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ?
3

.

14. 已 知 函 数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 的 图 像 在 点 1, f ?1? 的 处 的 切 线 过 点 ? 2, 7 ? , 则

?

?

a?

.

? x? y?2?0 ? 15. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



-2-

16.已知 P 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8

2

?

?

,当 ?APF 周

长最小时,该三角形的面积为 三、解答题

sin B ? 2sin A sin C . 17. (本小题满分 12 分) 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,
(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD , (I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

-3-

19. (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费

xi ,和年销售量 yi ? i ? 1, 2,3,
值.

,8? 的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问 题: (i)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 截距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和

-4-

20 (本小题满分 12 分) 已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交
2 2

于 M,N 两点. (I)求 k 的取值范围; (II) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN .

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e

2x

? a ln x .
2 . a

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

-5-

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是圆 O 直径,AC 是圆 O 切线,BC 交圆 O 与点 E. (I)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是圆 O 切线; (II)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 C1 : x ? ?2 , 圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 , 以坐标原点为极点,x
2 2

轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的 4

-6-

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

-7-

-8-

-9-

- 10 -

- 11 -

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 2 卷) 文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1.已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A A. ? ?1,3? B. ? ?1,0? C. ? 0, 2 ? D. ? 2,3?

B?

2.若为 a 实数,且

A. ? 4 3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结 论中不正确的是

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? 1? i B. ? 3 C. 3 D. 4

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.已知 a ? ? 0, ?1? , b ? ? ?1, 2 ? ,则 (2a ? b) a ? A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2

5.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

7.已知三点 A(1,0), B (0, 3),C (2, 3),则 ?ABC 外接圆的圆心到原 点的距离为

- 12 -

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” ,执 行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 为( )

D. 1 4 1 9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? , a3a5 ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? 4 1 1 A.2 B.1 C. D. 2 8
10. 已知 A, B 是球 O 的球面上两点,?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点。 若三棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A、 36? B、 64? C、 144 ? D、 256? 11.如图,长方形的边, ,是的中点,点沿着边,与运动,记,将动点到两点距离之和表示为 的函数,则的图像大致为

A.0

B.2

C.4

A. 12.设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A. ? ,1?

B.

C.

D.

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2
C. ? ? , ?

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

?1, ?? ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

1? ?1 ? ? , ?? ? 3? ? 3 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知函数 f ? x ? ? ax ? 2x 的图像过点(-1,4),则 a=
3



? x? y ?5? 0 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
15.已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y ? ? 16. 已 知 曲 线 y ? x ? ln x 在 点 ?1, 1 ?



?

?

1 x ,则该双曲线的标准方程为 2
2



处 的 切 线 与 曲 线 y ? ax ? ? a ? 2? x ? 1 相 切 , 则

a= . 三、解答题 17(本小题满分 12 分)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? PAC,BD=2DC.

- 13 -

(I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60 ,求 ? B . 18. (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A ,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意 度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度,(不要求计算出具体值,给出结论即可)

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 ,点 E,F 分
- 14 -

别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正 方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 在 2 a b 2

?

?

C 上. (I)求 C 的方程; (II)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值. 21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值为 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于 点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.

(I)证明 EF

BC ;
- 15 -

(II)若 AG 等于圆 O 半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EDCF 的面积. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为 ? y ? t sin ? ,

极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文
一、选择题 1.i 为虚数单位, A.i B.-i C.1 ( )

D.-1

2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( A.134 石 3.命题“ A. C. 4.已知变量 x 和 y 满足关系 A.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 C.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 B. D. ,变量 y 与 z 正相关,下列结论中正确的是( B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 ) B.169 石 C.338 石 D.1365 石 ”的否定是( ) )

- 16 -

5.

表示空间中的两条直线,若 p:

是异面直线,q:

不相交,则(



A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件

6.函数 A. B. C.

的定义域为( D.



7.设 A.

,定义符号函数 B.

,则( C.

) D.

8.在区间 的概率,则(

上随机取两个数 x,y,记 )

为事件“

”的概率,

为事件“



A. 9.将离心率为

B. 的双曲线

C. 的实半轴长 a 和虚半轴长 b ,则( ) 时, 时, ,

D. 同时增加 m 个单位

长度,得到离心率为 A.对任意的 a,b, C.对任意的 a,b, 10.已知集合 集合 A.77 二、填空题 11.已知向量 B.49

的双曲线

B.当 D.当

;当 ;当

时, 时, ,定义

,则 C.45 D.30

中元素的个数为( )



,则

.

- 17 -

12.设变量 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为

.

