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多元函数微分法及其应用复习题及解答

多元函数微分法及其应用复习题及解答

多元函数微分法及其应用 复习题及解答

一、选择题

1.极限 lim x?0

x2 y x4 ? y2

=

y?0

(A)等于 0; (B)不存在;

(提示:令 y ? k 2 x2 )

(C)等于 1 ; 2

(B)
(D)存在且不等于 0 或 1 2

2、设函数

f

(x,

y)

?

?? ?

x

sin

1 y

?

y

sin

1 x

??0

xy ? 0 ,则极限 lim f (x, y) =

x?0

xy ? 0

y?0

(C)

(A)不存在; (B)等于 1; (C)等于 0; (D)等于 2 (提示:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)

? xy

3、设函数

f

(x,

y)

?

? ?

x2 ? y2

?? 0

(A) 处处连续; (C) 仅在(0,0)点连续;

x2 ? y2 ? 0 ,则 f (x, y)
x2 ? y2 ? 0
(B) 处处有极限,但不连续; (D) 除(0,0)点外处处连续

(A)

(提示:①在 x2 ? y2 ? 0 , f (x, y) 处处连续;②在 x ? 0, y ? 0 ,令 y ? kx ,

kx2 lim

? lim kx ? 0 ? f (0, 0) ,故在 x2 ? y2 ? 0 ,函数亦连续。所以,

x?0 y?0

x2 ? k2x2

x?0 1? k 2

f (x, y) 在整个定义域内处处连续。)

4、函数 z ? f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处具有偏导数是它在该点存在全微分的

(A)必要而非充分条件;

(B)充分而非必要条件;

(C)充分必要条件;

5、设 u ? arctan y ,则 ?u = x ?x

(A)

x; x2 ? y2

(D)既非充分又非必要条件

(B)

?

x2

y ?

y2



(A) (B)

(C)

y; x2 ? y2

?x (D) x 2 ? y 2

6、设 f (x, y) ? arcsin

y x

,则

f

' x

(2,1)

?

(A)

(A) ? 1 ; 4
7、若 z ? ln( x ?

(B) 1 ; 4
y ) ,则 x ?z ? y ?z ? ?x ?y

(C) ? 1 ; 2

(D) 1 2

(C)

(A) x ? y ; (B) x ? y ; (C) 1 ; 2

(D) ? 1 . 2

8、设 z

?

arctan

x y

,x ?u?v, y

? u ? v ,则 zu

?

zv

?

(C)

(A)

u u2

? ?

v v2



(B)

v u2

? ?

u v2



(C)

u u2

? ?

v v

2



(D)

v u2

?u ? v2



9、若

f

( x,2 x)

?

x2

?

3x,

f

' x

(

x

,2

x)

?

6x

? 1,则

f

' y

( x,2 x)

=

(D)

(A) x ? 3 ; 2

(B) x ? 3 ; 2

(C) 2x ? 1;

(D) ?2x ? 1

10、设 z

?

yx

,则 ( ?z ?x

?

?z ?y

)

(

2 ,1)

?

(A )

(A) 2 ;

(B) 1+ln2 ;

(C) 0 ;

(D) 1

11、设函数 z ? 1 ? x 2 ? y 2 ,则点 (0,0) 是函数 z 的

(B)

(A)极大值点但非最大值点; (C)极小值点但非最小值点;

(B)极大值点且是最大值点; (D)极小值点且是最小值点。

12、设函数 z ? f (x, y) 具有二阶连续偏导数,在 P0 (x0 , y0 ) 处,有

(C )

f x (P0 ) ? 0, f y (P0 ) ? 0, f xx (P0 ) ? f yy (P0 ) ? 0, f xy (P0 ) ? f yx (P0 ) ? 2 ,则

(A)点 P0 是函数 z 的极大值点;

(B)点 P0 是函数 z 的极小值点;

(C)点 P0 非函数 z 的极值点; 二、填空题 1、极限 lim sin(xy) = ??????? 。答: ?
x?0 x
y??
2、极限 lim ln( y ? e x2 ) =??????? 。答: ln 2 x?0 x 2 ? y 2
y?1

(D)条件不够,无法判定。

3、函数 z ? ln(x ? y) 的定义域为 ??????? 。答: x ? y ? 1

4、函数 z ? arcsin x 的定义域为 ??????? 。答: ?1 ? x ? 1, y ? 0 y

5、设函数

f

(x, y)

?

x2

?

y2

?

xy ln???

y x

???

,则

f

(kx, ky) = ???????

。答: k 2

?

f

(x, y)

6、设函数 f (x, y) ? xy ,则 f (x ? y, x ? y) = ??????? 。答: x2 ? y2

x?y

2x

( f (x ? y, x ? y) ? (x ? y)(x ? y) ? x2 ? y2 ) (x ? y) ? (x ? y) 2x

7、设 z ? sin(3x ? y) ? y ,则 ?z ?x

x?2 y ?1

? _________

。答:3cos5

8、函数 z

?

z(x, y) 由方程 x

?

y

?

z

?

e ?( x? y?z)

所确定,则 ? ?

2z x2

?

