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高等代数教学说课第一章基本概念

高等代数教学说课第一章基本概念

第一章 基本概念 一 综述
1.本章是本门课程所需要的最基本概念(集合、映射、整数的一些性质、 数环和数域)和方法(数学归纳法、反证法).所需位置不同,可根据课时安 排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域 可先讲,映射可放在线性空间前讲.
2.从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内 容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化(如 整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上 加以严密论证).
3.新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定 理的论证.
4.学习本部分的难点是:从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子 引导训练,逐步培养. 二 重点、难点
1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念. 2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.
1.1 集 合
一 教学思考 1.集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化. 2.确定一个集合 A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.
说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”(描述法).

3.中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从 何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强 这方面的训练.
4.为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念. 二 重点、要求
1.重点、难点:卡氏积的概念及从概念出发(集合相等、子集等)进行 推理.
2.要求:使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力. 三 教学过程
1.集合:简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性 的解释:即所谓集合,是指由某些确定的事物(或具有某种性质的事物)组成 的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.
常用大写字母 A、B、C?表示集合,用小写字母 a、b、c?表示集合的元 素.
若 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a ? A ,或者说 A 包含 a. 若 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 a?A,或者说 A 不包含 a. 常采用两种方法: (1)列举法:列出集合的所有元素(包括利用一定的规律列出无限集)
的方法.如 A ? ?1,2,3,??.
(2)示性法(描述法):给出集合所具有的特征性质.如 B ? ?x | x2 ? 3x ? 4 ? 0?
表示方程 x2 ? 3x ? 4 ? 0的解集. 2.集合的分类(按所含元素的个数分): 有限集:只含有有限多个元素的集合. 无限集:由无限多个元素组成的集合. 空集:不含任何元素的集合.用 ? 表示.

约定: ? 是任何集合的子集. 3.集合间的关系:
(1)设 A、B 是两个集合.
子集:若 A 的每个元素都是 B 的元素,则称 A 是 B 的子集.(即若
"?x ? A ? x ? B").记作 A ? B (读作 A 属于 B);或者 B ? A(读作 B 包含 A).
相等:若集合 A 和 B 是由完全相同的元素组成的,则称 A 与 B 相等,记为
A=B.
(2)性质:(由定义易得) A) A ? A ;(反身性) B)若 A ? B, B ? C ? A ? C ;(传递性) C) A ? B 且 B ? A ?A=B.(反对称性)
4.几个常用的数集(略) 5.集合的运算(由两个集合得到一个新的集合)——交、并、补、卡氏 积: 设 A、B 是两个集合 (1)并:由 A 的一切元素和 B 的一切元素组成的集合叫做 A 与 B 的并集, 简称并.记作 A ? B .
即 A ? B ? ?x | x ? A,或x ? B?.
(2)交:由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,简称 交.记作 A ? B .
即 A ? B ? ?x | x ? A,但x ? B?.
(3)余(差、补):由一切属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合,叫做 B 在 A 中的余(补)集,或称为 A 与 B 的差集.记作 A-B.
即 A ? B ? ?x | x ? A, x ? B?.
(4)积(卡氏积):由一切元素对 (a,b) 所成的集合称为 A 与 B 的笛卡儿 积(简称为积).其中第一个位置的元素取自 A,第二个位置的元素取自 B.记
为 A? B .即 A? B ? ?(a,b) | a ? A,b ? B?.
1.2 映 射
一 教学思考
1.映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作
必要的调整及层次化,按映射的概念(包括相等)及例子、映射的合成、几种
特殊的映射来处理.

2.概念多且成系列,注意 帮助学生弄清概念的实质(包括概念的转述、
注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数
与函数的合成的概念的推广),注意训练从定义验证有关问题(给定一个法则
是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射)的方法,语言要准
确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例(内容与作业
中皆有此问题).
二 内容、重点、要求
1. 内容:映射、单、满、双(可逆)映射的概念、映射的合成等.
2. 重点:映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.
3. 要求:理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问
题的方法.
三 教学过程
1.概念与例子 定义 1. 设 A、B 是两个非空集合,A 到 B 的一个映射指的是一个对应法则,
通过这个法则,对于 ?x ? A,?y ? B 与它唯一对应. 例子:
(1)对 Z,?n ? Z, 令 f (n) ? 2n .
(2) A ? R, B ? ?x | x ? 0?.?x ? R, f (x) ? x2 . (3) A ? B ? ?1,2,3,4,?. f :1 ? 2,2 ? 3,3 ? 4,4 ? 1.
(4) ? 设 A 是任一集合,对 ?x ? A, f (x) ? x . 这是 A 到自身的一个映射(称为 A 的变换),称为恒等映射(此 为恒等变换),记为 jA .
定 义 2. 设 f : A ? B, g : A ? B 都 是 A 到 B 的 映 射 , 若 对 ?x ? A, 都 有 f (x) ? g(x) ,则称映射 f 与 g 相等,记为 f ? g .
如: f : R ? R, x ? x ; g : R ? R, x ? x2 .有 f ? g . 2.映射的合成
(1)定义 3. 设 f : A ? B, g : B ? C 是两个映射,对 ?x ? A,有 f (x) ? B ,从而 g( f (x)) ? C ,这样,对 ?x ? A, 就有 C 中唯一的 g( f (x)) 与之对应,就得到 A 到 C 的 一个映射,这个映射是由 f : A ? B 和 g : B ? C 所决定的,称为 f 与 g 的合成.记 作g? f .
即: g ? f : A ? C, x ? g( f (x)) . 例子: f : R ? R, x ? x2; g : R ? R, x ? sin x .则