13.函数

的零点个数为

.

14.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计, 发现消费金额 (单 位:万元)都在区间 (1)直方图中的 a= . 内的购物者的人数为 . 内,其频率分布直方图如图所示.

(2)在这些购物者中,消费金额在区间

15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏 北 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 m. 的方向上,仰角为 ,

则此山的高度 CD=

16.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 且 . .

,与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方) ,

(1)圆 C 的标准方程为

- 18 -

(2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为

.

17.a 为实数,函数 的值最小.

在区间

上的最大值记为

. 当

时,

18、 (本小题满分 12 分)

某同学将“五点法”画函数 f(x)=Asin(wx+φ ) (w>0,lφ l< )在 某一个时期内的图像时,列表并填入部分数据,如下表: wx+φ 0 x Asin(wx+φ )
(I)

2

0

5

-5

0

请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直 接写出函数 f(x)的解析式;

(II)

将 y= f(x)图像上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=

g(x)图像,求 y=g(x)的图像离原点 O 最近的对称中心。
- 19 -

19、 (本小题满分 12 分)

设等差数列

的公差为 d,前 n 项和为 ,等比数列 =100.

的公比

为 q,已知 = - =2,q=d, (I) 求数列 ,

的通项公式 ,求数列的前 n 项和。

(II) 当 d>1 时,记 =

20、 (本小题满分 13 分) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。 在如图所示的阳马 P-ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE、BD、BE。 (I) 证明:DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑。若 是,写出其每个面的直角(只需写出结论) ;若不是,请 说明理由; (II) 记阳马 P-ABCD 的体积为 , 四面体 EBCD 的体积为 , 求 的值

- 20 -

21(本小题满分 14 分)

设函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶 函数,f(x)+ g(x)= ,其中 e 为自然对数的底数。 (I) 求 f(x),g(x)的解析式,并证明:当 x>0 时,f(x)>0, g(x)>1; (II) 设 a≤0,b≥1,证明:当 x>0 时,a g(x)+(1-a)<

bg(x)+(1-b).

22、 (本小题满分 14 分)

- 21 -

一种画椭圆的工具如图 I 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 铰链 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时, 带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系。 (I) (II) 求椭圆 C 的方程; 设动直线 l 与两定直线 :x+2y=0 分别交于 P,Q 两点. 若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 试探究: 三 角形 OPQ 的面积是否存在最小值?若存在, 求出该最小 值;若不存在,说明理由。

绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文科)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页,时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

?1 ? j ? 1.已知
z

2

=1+i(i 为虚数单位) ,则复数 z=

- 22 -

2.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图 1 所示

若将运动员按成绩由好到差编为 1-35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是 A.3 B.4 C.5 D.6

3.设 x ? R,则”x>1”是” x3 >1”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.若变量 x,y 满足约束条件 A.-1 B.0 C.1 D.2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 则 z=2x-y 的最小值为

5.执行如图 2 所示的程序框图,如果输入 n=3,则输出的 S= A. B. C. D.

6.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) ,则此双曲线的离心率为 a 2 b2

- 23 -

A.

7 3

B.

5 4

C.

4 3

D.

5 3

1 2 7.若实数 a,b 满足 ? ? a b ,则 ab 的最小值为 a b

A. 2

B.2

C.2 2

D.4

8.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是 A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

9.已知点 A,B,C 在圆 ? 2 ? y 2 ? 1 上运动,且 AB⊥BC,若点 P 的坐标为(2,0) ,则
| PA ? PB ? PC | 的最大值为

A.6

B.7

C.8

D.9

10.某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大 的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件的利用 率为(材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积)

8 A. 9?

8 B. 27?

24
C.

?

2 ?1

?

3

8
D.

?

2 ?1

?

3

?

?

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.已知集合 U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则 A ? ( C ? B )=________ 12.在直角坐标系 xOyz 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴建立极坐标系,若曲 线 C 的极坐标方程为ρ =3sin ? ,则曲线 C 的直角坐标方程为______ 13.若直线 3x-4y+5=0 与圆 x?+y?=r?(r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120°(O 为坐标原点) ,则 r=___________. 14.若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是___________

- 24 -

15.已知 w>0, 在函数 y=2sin mx 余 y=2 cos wx 的图像的交点, 距离最短的两个交点 的距离为 2 3 ,则 w=________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。接答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 16. (本小题满分 12 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是: 从袋有 2 个红球 A1 、 A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 、 a2 和 2 个白球 b1、 b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖。 (I)用球的标号列出所有可能的摸出结果 (II)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概 率,你认为正确吗?请说明理由。 17. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=b tanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA 3 (Ⅱ)若 sinC—sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 4 18.(本小题满分 12 分) 如图 4,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC,CC1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1 (Ⅱ)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,求三棱锥 F—AEC 的体积.

