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新三角函数奇偶性、单调性

新三角函数奇偶性、单调性


正弦、余弦函数的性质
(奇偶性、单调性)

X

正弦、余弦函数的图像和性质
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx (x?R)

定义域 x?R 值 域 y?[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2?
1

y=cosx (x?R)
y
-4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

sin(-x)= - sinx (x?R)

y=sinx (x?R) 是奇函数 定义域关于原点对称

cos(-x)= cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx (x?R) 是偶函数

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (x?R) 图像关于原点对称

y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=sinx

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
sinx

?

?
2



0 0



? 2



? 0



3? 2

-1

1

-1

y=sinx (x?R)
π ? ?? ? ? +2k? , +2k 增区间为 [[ , ] ?],k?Z 2 2 2 2 3 ? ? ? 3? ? , +2k 减区间为 [[ +2k , ] ?],k?Z 2 2 2

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
cosx

-? -1



?

?
2



0
1



? 2



?
-1

0

0

y=cosx (x?R) 增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z + ?], k?Z 减区间为 [2k?, 2k? , 其值从-1增至1 其值从 1减至-1

函数 性质

y= sinx

(k∈z)

y= cosx
x∈ R

(k∈z)

定义域 值域 最值及相应的 x 的集合

x∈ R [-1,1]

[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数

π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π , 2kπ+ ] 2 2 上都是增函数 , π,2kπ+ 3π 在x∈[2kπ+ 2 ] 2 上都是减函数.

周期性 奇偶性
单调性

π

在x∈[2kπ, 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π , 2kπ ] 上都是减函数 。

对称中心 对称轴

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0: (1) sin( ?
?

) – sin( ? 18
? ?

?

?
10

)

解:? ? 2 ? ? 10 ? ? 18 ? sin( ?
5

?
2

又 y=sinx 在[?
)

?
10

) < sin(?

?
18

即:sin(? 18 ) – sin(? 10 )>0
17? cos( ? 17? )=cos 4 4

, ]上是增函数 2 2 ? ?

? ?

(2) cos(? 23? ) - cos(? 解: cos( ? 23? )=cos 23? 5 5 ?
0?

? ) - cos(? 从而 cos(? 23 5

?

?

17? ) 4

=cos

?

cos

3? 5

4

?

? <cos 4

3? ?? 5

3? 5

=cos

? 4

又 y=cosx 在 [0, ? ]上是减函数 即: cos
17? ) 4

3? 5

– cos

?

4

<0

<0

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间: ? (1) y=3sin(2x- 4 ) ? 3? ? ? ? 解: ? x ? k? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? ? 3? ? k ? ? ? x ? k ? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2 4 2 8 8 ? 3? 所以:单调增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 3? 7? 单调减区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 (2) y=2sin(-x ) 解:y=2sin(-x ) = -2sinx ? ? 函数在 [ ? 2 +2k?, 2 +2k?],k?Z 上单调递减

?

函数在 [

? 2

3? +2k?, 2

+2k?],k?Z上单调递增

正弦、余弦函数的性质



结:

求函数的单调区间: 1. 直接利用相关性质
2. 利用图像寻找单调区间

作业:
课本:

X

正弦函数的对称性

y
1

-3?

?

5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

对称中心( k? ,0)
余弦函数的对称性
1 -3?
? 5? 2

对称轴: x ? k? ?
y

?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

对称中心( k? ?

?
2

, 0)

对称轴: x ? k?

函数 性质

y= sinx

(k∈z)

y= cosx
x∈ R

(k∈z)

定义域 值域 最值及相应的 x 的集合

x∈ R [-1,1]

[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数

π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π , 2kπ+ ] 2 2 上都是增函数 , π,2kπ+ 3π 在x∈[2kπ+ 2 ] 2 上都是减函数. (kπ,0) x = kπ+

周期性 奇偶性
单调性

π

对称中心 对称轴

π

(kπ+ π 2 ,0) x = kπ

在x∈[2kπ, 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π , 2kπ ] 上都是减函数 。

2



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