0

u ? x ln xy ,则 ?2u = ___________ 。答: 1

?x?y

y

9、、设

9、函数 z ? 2x 2 ? 3y 2 ? 4x ? 6y ? 1的驻点是_________。答:(1,-1)

三、计算题
1、求下列二元函数的定义域,并绘出定义域的图形.

(1) z ? 1? x2 ? y2

(2) z ? ln(x ? y)

(3) z ? 1 ln(x ? y)

(4) z ? ln(xy ?1)

解:(1)要使函数 z ? 1? x2 ? y2 有意义,必须有1? x2 ? y2 ? 0 ,即有 x2 ? y2 ? 1. 故所求函数的定义域为 D ? {(x, y) | x2 ? y2 ? 1},图形为图 3.1 (2) 要 使 函 数 z ? ln(x ? y) 有 意 义 , 必 须 有 x ? y ? 0 . 故 所 有 函 数 的 定 义 域 为
D ? ?(x, y) | x ? y ? 0? ,图形为图 3.2

(3)要使函数 z ? 1 有意义,必须有 ln(x ? y) ? 0 ,即 x ? y ? 0 且 x ? y ? 1. ln(x ? y)
故该函数的定义域为 D ? ?(x, y) | x ? y ? 0,x ? y ?1? ,图形为图 3.3

(4)要使函数 z ? ln(xy ?1) 有意义,必须有 xy ?1 ? 0 .故该函数的定义域为 D ? {(x, y) | xy ?1},图形为图 3.4

y y

O

1x

x+y=0 O

1x

图 3.1

y 1 x+y=0 O

1

x

x+y=1

图 3.2
y
1 -1 O 1
-1

y=1/x x

图 3.3

图 3.4

2、求极限 lim xye x



x?0 4 ? 16 ? xy

y?0

解: lim xye x x?0 4 ? 16 ? xy
y?0

xye x (4 ? 16 ? xy )

? lim

x?0

? xy

y?0

= -8

3、设函数

z

?

z(x,

y) 由方程

xy 2 z

?

x

?

y

?

z 所确定,求

?z ?y

。答:

2xyz ? 1 1 ? xy 2

4、设 z ? y x ln(xy) ,求 ?z , ?z 。 ?x ?y

解: zx

?

yx

ln y ? ln xy ?

1 x

yx

zy

?

xy x?1 ln( xy)

?

1 y

yx

四、应用题

1、某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为 10 元与 9 元,生产 x 单位的产品甲与生产
y 单位的产品乙的总费用是

400 ? 2x ? 3y ? 0.01(3x2 ? xy ? 3y 2 ) 元,

求取得最大利润时,两种产品的产量各为多少?
解: L(x, y) 表示获得的总利润,则总利润等于总收益与总费用之差,即有

利润目标函数 L(x, y) ? (10 x ? 9 y) ? [400 ? 2x ? 3y ? 0.01(3x2 ? xy ? 3y 2 )]

? 8x ? 6 y ? 0.01(3x2 ? xy ? 3y 2 ) ? 400, (x ? 0, y ? 0) ,



?Lx? ??L?y

? 8 ? 0.01(6x ? y) ? 0
,解得唯一驻点(120,80).
? 6 ? 0.01(x ? 6y) ? 0

又因 A ? Lx??x ? ?0.06 ? 0, B ? Lx??y ? ?0.01, C ? L?y?y ? ?0.06 ,得

AC ? B2 ? 3.5?10?3 ? 0. 得极大值 L(120,80) ? 320 . 根据实际情况,此极大值就是最大值.故生产 120 单位产

品甲与 80 单位产品乙时所得利润最大 320 元.

五、证明题

?(1 ? 1)
1、设 z ? e x y

求证 x2 ?z ? y2 ?z ?2z ?x ?y

证明:

因为

?z ?x

?

?(1
ex

?

1) y

?

1 x2

?z ?y

?

?(1 ? 1)
e xy

?

1 y2

所以

x2

?z

?

y2

?z

?

?(1 ?
ex

1) y

?(1 ? 1)
?e x y

?

2z

?x ?y

2? 设 2sin(x?2y?3z )?x?2y?3z? 证明 ?z ? ?z ?1 ?x ?y
证明:设 F(x? y? z)?2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z? 则 Fx?2cos(x?2y?3z)?1 Fy ?2cos(x?2y?3z)?2?2?2Fx Fz?2cos(x?2y?3z)?(?3)?3??3Fx

?z ? ? Fx ? ? Fx ? 1 ?x Fz ?3Fx 3

?z ? ? Fy ? ? 2Fx ? 2 ?y Fz ?3Fx 3

于是

?z ? ?z ? ? Fx ? Fz ? 1 ? 2 ?1

?x ?y Fz Fz 3 3

3、设 x?x(y? z)? y?y(x? z)? z?z(x? y)都是由方程 F(x? y? z)?0 所确定的具有连续偏导数的函 数? 证明 ?x ??y ? ?z ? ?1
?y ?z ?x
解:因为

?x ?? Fy ? ?y ?? Fz ? ?z ? ? Fx ?y Fx ?z Fy ?x Fz

所以 ?x ??y ? ?z ?(? Fy )?(? Fz )?(? Fx ) ??1 ?y ?z ?x Fx Fy Fz


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