19(本小题满分 13 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=2,且 an+2=3Sn- Sn+1, n
- 25 -

.

(Ⅰ) 证明:an+2=3 an (Ⅱ) 求 Sn

20.(本小题满分 13 分)

已知抛物线 C1 :X2=4y 的焦点 F 也会椭圆 C1: a 2 +

y2

X2 =1(a>b>0)的一个焦点。C1 与 C2 的 b2

公共弦的长为 2 6 .过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点,与 C1 相交于 C,D 两点,且 BD 与

AC 同向。
(1) (2) 求 C2 的方程; 若︱AC︱=︱BD︱,求直线 l 的斜率。

21.(本小题满分 13 分) 已知 a>0,函数 f(x)=a (x [0,+ ) ) 。记 xe 为 f(x)的从小到大的第 n(n )个极值

点。 (Ⅰ)证明:数列{f(xn)}是等比数列; (Ⅱ)若对一切 n ,xn | f(xn)|恒成立,求 a 的取值范围。

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科)
7.选择题 B.设 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ??1 ? 2i ? ? (A)3+3i (B)-1+3i (3)3+i (D)-1+i

C.设全集 U ? ?1 ,,,,, 2 3 4 5 6? , A ? ?1 , 2? , B ? ?2,, 3 4? ,则 A

?CR B ? =

- 26 -

(3)

2 5 6? ?1,,,

(B) ?1?

(C) ?2?

(D) ?1 ,,, 2 3 4?

3.设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 成立的 (A)充分必要条件 (C)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

4.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 (A)y=lnx (B) y ? x2 ? 1 (C)y=sinx (D)y=cosx

? x? y ?0 ? 5.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z=-2x+y 的最大值是 ? y ?1 ?
(A)-1 (B)-2 (C)-5 (D)1

6.下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是

y2 ?1 (A) x ? 4
2

x2 ? y2 ? 1 (B) 4
(D)

(C) x ?
2

y2 ?1 2

x2 ? y2 ? 1 2

7.执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的 n 为

(A)3

(B)4
2 2

(C)5

(D)6

8.直线 3x+4y=b 与圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b= (A)-2 或 12 (B)2 或-12 (C)-2 或-12 (D)2 或 12

9.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是

- 27 -

(A) 1 ? 3

(B) 1 ? 2 2

(C) 2 ? 3

(D) 2 2

10.函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图像如图所示,则下列结论成立的是

(A)a>0,b<0,c>0,d>0 (B)a>0,b<0,c<0,d>0 (C)a<0,b<0,c<0,d>0 (D)a>0,b>0,c>0,d<0

二;填空题 (11) lg

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2

。 。

? ? (12)在 ?ABC 中, AB ? 6 , ?A ? 75 , ?B ? 45 ,则 AC ?

( 13 )已 知数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 于 。

1 (n?2) ,则 数 列 {an } 的前 9 项和 等 2

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ?| x ? a | ?1 的图像只有一个交点, 则 a 的值为 。

(15) ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a 、b 满足 AB ? 2 a , AC ? 2 a ? b ,则 下列结论中正确的是 。 (写出所有正确结论得序号)

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a 为单位向量;② b 为单位向量;③ a ? b ;④ b // BC ;⑤ (4a ? b ) ? BC 。

- 28 -

三.解答题 16.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2x (1)求 f ( x ) 最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职 工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为

[40,50],[50,60], ,[80,90],[90,100]
(1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在 [40,60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50] 的概率.

18.已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 Sn Sn ?1
o

19.如图,三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC, PA ? 1, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 60 . (1)求三棱锥 P-ABC 的体积;

- 29 -

(2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC ? BM,并求

PM 的值。 MC

20.设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( a , 0) ,点 B 的 a 2 b2

坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜率为 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB。

5 。 10

21.已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0, r ? 0) ( x ? r )2

(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值。 r

- 30 -

江苏
一、填空题 1.已知集合 A ? ?1 ,, 2 3? , B ? ?2,, 4 5? ,则集合 A

B 中元素的个数为_______.

2.已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 3.设复数 z 满足 z 2 ? 3 ? 4i (i 是虚数单位) ,则 z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为________.

5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸 出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量 a ? ? 2, 1? ,a ? ?1, ? 2? ,若 ma ? nb ? ? 9, ? 8?? mn ? R ? ,则 m-n 的值为______. 7.不等式 2
x2 ? x

? 4 的解集为________.
1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

8.已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ?

