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高二数学选修4-4 2参数方程的概念

高二数学选修4-4 2参数方程的概念


选修4-4 坐标系与参数方程

信宜第二中学 高二数学1、2班

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢?
提示: 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时,开始投放物资?

投放点



救援点

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢?

y 500

解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x,

o

? x ? 100t , ? (x,y) ? 1 2 2 ( g=9.8m/s ) y ? 500 ? gt . ? ? 2 令y ? 0, 得t ? 10.10s. x 代入x ? 100t, 得 x ? 1010m. 所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,

垂直高度为y,所以

可以使其准确落在指定位置.

1、参数方程的概念:
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 ? x ? f (t ), ? (2) y ? g ( t ). ? 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明: 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围

变式: 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资(不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s)问此时飞机的飞行高度约是多少? (精确到1m)

? x ? 3t , 例1: 已知曲线C的参数方程是 ? (t为参数) 2 ? y ? 2t ? 1.
(1)判断点M1(0, 1),M2(5, 4)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。

训练1

2 ? 1、曲线 x ? 1 ? t ,(t为参数) 与x轴的交点坐标是( B ) ? ? y ? 4t ? 3

25 ( , 0); C、(1, ?3); A、(1,4);B、 16

25 D、 (? , 0); 16

2、方程{

x ? sin ? y ? cos 2?

(?为参数)表示的曲线上
(

的一个点的坐标是

C

)

1 1 1 1 A、 (2,7) B、 ( , ),C、 ( , ), D(1,0) 3 2 2 2

训练2:
已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上. (2)求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:

? x ? 1 ? 2t , (t为参数,a ? R ) ? 2 ? y ? at .

(1)求常数a;

1+2t=5 at2=4 x=1+2t y=t2

解得:

a=1 t=2

∴ a=1

x ?1 由第一个方程得: t ? 2 x ?1 2 ) , 代入第二个方程得: y ? ( 2

(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:

( x ?1) ? 4 y为所求.
2

小结:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数t的函数

? x ? f (t ), ? (2) ? y ? g (t ).

并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程, 系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。

选修4-4 坐标系与参数方程

信宜第二中学 高二数学1、2班

y

M(x,y)
r

?
o
M0 x

如果在时刻t,点M转过的角度是 ?,坐标是 M ( x, y ),那么?=?t,设 OM =r,那么由三 角函数的定义有: x ? r cos?t x y cos?t ? , sin ?t ? 即{ (t为参数) y ? r sin ?t r r 这就是圆心在原点 O,半径为r的圆的参数方 程。其中参数 t有明确的物理意义 (质点作匀 速圆周运动的时刻 )

考虑到?=?t,也可以取?为参数,于是有 x ? r cos? { (?为参数) y ? r sin ? 这也是圆心在原点 O,半径为r的圆的参数方程 其中参数?的几何意义是OM 0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时,OM 0转过的角度。

圆的参数方程的一般形式

以上是圆心在原点的圆 的参数方程,它对应的 普通方程是x ? y ? r , 那么,圆心在点 o?( x0 , y0 )
2 2 2

半径为r的圆的参数方程又是怎 么样的呢?

{

x ? x0 ? r cos ? y ? y0 ? r sin ?

(? 为参数)
2 2 2

对应的普通方程为( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r

由于选取的参数不同,圆有不同的参 数方程,一般地,同一条曲线,可以 选取不同的变数为参数,因此得到的 参数方程也可以有不同的形式,形式 不同的参数方程,它们表示 的曲线可 以是相同的,另外,在建立曲线的参 数参数时,要注明参数及参数的取值 范围。

例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它 化为参数方程。
解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,

(x+1)2+(y-3)2=1,
∴参数方程为

? x ? ?1 ? cos? ? ? y ? 3 ? sin ?

