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山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

山东省青岛市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析




2015 年山东省青岛市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知 =1﹣bi,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则|a﹣bi|=( )

A. 3 B. 2 C. 5 D. 【考点】 : 复数求模. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 通过复数的相等求出 a、b,然后求解复数的模. 【解析】 : 解: =1﹣bi,

可得 a=1+b+(1﹣b)i,因为 a,b 是实数, 所以 ,解得 a=2,b=1. = .

所以|a﹣bi|=|2﹣i|=

故选:D. 【点评】 : 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的模的求法,考查计算能力. 2. (5 分)已知集合 M={x|y=lg(2x﹣x )},N={x|x +y =1},则 M∩ N=( A. [﹣1,2) B. (0,1) C. (0,1] D. ?
2 2 2



【考点】 : 交集及其运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 求出 M 中 x 的范围确定出 M,求出 N 中 x 的范围确定出 N,找出两集合的交集即 可. 【解析】 : 解:由 M 中 y=lg(2x﹣x ) ,得到 2x﹣x >0,即 x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 M=(0,2) , 2 2 由 N 中 x +y =1,得到﹣1≤x≤1,即 N=[﹣1,1], 则 M∩ N=(0,1], 故选:C. 【点评】 : 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. (5 分)高三(3)班共有学生 56 人,座号分别为 1,2,3,…,56,现根据座号,用系统 抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本.已知 3 号、17 号、45 号同学在样本中,那么样本中 还有一个同学的座号是( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【考点】 : 系统抽样方法. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 根据系统抽样的定义确定样本间隔即可. 【解析】 : 解:样本间隔为 56÷4=14, 则另外一个号码为 14+17=31,
2 2

-1-



故选:B. 【点评】 : 本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出样本间隔是解决本题的关键.

4. (5 分)已知函数

,则使 f(x)=2 的 x 的集合是(



A.

B. {1,4} C.

D.

【考点】 : 分段函数的应用. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 利用分段函数通过 f(x)=2 求出 x 的值即可. 【解析】 : 解:函数 当 x≤0 时,2 =2,可得 x=1(舍去) . 当 x>0 时,|log2x|=2,即 log2x=±2,解得 x=4,或 x= . 使 f(x)=2 的 x 的集合是 .
x



故选:A. 【点评】 : 本题考查分段函数的应用,函数的零点的求法,考查计算能力. 5. (5 分)已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n,m) ,其结果为 n 除以 m 的 余数,例如 MOD(8,3)=2.如图是一个算法的程序框图,当输入的值为 25 时,则输出的 结果为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型;算法和程序框图.

-2-



【分析】 : 模拟执行程序框图,根据题意,依次计算 MOD(n,i)的值,当 i=5,MOD(25, 5)=0,满足条件 MOD(25,2)=0,退出循环,输出 i 的值为 5. 【解析】 : 解:模拟执行程序框图,可得: n=25,i=2,MOD(25,2)=1, 不满足条件 MOD(25,2)=0,i=3,MOD(25,3)=1, 不满足条件 MOD(25,3)=0,i=4,MOD(25,4)=1, 不满足条件 MOD(25,4)=0,i=5,MOD(25,5)=0, 满足条件 MOD(25,2)=0,退出循环,输出 i 的值为 5. 故选:B. 【点评】 : 本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的 MOD(n,i) 的值是解题的关键,属于基础题.

6. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则下列不等式恒成立的是(



A. x≥3 B. y≥4 C. x+2y﹣8≥0 D. 2x﹣y+1≥0 【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识进行判断即可. 【解析】 : 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 则 C(2,3) ,B(2,5) , 则 x≥3,y≥4 不成立, 作出直线 x+2y﹣8=0,和 2x﹣y+1=0, 由图象可知 2x﹣y+1≥0 不成立, 恒成立的是 x+2y﹣8≥0, 故选:C.

【点评】 : 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 7. (5 分)“a≤﹣2”是“函数 f(x)=|x﹣a|在[﹣1,+∞)上单调递增”的( )

-3-



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】 : 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 从两个方向去判断,先看“a≤﹣2”能否得到“函数 f(x)=|x﹣a|在[﹣1,+∞)上单调 递增”:这个容易判断能得到;再看“函数 f(x)=|x﹣a|在[﹣1,+∞)上单调递增”能否得到“a≤ ﹣2”:根据 f(x)解析式知道 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而 a≤﹣1,并得不到 a≤﹣2, 综合以上情况即可得出答案. 【解析】 : 解: (1)若 a≤﹣2,x∈[﹣1,+∞)时,f(x)=x﹣a; ∴此时 f(x)在[﹣1,+∞)上单调递增; ∴“a≤﹣2”是“函数 f(x)=|x﹣a|在[﹣1,+∞)上单调递增”的充分条件; (2)若“函数 f(x)=|x﹣a|在[﹣1,+∞)上单调递增”,则: x≥a 在[﹣1,+∞)上恒成立; ∴﹣1≥a; 即 a≤﹣1; ∴得不到 a≤﹣2; ∴“a≤﹣2”不是“函数 f(x)=|x﹣a|在[﹣1,+∞)上单调递增”的必要条件; ∴综上得“a≤﹣2”是“函数 f(x)=|x﹣a|在[﹣1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件. 故选 A. 【点评】 : 考查含绝对值函数的处理方法:去绝对值,比如本题中 f(x)= 次函数的单调性,以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念. 8. (5 分)将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙 在同一路口的分配方案共有( ) A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 72 种 【考点】 : 相互独立事件的概率乘法公式. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 把甲、乙两名员工看做一个整体,再把这 4 个人分成 3 部分,每部分至少一人, 共有 种方法,再把这 3 部分人分到 3 个为车间,有 种方法,根据分步计数原理,求得 ,一