9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若 将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新 的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切的 所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。

* 11. 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , 且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N ) ,则数列 {

1 } 的 前 10 项 和 an




2 2

12. 在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点。若点 P 到直线

x ? y ? 1 ? 0 的距离对 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为
13.已知函数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ? 为 。



? 0,0 ? x ? 1 ,则方程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 实根的个数 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1

- 31 -

14. 设 向 量 ak ? (cos 为 。

k? k? k? , sin ? cos )( k ? 0,1,2,? ,12) , 则 6 6 6

? (a
k ?0

12

k

? ak ?1 ) 的 值

15.在 V ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60 .
o

(1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值。 16. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AC ? BC, BC ? CC1 . 设 AB1 的中点为 D ,

B1C ? BC1 ? E.
求证: (1) DE / /平面AACC 1 1 (2) BC1 ? AB1

17.(本小题满分 14 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连 接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 ,山区边界曲线为 C, 计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 1, l2 所在的直线分别为 x,

- 32 -

y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y ? (I)求 a,b 的值; (II)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t.

a (其中 a,b 为常数)模型. x ?b
2

①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 点 F 到左准线 l 的距离为 3.

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右焦 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C, 若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

19. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R) 。
3 2

(1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值 范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值。

3 2

3 2

20.设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列
- 33 a a a a

(2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次成等比数列,并说明理由 (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1n , a2n?k , a3n?3k , a4n?5k 依次成等比数列,并说明理由 附加题 21、(选择题)本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答, 若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A、 ? 选修 4-1:几何证明选讲

? (本小题满分 10 分)

如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , ?ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D 求证: ?ABD ? ?AEB

B、 ? 选修 4-2:矩阵与变换 已知 x, y ? R ,向量 ? ? ? 以及它的另一个特征值。

? (本小题满分 10 分)

? x 1? ?1? 是矩阵 A ? ? ? ? 的属性特征值 ? 2 的一个特征向量,矩阵 A ? 1 y 0 ? ? ? ?

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

? 已知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2 ? sin(? ? ) ? 4 ? 0 ,求圆 C 的半径. 4 D.[选修 4-5:不等式选讲]
解不等式 x? | 2 x ? 3 |? 3
22.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角梯形,

?ABC ? ?BAD ?

?
2

, PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值;

- 34 -

(2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长

23.已知集合 X ? {1, 2,3}, Yn ? {1, 2,3, , n}(n ? N * ) ,设

Sn ? {(a, b) | a整除b或除a, a ? X , b ?Yn },令 f (n) 表示集合 Sn 所含元素个数.
(1)写出 f (6) 的值; (2)当 n ? 6 时,写出 f (n) 的表达式,并用数学归纳法证明。

绝密★启用前

试卷类型:B

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东 卷)

数学(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、若集合 ? ? ??1,1? , ? ? ??2,1, 0? ,则 ? A . ?0, ?1? D. ??1,1? 2、已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? (
2

? ?(

) C . ?1?

B . ?0?



- 35 -

A . ?2 D. 2i

B. 2 )

C . ?2i

3、下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A . y ? x 2 ? sin x D. y ? x ? sin 2 x B . y ? x 2 ? cos x

C . y ? 2x ?

1 2x

?x ? 2 y ? 2 ? 4、若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ?x ? 4 ?
A . 10 D. 2 B. 8

) C. 5

c. C 的对边分别为 a , b, c?2 3, 5、 设 ??? C 的内角 ? , 若a ? 2, ?, cos ? ?
且 b ? c ,则 b ? ( A. 3 ) B. 2 C. 2 2 D. 3

3 , 2

6、若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 ? 内,l2 在平面 ? 内,l 是平面 ? 与平面 ? 的 交线,则下列命题正确的是( A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

7、已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有 一件次品的概率为( A . 0.4 D. 1 8、已知椭圆 ) B . 0.6 C . 0.8

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?4, 0 ? ,则 m ? ( 25 m 2
B. 4

) D. 2

9 A.

3 C.

9 、在平面直角坐标系 x?y 中,已知四边形 ??CD 是平行四边形, ?? ? ?1, ?2 ? ,

?D ? ? 2,1? ,则 ?D ? ?C ? (
A. 2 D. 5

) B. 3 C. 4

10、若集合 ? ? ?? p, q, r , s ? 0 ? p ? s ? 4, 0 ? q ? s ? 4, 0 ? r ? s ? 4且p, q, r , s ? ?? ,
- 36 -