(θ为参数)

例2 如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0) 是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆 周运动时,求点M的轨迹的参数方程。

y P

M
Q

?
o
x

解:设点M的坐标是( x, y ),?xOP ? ? , 则点 P的坐标是(2 cos? ,2 sin ? ),由中点坐标公式得: 2 cos? ? 6 2 sin ? x? ? cos? ? 3, y ? ? sin ? 2 2 所以,点M的轨迹的参数方程是 { x ? cos? ? 3 y ? sin ? (?为参数)

x ? 2 cos? ? 5 2、指出参数方程 { (?为参数)所 y ? 3 ? 2 sin ? 表示圆的圆心坐标、半 径,并化为普通方程。

( x ? 5) ? ( y ? 3) ? 4
2 2

选修4-4 坐标系与参数方程

信宜第二中学 高二数学1、2班

? x ? cos? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。

由参数方程得: ?cos? ? x ? 3 2 2 2 2 ,sin ? ? cos ? ? ( x ? 3) ? y ? 1 ? ?sin ? ? y 所以点M 的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

参数方程和普通方程的互化:
(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 如:①参数方程

可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
? ?x ? t , ②参数方程 ? (t为参数) ? ? y ? 2 t ? 4.

? x ? a ? r cos? , 消去参数? ? ? y ? b ? r sin ? .

通过代入消元法消去参数t ,

可得普通方程:y=2x-4 (x≥0)

注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保 持一致。 否则,互化就是不等价的.

例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线?
? ?x= t ? 1 (1)? (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t
解: (1)因为x ? t ?1?1

?x= sin ? ? cos? (2)? (? 为参数). ? y ? 1 ? sin 2?

所以普通方程是y ? ?2 x ? ( 3 x ? 1) 这是以(1, 1)为端点的一条射线(包括端点)

(2)因为:x ? sin ? ? cos ? ? ? 所以x ? ? ? 2, 2 ? ?

2 sin(? ?

?

4

)

?. 所以普通方程是x 2 ? y , x ? ? ? 2, 2 ? ?

练习、将下列参数方程化为普通方程:
? x ? 2 ? 3 cos? (1) ? ? y ? 3 sin ?

? x ? sin ? (2) ? ? y ? cos2?

x=t+1/t
(3)

y=t2+1/t2

步骤:(1)消参;

(2)求定义域。

(1)(x-2)2+y2=9 (2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1) (3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2)

例2、求参数方程
? ? ? x ? | cos ? sin |, ? ? 2 2 (0 ? ? ? 2? ) ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? ? 2

表示( ) B

(A)双曲线的一支, 这支过点(1,1/2): (B)抛物线的一部分, 这部分过(1,1/2): (C)双曲线的一支, 这支过点(–1, 1/2) (D)抛物线的一部分, 这部分过(–1,1/2)

小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常 见方法有三种: 1.代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 去参数 2.三角法:利用三角恒等式消去参数 3.整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从 整体上消去。 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0:在消参过程中注 意变量x、y取值范围的一致性,必须根据参数的取 值范围,确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。

参数方程和普通方程的互化:
(2)普通方程化为参数方程需要引入参数
如:①直线L 的普通方程是2x-y+2=0,可以化为参数方程

?x ? t, (t为参数) ? ? y ? 2t ? 2.
②在普通方程xy=1中,令x = tan?,可以化为参数方程

? x ? t an? , (?为参数) ? ? y ? cot? .

x2 y 2 例3 求椭圆 ? ?1 的参数方程。 9 4 cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 (1)设x=3cos?,?为参数; 令 x ? cos ? , y ? sin ? 3 2 ? x ? 3cos ? ?为参数 ? ? y ? 2sin ?

(2)设y=2t,t为参数.
? ?x ? 3 1? t2 ? ? x ? -3 1 ? t 2 (2)参数方程是 ? 或? ? ? ? y ? 2t ? y ? 2t

思考:为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程?

练习: 2、曲线y=x2的一种参数方程是( ).
2 ? ?x ? t A、 ? 4 y ? t ? ?

分析: 在y=x2中,x∈R, y≥0, 在A、B、C中,x,y的范围都
发生了变化,因而与 y=x2不等价; 而在D中,

? x ? sin t B、 ? 2 ? y ? sin t

?x ? t ? C、 ? ? ?y ? t

?x ? t D、 ? 2 ?y ? t

x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,

? ?x ? t 且以 ? 2 ? ?y ? t

代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值 范围保持一致。否则,互化就是不等价的.


引入参数 普通方程 消去参数


参数方程



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