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北京市海淀区北方交大附中2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

北京市海淀区北方交大附中2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

北方交大附中 2016-2017 学年度第一学期期中练习

高二数学(文科)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题列出的四个选

项中,选出符合题目要求的一项)

1. 点 到直线

的距离为( ).

A. B.

C. D.

【答案】B 【解析】由点到直线的距离公式可得



故选 .

2. 己知正方体棱长为 ,则它的内切球的表面积为( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】设球的半径为 ,

球是正方体的内切球, ,

表面积



故选 .

点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化

为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

(2)若球面上四点

构成的三条线段

两两互相垂直,且

,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用

求解.

3. 直线 平面 ,直线 平面 ,有下列四个命题

()

;( )

;( )

;( )

.其

中正确的命题是( ).

A. ( )与( ) B. ( )与( ) C. ( )与( ) D. ( )与( )

【答案】C

【解析】( )∵直线 平面 ,直线 平面 ,且

( )若

,则 与 可能平行,可能异面,错误;

( )若 ,可推出

,正确;

( )若

,则 与 平面可能相互垂直,错误.

故正确的命题为( )( ).故选 .

,∴

,正确;

4. 由点

引圆

的切线的长是( ).

A. B. 【答案】C

C. D.

【解析】

到圆心 的距离



圆的半径 ,

∴由



的切线长



故选 .

点睛:直线与圆的位置关系常用处理方法:

(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定

理可以建立等量关系;

(2)直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形;

(3)直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小.

5. 直线

和直线

的位置关系是( ).

A. 垂直 B. 相交不垂直 C. 平行

D 重合.

【答案】A

【解析】∵



∴两条直线相互垂直.故选 .

6. 动点在圆

上移动时,它与定点

连接的中点的轨迹方程是( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】试题分析:设圆

上动点

,它与定点

连线的中点



由中点坐标公式得

,所以

, 因为

在圆

满足:

,把

代入方程得



选 C. 考点:1、中点坐标公式;2、相关点法求动点的轨迹方程. 【方法点睛】动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点

却随另一动点

的运动而有规律的运动,且动点 的轨迹为给定或容易求得,则可先将 表示

为 的式子,再代入 的轨迹方程,然而整理得 的轨迹方程,代入法也称相关点法.一般 地:定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法. 7. 设长方体的三条棱长分别为 , , ,若其所有棱长之和为 ,一条对角线的长度为 ,

体积为 ,则

为( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】试题分析:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,由题意可知,a+b+c=6…①,

abc=2…②,a2+b2+c2=25…③,由①式平方-②可得 ab+bc+ac= …④,④÷②得:

= ,故选 A

考点:本题考查了长方体的有关知识

点评:此类问题主要考查了点、线、面间的距离计算,考查空间想象能力、运算能力,是基

础题.

8. 已知两点



,若直线

上至少存在三个点 ,使得

是直角

三角形,则实数 的取值范围是( ).

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】当 , 为直角时, 故至少存在一个点,使 为直角,

,且 一定存在,

即直线与圆

至少有一个交点,





解得



∴ 故选 .





①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.

②定义法:根据圆、直线等定义列方程.

③几何法:利用圆的几何性质列方程.

④代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 24 分)

9. 若圆经过点





,则这个圆的方程为__________.

【答案】

【解析】∵该圆一定经过 线段的中垂线 ,







则 的中垂线为 ,

∴两条中垂线的交点 即为圆心,

又∵半径



∴圆的方程



10. 若圆

,圆 的圆心坐标为__________,圆 与圆

的位置关系是__________.

【答案】 (1).

(2). 外切

【解析】∵圆的一般方程为



化为标准方程

∴圆心 ∵圆心

,半径 ,半径

, ,


圆心距



∴圆心 与圆 外切.

11. 过点

,且被圆

截得的线段长为 的直线方程为__________.

【答案】 或 【解析】∵圆心 ,半径 ,

由题知,圆心到直线的距离



①当直线斜率不存在时,符合题意,

直线为 .