F ? ?? t , u , v, w ? 0 ? t ? u ? 4, 0 ? v ? w ? 4且t , u , v, w ? ?? ,用 card ? ? ? 表示集合 ? 中的

元素个数,则 card ? ? ? ? card ? F ? ? (



A . 50 B . 100 C . 150 D. 200 二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11、不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为 . (用区间表示)

12、已知样本数据 x1 , x2 ,??? , xn 的均值 x ? 5 ,则样本数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 ,??? ,

2 xn ? 1 的均值为

. .

c 成等比数列, b, c ? 5?2 6 , 13、 若三个正数 a , 其中 a ? 5 ? 2 6 , 则b ?
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选作一题)

14、 (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 x?y 中, 以原点 ? 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 , 曲线
2 ? ?x ? t ( t 为参数) , 则 C1 与 C2 交 点 的 直 角 坐 标 C2 的 参 数 方 程 为 ? ? ? y ? 2 2t

为 . 15、 (几何证明选讲选做题)如图 1 , ?? 为圆 ? 的直径, ? 为 ?? 的延长线 上一点, 过 ? 作圆 ? 的切线, 切点为 C , 过 ? 作直线 ?C 的垂线, 垂足为 D . 若
?? ? 4 , C? ? 2 3 ,则 ?D ?



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. ) 16、 (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 . ?? ?1? 求 tan ? ? ? ? ? 的值; 4? ? sin 2? 的值. ? 2? 求 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 17、 (本小题满分 12 分) 某城市 100 户居民的月平均用电量 (单位: 度) , 以 ?160,180 ? ,

?180, 200 ? ,? 200, 220 ? ,? 220, 240 ? ,? 240, 260 ? ,? 260, 280 ? ,? 280,300? 分组的频率
分布直方图如图 2 .

- 37 -

?1? 求直方图中 x 的值; ? 2 ? 求月平均用电量的众数和中位数; ? 3? 在月平均用电量为 ? 220, 240 ? ,? 240, 260 ? ,? 260, 280 ? ,? 280,300? 的四组用户中, 用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取多
少户? 18、 (本小题满分 14 分)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平面与长方形 ??CD 所在的 平面垂直, ?D ? ?C ? 4 , ?? ? 6 , ?C ? 3 . ?1? 证明: ?C// 平面 ?D? ;

? 2 ? 证明: ?C ? ?D ; ? 3? 求点 C 到平面 ?D? 的距离.
19、 (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,n ? ? ? . 已知 a1 ? 1 ,a2 ?
5 ,且当 n ? 2 时, 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 . 4 ?1? 求 a4 的值; a3 ?
3 , 2

? 2 ? 证明: ? ?an ?1 ?

1 ? an ? 为等比数列; 2 ? ? ? 3? 求数列 ?an ? 的通项公式.

20、 (本小题满分 14 分)已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相交于 不同的两点 ? , ? . ?1? 求圆 C1 的圆心坐标;

? 2 ? 求线段 ?? 的中点 ? 的轨迹 C 的方程; ? 3? 是否存在实数 k ,使得直线 L: y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求
出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 21、 (本小题满分 14 分)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? a ? a ? 1? .
2

?1? 若 f ? 0 ? ? 1 ,求 a 的取值范围; ? 2 ? 讨论 f ? x ? 的单调性; ? 3? 当 a ? 2 时,讨论 f ? x ? ?
4 在区间 ? 0, ?? ? 内的零点个数. x

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(文科)
- 38 -

第 I 卷(共 50 分)
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、已知集合 A ? x 2 ? x ? 4 (A) ?1,3? 2、若复数 z 满足 (A) 1 ? i

?

?

, B ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 (C) ? 2,3?

?

?

,则 A

B?

(B) ?1, 4 ?

(D) ? 2, 4 ?

z ? i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 1? i
(B) 1 ? i (C) ?1 ? i (D) ?1 ? i

3、设 a ? 0.60.6 , b ? 0.61.5 , c ?1.50.6 ,则 a, b, c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) b ? a ? c (D) b ? c ? a

4、要得到函数 y ? sin ? 4 x ?

? ?

??

? 的图象,只需将函数 y ? sin 4 x 的图象 3?
(B)向右

? 个单位 12 ? (C)向左平移 个单位 3
(A)向左平移
2

? 平移个单位 12 ? (D)向右平移 个单位 3

5、设 m ? R ,命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是 (A)若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2

(B) 若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2

(C) 若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

(D) 若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

6、为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气 温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论: ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气 温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气 温; ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温 的标准差; ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差.