g ? f : R ? R, x ? sin x2; f ? g : R ? R, x ? sin2 x . (2)映射合成满足结合律: 设 f : A ? B, g : B ? C,h : C ? D, 则由合成映射的定义可得 A ? D 的两个映 射: h ? (g ? f ),(h ? g) ? f ,则 h ? (g ? f ) ? (h ? g) ? f . 3.几类特殊映射 定义 4. 设 f : A ? B, 对 ?x ? A, 有 f (x) ? B ,则所有这样的象所作成 B 的子集,
用 f (A) 表示,即 f (A) ? ?f (x) | x ? A?,叫做 A 在 f 下的象,或叫做映射 f 的象.
(1)满射: 定义 5. 设 f : A ? B 是一映射,若 f (A) ? B ,则称 f 是 A 到 B 上 的一个映射,也称 f 是一个满射.
(2)单射: 定义 6. 设 f : A ? B 是一个映射,若对 ?x1, x2 ? A ,只要 x1 ? x2 , 就有 f (x1) ? f (x2) ,则称 f 是 A 到 B 的一个单射,简称单射.
(3)双射(1-1 对应):定义 7. 若 f : A ? B 既是单射又是满射,即 1)若 f (x1) ? f (x2 ) ? x1 ? x2,?x1, x2 ? A ; 2) f (A) ? B .
则称 f 是 A 到 B 的一个双射. 特别若 f 是 A 到 A 上的一个 1-1 对应,就称 f 为 A 的一个一一变换;有限 集 A 到自身的双射称为 A 的一个置换. 如:jA 是 A 的一个一一变换,同样 jB 是 B 的一个一一变换.由映射合成及相 等:若 f : A ? B ,则有 f jA ? f , jB f ? f . TH1.2.1 令 f : A ? B 是一个映射,则:下述两条等价:1) f 是双射;2)存 在 g : B ? A使得 g f ? jA, f g ? jB .且 2)成立时,其中的 g 由 f 唯一决定. (4)可逆映射及其逆映射 定义 8. 设 f : A ? B ,若存在 g : B ? A,使得 g f ? jA, f g ? jB ,则称 f 是可逆 映射,且称 g 为 f 的逆映射. 求其逆的方法 由定理知:f : A ? B 可逆 ? f 是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证 f 可逆(双射),再求其逆.而由 TH1 证知 f 可逆时其逆唯一为 g : B ? A, y x(若 f (x) ? y) (即对 y ? B ,找在 f 下的原象). (5)代数运算 引例:我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一 对整数 (a,b),有确定的唯一一个整数(通过相加)与之对应,用映射的观点来 说整数加法是 Z ?Z ? Z 的一个映射: ? : (a,b) a ? b .同样实数乘法亦然.一般 地:
定义 9. 设 A 是一个非空集合,我们把 A? A ? A的一个映射叫做集合 A 的
一个代数运算.若集合 A 有代数运算? ,也说 A 对? 封闭.
1.3 数学归纳法
一 教学思考
1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法——数学归纳法;

对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自
身的理论证明,为此需要一个原理——(自然数集的)最小数原理.
2. 本节主要讲清最小数原理(给出分析证明及必要的说明),以及在此基
础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释——从特殊认识一般
的思想方法,及数学归纳法应用中的关键(第二步)的突破.
二 内容、重点、要求
1. 内容:最小数原理、数学归纳法(第一、第二).
2. 重点:数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.
3. 要求:了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的
应用.
三 教学过程
引言:现实生活中经常使用这种方法:即首先考察、研究某些个别特殊的
事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳
法.
1. 数学归纳法的基础——自然数集的一个基本性质:最小数原理
最小数原理:自然数集 N? 的任一非空子集 S 必含有一个最小数,即 ?a?S , 对 ?c ? S, 都有 a ? c . 2. 数学归纳法
TH1.3.1(第一数学归纳法)设有一个与自然数 n 有关的命题 P(n) ,若满足 下列两条:1)当 n ?1时 P(n) 成立;2)假设 n ? k 时成立,则当 n ? k ?1时也成立. 则命题 P(n) 对于一切自然数 n 都成立.
TH1.3.2(第二数学归纳法原理)设有一个与自然数 n 有关的命题 P(n) ,若 满足下列两条:1)当 n ?1时 P(n) 成立;2)假设命题对于一切小于 k 的自然数 都成立时,命题对于 k 也成立. 则命题 P(n) 对于一切自然数 n 都成立.
1.4 整数的一些整除性质

一 教学思考

1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除

的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题

是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适

应.

2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项

式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.

二 内容、重难点、要求

1. 内容:整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.

2. 重难点:带余除法、最大公因数的性质定理的证明.