②当直线斜率存在时,设直线为



圆心到直线的距离



解出



整理得直线为



综上,符合题意的直线有 或



点睛:直线与圆的位置关系常用处理方法:

(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定

理可以建立等量关系;

(2)直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形;

(3)直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小.

12. 已知圆柱的侧面展开圆矩形面积为 ,底面周长为 ,它的体积是__________.

【答案】

【解析】设圆柱底面圆的半径为 ,高为 ,





,代入 , ,

圆柱体积



13. 某三棱锥的三视图如图所示. ( )该三棱锥的体积为__________. ( )该三棱椎的四个面中,最大面的面积是__________.

【答案】 (1). 8 (2).

【解析】三棱锥的底面积



, 其四个面的面积分别为






, ∴面积最大为 .

14. 在棱长为 的正方体 的点 的个数为__________.

中,若点 是棱上一点,则满足

【答案】6 【解析】∵正方体的棱长为 ,









∴点 是以

为焦距,以 为长半轴,

以为短半轴的椭圆,

∵ 在正方体的棱上,

∴ 应是椭圆与正方体的棱的交点,

∴满足条件的点应该在棱 、 、 、 、 、

上各有一点满足条件,

共有 个点.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演

算步骤)

15. 如图,正三棱柱

的侧棱长和底面边长均为 , 是 的中点.

( )求证:

平面



( )求证:

平面 .

( )求三棱锥

的体积.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .

【解析】试题分析:(I)证明



即可;

(II)由中位线定理可得

,进而得线面平行;

(III)利用

计算即可.

试题解析:

(I)证明:

∵在正

中, 是 边中点,∴



∵在正三棱柱中,

平面 , 平面 ,







点, ,

平面





平面



(II)连接 、 ,设

点,连接 ,

∵在

中, 、 分别是 、 中点,∴



∵ 平面 , 平面 ,



平面 ,

16. 如图,已知三角形的顶点为





,求:

( ) 边上的中线 所在直线的方程.

( )求

的面积.

【答案】(1)

;(2)11.

【解析】试题分析:(1)AB 中点 M 的坐标是

中线 CM 所在直线的方程是



即 2x+3y-5=0;

6分

(2)

8分

直线 AB 的方程是

点 C 到直线 AB 的距离是

12 分

所以△ ABC 的面积是

14 分

考点:考查了求直线方程,两点间的距离,点到直线的距离公式. 点评:解本题的关键是由 A、B 两点的坐标求出 AB 中点的坐标,利用两点式求出直线的方 程,利用两点间的距离公式求出三角形的一条边长,再利用点到直线的距离公式求出这条边 上的高,求出三角形的面积.

17. 己知圆 的圆心在直线

上,且过点

,与直线

相切.

( )求圆 的方程.

( )设直线

与圆 相交于 , 两点.求实数 的取值范围.

( )在( )的条件下,是否存在实数 ,使得弦 的垂直平分线 过点

,若存在,

求出实数 的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)

;(2)

;(3)见解析.

【解析】本试题主要是考查了线与圆的位置关系的综合运用。 (1)因为圆 C 的圆心在直线 y=x+1 上,且过点 (1,3),与直线 x+2y-7=0 相切. 利用圆 心到直线的距离等于圆的半径得到结论。 (2)因为直线与圆相交,则圆心到直线的距离小于圆的半径得到参数 a 的范围。

(3)设符合条件的实数 存在,由于

,则直线 的斜率为 , 的方程为

,即

,由于 垂直平分弦,故圆心

上,从

而得到。

解:(1)因为圆 C 的圆心在直线 y=x+1 上,可设圆心坐标为

,由题意可列方



,解得

,所以圆心坐标为( ),半径

为 ,所以圆的方程为

。-----------------5 分

(2)联立方程

,消 得

,由于直线与圆交于

两点,所以

,解得

,所以 的取值范围是(

)------8 分(3)

设符合条件的实数 存在,由于 ,即

,则直线 的斜率为 , 的方程为 ,由于 垂直平分弦,故圆心

上,

所以

,解得

,由于

,故不存在实数 ,使得过点

的直线垂直平分弦.--------------13 分


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