- 39 -

其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 (A) ①③ (B) ①④

(C) ②③

(D) ②④

7、在区间 ? 0, 2? 上随机地取一个数 x ,则事件“ ?1 ? log 1 ? x ? (A)

? 2 ?

1? ? ? 1 ”发生的概率为 2?
(D)

3 4

(B)

2 3

(C)

1 3

1 4

8、若函数 f ? x ? ? (A) ? ??, ?1?

2x ? 1 是奇函数,则使 f ? x ? ? 3 成立的 x 的取值范围为 2x ? a
(B) ? ?1,0? (C) ? 0,1? (D) ?1, ?? ?

9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体的体积为 (A)

2 2? 3

(B)

4 2? 3

(C) 2 2?

(D) 4 2?

10.设函数 f ? x ? ? ? (A)1

?3 x ? b, x ? 1, ?2 ,
x

x ? 1,
(B)

若 f ? f ? ? ? ? 4 ,则 b ? (C)

? ? 5 ?? ? ? 6 ??

7 8

3 4

(D)

1 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)执行右边的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 y 的值是

.

? y ? x ? 1, ? (12) 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 则 z ? x ? 3 y 的最大 ? y ? 1, ?
值为 . (13)过点 P 1, 3

?

?

作圆 x 2 ? y 2 ? 1的两条切线,切点分别 .

为 A,B,则 PA ? PB ?

x2 ? y 2 ( 14 )定义运算“ ? ” : x? y ? ? x, y ? R, xy ? 0? . xy
当 x ? 0, y ? 0 为 . 时 , x? y? ?2

?y

?的 x 最 小 值

(15)过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C a 2 b2
- 40 -

于点 P,若点 P 的横坐标为 2 a 则 C 的离心率为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分

.

16.(本小题满分 12 分) 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的请况,数据如下表: 参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 8 2 未参加书法社团 5 30

(I)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (II)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 3 名女同学 B1 , B2 , B3 , 现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人, 求 A1 被选中且 B1 未 被选中的概率。 17. (本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 cos B ?

3 , 3

sin( A ? B) ?

6 , ac ? 2 3 ,求 sin A 和 c 的值. 9

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 三 棱 台 DEF - ABC 中 ,

A B ?2

D, E ,分别为 G HAC, BC 的中点,

(I)求证: BD // 平面 FGH ; ( II )若 CF ? BC, AB ? BC ,求证:平面

BCD ? 平面 FGH .

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是首项为正数的等差数列,数列 {

n 1 } 的前 n 项和为 。 2n ? 1 a n a n ?1

- 41 -

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 b n ? (an ? 1) ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

20. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x, g ( x) ?

x2 ,已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 ex

2 x ? y ? 0 平行,
(I)求 a 的值; (II)是否存在自然数 k ,使的方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在,求 出 k ;如果不存在,请说明理由; (III)设函数 m( x) ? min{f ( x), g ( x)}(min(p, q) 表示 p, q 中的较小值) ,求 m( x) 的最大值. 21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且点 2 2 a b

1 ( 3 , ) 在椭圆 C 上, 2 (I)求椭圆 C 的方程;
(II)设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1, P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 4a 2 4b 2

E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ,

(i)求

OQ OP

的值;

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值。

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 如图,圆锥的顶点为 P ,底面圆为 O ,底面的一条直径为 AB , C 为半圆弧 AB 的中点, 已知 PO ? 2, OA ? 1 , 求三棱锥 P ? AOC 的体积, 并求异面直线 PA 和 E 为劣弧 CB 的中点,

- 42 -

OE 所成角的大小.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x ) ? ax ?
2

1 ,其中 a 为常数 x

(1)根据 a 的不同取值,判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 a ? (1,3) ,判断函数 f ( x ) 在 [1, 2] 上的单调性,并说明理由.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图, O, P, Q 三地有直道相通, OP ? 3 千米, PQ ? 4 千米, OQ ? 5 千米,现甲、乙 两警员同时从 O 地出发匀前往 Q 地,经过 t 小时,他们之间的距离为 f (t ) (单位:千米).甲 的路线是 OQ ,速度为 5 千米/小时,乙的路线是 OPQ ,速度为 8 千米/小时,乙到达 Q 地后 在原地等待.设 t ? t1 时,乙到达 P 地, t ? t2 时,乙到达 Q 地. (1)求 t1 与 f (t1 ) 的值; (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米,当 t1 ? t ? t2 时,求 f (t ) 的表达式,并判 断 f (t ) 在 [t1, t2 ] 上的最大值是否超过 3?说明理由.