3. 要求:掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.

三 教学过程

引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进

带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数(和最小公倍

数)的理论(进一步证明了非常有用的算术基本定理),这些都是初等数论的

基本内容.

注意:本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,

因而不要盲目地相当然,要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题

平行,到时应对照学习.

1. 整除、带余除法

(1)整除

A)定义 1. 设 a,b? Z ,若 ?d ? Z 使得 b ? ad ,则称 a 整除 b (或b 被 a 整除).

用符号 a | b 表示.这时 a 叫做 b 的一个因数,而 b 叫做 a 的一个倍数.若 a 不整除

b (即对 ?d ? Z, ad ? b),记作 a | b .

B)整除的性质:

1) a | b,b | c ? a | c ;

(传递性)

2) a | b, a | c ? a | (b ? c); 3) a | b,?c ? Z ? a | bc ; 4)由 2)、3) a | bi ,?ci ? Z,i ? 1, 2,3, , n ? a | ? bici ; 5)?1| a, a | 0, ?a | a(?a ? Z) ;由此任意整数 a 有因数 ?1, ?a ,它们称为 a 的平凡 因数; 6)若 a | b ? ?a | ?b ; 7) a | b 且 b | a ? a ? b 或 a ? ?b .(对称性) (2) 带余除法 “整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有 这种关系,一般地有: TH1.4.1(带余除法) 设 a,b? Z ,且 a ? 0 ;那么 ?q, r ? Z 使得 b ? aq? r 且 0 ? r ? a .满足上述条件的 q, r 是唯一的. 2. 最大公因数、互素 (1)最大公因数 A)定义 2. 设 a,b? Z, d ? Z ,若 d 满足:1) d | a 且 d | b (即 d 是 a 与 b 的一个 公因数);2)若 c ? Z 且 c | a,c | b ? c | d (即 d 能被 a 与 b 的任一个公因数整除).
则称 d 为 a 与 b 的一个最大公因数.
最大公因数的概念可推广至有限个整数. B)最大公因数的存在性(及求法) TH1.4.2 任意 n (n ? 2) 个整数 a1, a2, , an 都有最大公因数;若 d 为 a1, a2, , an 的一个最大公因数,则 ?d 也是; a1, a2, , an 的两个最大公因数至多相差一个符 号. C)性质 TH1.4.3 设 d 为 a1, a2, , an 的 一 个 最 大 公 因 数 , 那 么 ?t1,t2, ,tn ? Z 使 得 d ? t1a 1? t a2 2? ? tnan . 略证:若 a1 ? a2 ? ? an ? 0 ,则 d ? 0 ,从而对 ?ti ? Z 都有 0 ? t1a1 ? t2a2 ? ? tnan ; 若 ai 不全为 0,由证明过程知结论成立. (2)互素 定义 3. 设 a,b ? Z ,若 (a,b) ? 1,则称 a, b 互素;一般地设 a1, a2, , an ? Z ,若 (a1, a2, , an ) ? 1,则称 a1, a2, , an 互素. TH1.4.4 n 个 整 数 a1, a2, , an 互 素 ? ?t1,t2, ,tn ? Z 使 得 t1a ?1t a ? 2 ? t2nan ? 1. 3. 素数及其性质 (1)定义 4. 一个正整数 p ?1叫做一个素数,若除 ?1, ? p 外没有其他因数. (2)性质 1)若 p 是一个素数,则对 ?a ?Z 有 (a, p) ? p 或 (a, p) ?1. (注意转换为语言叙述,证易;略) 2) ?a ?Z 且 a ? 0, ?1;则 a 可被某一素数整除. 3)TH1.4.5 设 p 是一个素数, a,b? Z ,若 p | ab ,则 p | a 或 p | b .
1.5 数环和数域
一 教学思考

1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与 所讨论的范围(数集)有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及 所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.
2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的 非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各 自具有的简单性质.
3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是:一、“任意数域都包含有理 数域”的证法——归谬法;二、给定一个数集验证是否是数环、数域;三、 关于数环、数域的深入的问题——因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运 算:交、并,那么问题是数环、数域的交、并是否仍是之?从中体会“从定义 出发加以验证”以及举例证明的方法. 二 教学过程 1. 概念
定义 1. 设 S ? C 且 S ? ? ,若对 ?a, b? S 都有 a ? b, a ? b, ab? S ,则称 S 是一个 数环.
定义 2. 设 F 是一个数环,若 1) F 含有一个非 0 数;2)若 a,b ?F 且 b ? 0 , 则 a ? F .则称 F 是一个数域.
b
例子:1)整数集为数环,有理数集、实数集、复数集为数域.
2)取定 a ?Z ,令 S ? ?na | n?Z?, S 为数环.
? ? 3) S ? a ? bi | a,b? Z,i2 ? ?1 是数环.
? ? 4) F ? a ? b 2 | a,b ?Q 是数域.
2. 性质 1)设 S 是一个数环,则 0? S .

2)设 F 是一个数域,则 0,1? F . 3)有理数域是最小的数域(在集合包含意义下) TH1.5.1 任何数域都包含有理数域 Q .


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