- 43 -

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 已知椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与椭圆交于点 A 、 B 和 C 、 D , 记 ?AOC 的面积为 S . (1) 设 A( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) , 用 A 、 C 的 坐 标 表 示 点 C 到 直 线 l1 的 距 离 , 并 证 明

S?

1 x1 y2 ? x2 y1 ; 2
(2)设 l1 : y ? kx , C ?

? 3 3? 1 , ? , S ? ,求 k 的值; 3 ? 3 3 ?

(3)设 l1 与 l2 的斜率之积为 m ,求 m 的值,使得无论 l1 和 l2 如何变动,面积 S 保持不变.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 an?1 ? an ? 2(bn?1 ? bn ), n ? N * . (1)若 bn ? 3n ? 5, 且 a1 ? 1 ,求 ?an ? 的通项公式; (2)设 ?an ? 的第 n0 项是最大项,即 an0 ? an (n ? N *) ,求证: ?bn ? 的第 n0 项是最大项; (3)设 a1 ? 3? ? 0 , bn ? ? n (n ? N *) ,求 ? 的取值范围,使得对任意 m, n ? N * ,an ? 0 ,且

am ? 1 ? ? ? ,6 ? an ? 6 ?

- 44 -

绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国考试 数学(文) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试 卷上作答无效。考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 (1)若集合 A={x|□5<x<2} ,B={x|□3<x<3} ,则 A□B= A. 3<x<2 B. 5<x<2 C. 3<x<3 D. 5<x<3

(2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 (A) (x□1)2+(y□1)2=1 (C) (x+1)2+(y+1)2=2 (3)下列函数中为偶函数的是() (A)y=x?sinx (B)y=x?cosx (C)Y=|ln x| (D)y=2x (B) (x+1)2+(y+1)2=1 (D) (x□1)2+(y□1)2=2

(4)某校老年,中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的 身体情况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年人数为() (A)90 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 (B)100 (C)180 (D)300 人数 900 1800 1600 4300

5.执行如果所示的程序框图,输出的 k 值为

- 45 -

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (6)设 a,b 是非零向量, “a·b=IaIIbI”是“a//b”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为 (A)1 (B) (B) (D)2

- 46 -

(8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 注: “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为

(A)6 升 (B)8 升 (C)10 升 (D)12 升 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)复数 i(1+i)的实数为 (10)2-3,3 ,log25 三个数中最大数的是

(11)在△ABC 中,a=3,b=

, ? A= , ? B=

(12)已知(2,0)是双曲线

=1(b>0)的一个焦点,则 b=.

(13)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一 点,则 z=2x+3y 的最大值为

- 47 -

(14)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成绩 与总成绩在全年级中的排名情况如下,甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,两同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题(共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题 13 分) ? 已知函数 f(x)= sin x ? 2 3 sin 2 2 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;
? 2? ? (Ⅱ)求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最小值。 ? 3 ?

(16) (本小题 13 分) 已知等差数列{ (Ⅰ)求{ }满足 + =10, - =2.

}的通项公式; }满足 , ;问: 与数列{ }的第几项相等?

(Ⅱ)设等比数列{

(17) (本小题 13 分) 某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况, 整理成下统计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买。

- 48 -

商品









顾客人数 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率 (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率 (Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最 大? (18) (本小题 14 分) 如图,在三棱锥 E-ABC 中,平面 EAB ⊥平面 ABC,三角形 EAB 为等边三角形,AC ⊥ BC,且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。

(1) 求证:EB//平面 MOC. (2) 求证:平面 MOC⊥平面 EAB 求三棱锥 E-ABC 的体积.

(19) (本小题 13 分)

?2 -k ln ,k>0 设函数 f(x)= 2
(I)求 f(x)的单调区间和极值;

- 49 -

(II)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,

)上仅有一个零点。

(20)(本小题 14 分) 已知椭圆 点,直线 与直线 , 过点 . 且不过点 的直线与椭圆 交于 两

(1)求椭圆 的离心率; (II)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (III)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由。

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 2 卷) 文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1.已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A A. ? ?1,3? B. ? ?1,0? C. ? 0, 2 ? D. ? 2,3?

B?

- 50 -

2.若为 a 实数,且

A. ? 4 3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结 论中不正确的是

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? 1? i B. ? 3 C. 3 D. 4

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.已知 a ? ? 0, ?1? , b ? ? ?1, 2 ? ,则 (2a ? b) a ? A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2

5.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

7.已知三点 A(1,0), B (0, 3),C (2, 3),则 ?ABC 外接圆的圆心到原 点的距离为

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中 的“更相减损术” ,执行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输 出的 a 为( )

D. 1 4 1 9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? , a3a5 ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? 4

A.0

B.2

C.4

- 51 -

A.2

B.1

C.

1 2

D.

1 8

10. 已知 A, B 是球 O 的球面上两点,?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点。 若三棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A、 36? B、 64? C、 144 ? D、 256? 11.如图,长方形的边, ,是的中点,点沿着边,与运动,记,将动点到两点距离之和表示为 的函数,则的图像大致为

A. 12.设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A. ? ,1?

B.

C.

D.

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2
C. ? ? , ?

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

?1, ?? ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

1? ?1 ? ? , ?? ? 3? ? 3 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知函数 f ? x ? ? ax ? 2x 的图像过点(-1,4),则 a=
3



? x? y ?5? 0 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
15.已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y ? ? 16. 已 知 曲 线 y ? x ? ln x 在 点 ?1, 1 ?



?

?

1 x ,则该双曲线的标准方程为 2
2



处 的 切 线 与 曲 线 y ? ax ? ? a ? 2? x ? 1 相 切 , 则

a= . 三、解答题 17(本小题满分 12 分)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? PAC,BD=2DC. (I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60 ,求 ? B . 18. (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A ,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意 度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.

- 52 -

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度,(不要求计算出具体值,给出结论即可)

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 ,点 E,F 分 别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正 方形.

- 53 -

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值.

x2 y 2 2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 在 a b 2
C 上. (I)求 C 的方程; (II)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值. 21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值为 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

?

?

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于 点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.

(I)证明 EF

BC ;

(II)若 AG 等于圆 O 半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EDCF 的面积.

- 54 -

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为 ? y ? t sin ? ,

极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试 题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A={x|x=3n+2,n ? N},B={6,8,12,14},则集合 A ? B 中元素的个数 为 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (2)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量 AC =(-4,-3) ,则向量 BC =

- 55 -

(A) (-7,-4) (B) (7,4) (C) (-1,4) (D) (1,4) (3)已知复数 z 满足(z-1)i=i+1,则 z= (A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i (4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾 股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股数的 概率为 10 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 3 5 10 20 1 (5)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y?=8x 2 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个焦点,则|AB|= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有 委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角 处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆 底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有

A.14 斛 (7)已知

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛 则 =4 , =

是公差为 1 的等差数列,

(A) (8)函数 f(x)=

(B)

(C)10

(D)12

的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为

- 56 -

(A) (k

- ,k - , 2k

- ),k - ),k

(A) (2k

(A) (k - , k - ),k

(A) (2k - , 2k - ),k (9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

- 57 -

(10)已知函数 (A)-

,且 f(a)=-3,则 f(6-a)=

7 5 3 1 (B)(C)(D)4 4 4 4 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r=

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (12)设函数 y=f(x)的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1, 则 a= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 第Ⅱ卷
注意事项: 第Ⅱ卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答 案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126,则 n=. (14) 已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点 (1 , f(1)) 处的切线过点 (2,7) , 则 a=

.

(15)x,y 满足约束条件 (16)已知 F 是双曲线 C:x2-

,则 z=3x+y 的最大值为.
y2 =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6 ). 8

- 58 -

当△APF 周长最小是,该三角形的面积为 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD 的体积为
6 ,求该三棱锥的侧面 3

积 (19) (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千 元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年 宣传费 和年销售量 (i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及 一些统计量的值。

x

y

w

?
i ?1

8

(x1- x )2

?
i ?1

8

(w1- w )2

?
i ?1

8

(x1- x ) (y- y )

?
i ?1

8

(w1- w )

(y- y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8

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表中 w1 = x 1,



w =

1 8

?w1
i ?1

8

6.根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 出判断即可,不必说明理由)

x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回 答下列问题: C.年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? D.年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u

(20) (本小题满分 12 分) 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (3) 求 K 的取值范围; (4) 若 OM · ON =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱.

(21).(本小题满分 12 分) 设函数 x 。 (Ⅰ)讨论 f ( x) 的导函数 f '( x) 零点的个数;
2 。 a 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计 分。作答时请写清题号。

(Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln

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(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的切线,BC 交⊙ O 于点 E。 (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 CA= 3 CE,求∠ACB 的大小。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :x= ?2 ,圆 C2 : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,以坐标原点 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求 C1

,C2 的极坐标方程。

(2)若直线 C3 的极坐标为 ? =

? (ρ ? R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积 4

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,则 a>0. 4.当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; 5.若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

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