不同分法的种数. 【解析】 : 解:把甲、乙两名员工看做一个整体,5 个人变成了 4 个,再把这 4 个人分成 3 部 分,每部分至少一人, 共有 种方法, 种方法, ? =36,

再把这 3 部分人分到 3 个为车间,有 根据分步计数原理,不同分法的种数为 故选:C.

-4-



【点评】 : 本题考查的是分类计数问题问题,把计数问题包含在实际问题中,解题的关键是 看清题目的实质,把实际问题转化为数学问题,解出结果以后再还原为实际问题,属于基础 题.

9. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+1)=f(﹣x) ,当 =log2(x+1) ,则 f(x)在区间 内是( )

时,f(x)

A. 减函数且 f(x)>0 B. 减函数且 f(x)<0 C. 增函数且 f(x)>0 D. 增函数且 f(x)<0 【考点】 : 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 令 x∈ 答案. 【解析】 : 解:设 x∈ 根据题意,f(x)=f(﹣x+1) =﹣f(x﹣1) =﹣log2(x﹣1+1) =﹣log2x, 故选:B. 【点评】 : 本题考查了函数奇偶性的性质,属于基础题. ,则 x﹣1∈ , ,利用已知表达式及函数的奇偶性知 f(x)=﹣log2x,从而可得

10. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 作斜率为﹣1 的直线交

双曲线的渐近线于点 P,点 P 在第一象限,O 为坐标原点,若△OFP 的面积为 双曲线的离心率为( A. B. ) C. D.

,则该

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 先设 F 点坐标,然后根据点斜式写出直线 l 方程,再与双曲线的渐近线联立,求出 第一象限中的点 P,根据三角形面积,求出 a 与 b 的关系,进而求出离心率. 【解析】 : 解:设右焦点 F(c,0) ,则过 F 且斜率为﹣1 的直线 l 方程为 y=c﹣x ∵直线 l 交双曲线的渐近线于点 P,且点 P 在第一象限 ∴为 解得 P( , )

-5-



∵△OFP 的面积为

,∴ ?c?

=

整理得 a=3b

∴该双曲线的离心率为 =

=

故答案为:C. 【点评】 : 本题考查了双曲线的一些性质,离心率、焦点坐标等,同时考查了直线方程和三 角形面积公式. 三、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知不共线的平面向量 , 满足 么| = 2 . , ,那

【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 根据向量 的坐标即可求得 ,从而得到 【解析】 : 解: ∴ ; ; ∴ ∴ . ; ; ,而根据 ,这样便可求出答案. 即可得到

故答案为: . 【点评】 : 考查根据向量的坐标求向量的长度的公式,两非零向量垂直的充要条件,以及数 量积的运算. 12. (5 分)某班有 50 名同学,一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N(110,10 ) ,已知 P (100≤X≤110)=0.34,估计该班学生数学成绩在 120 分以上的有 8 人. 【考点】 : 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【专题】 : 应用题;概率与统计. 2 【分析】 : 根据考试的成绩 ξ 服从正态分布 N (110, 10 ) . 得到考试的成绩 ξ 关于 ξ=110 对称, 根据 P(100≤ξ≤110)=0.34,得到 P(ξ≥120)=0.16,根据频率乘以样本容量得到这个分数段上 的人数. 2 【解析】 : 解:∵考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(110,10 ) .
2

-6-



∴考试的成绩 ξ 关于 ξ=110 对称, ∵P(100≤ξ≤110)=0.34, ∴P(ξ≥120)=P(ξ≤100)= (1﹣0.34×2)=0.16, ∴该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.16×50=8. 故答案为:8. 【点评】 : 本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题,解题的关键是考 试的成绩 ξ 关于 ξ=110 对称,利用对称写出要用的一段分数的频数,题目得解. 13. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 32 ;

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 根据几何体的三视图,得三棱锥的底面边长与对应的高,求出它的体积. 【解析】 : 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面边长为 8,该边上的高为 6 的三棱锥, 且三棱锥的高为 4; ∴该三棱锥的体积为 V 三棱锥= × 8×6×4=32.

故答案为:32. 【点评】 : 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题时应根据三视图得出几何体的 结构特征,是基础题目.

14. (5 分)若函数 f(x)=Asin( 阴影部分的面积为 ;

的图象如图所示,则图中的

-7-



【考点】 : 定积分. 【专题】 : 导数的概念及应用. 【分析】 : 由图象求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积. 【解析】 : 解:由图可知,A=1, ∴ω=1, 则 , ,T=2π,

∴图中的阴影部分的面积为 . 故答案为: .

=cos(

)﹣cos(﹣

)=1﹣

【点评】 : 本题考查了利用 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式,考查了定积分的求 法,是基础的计算题. 15. (5 分)若不等式 2y ﹣x ≥c(x ﹣xy)对任意满足 x>y>0 的实数 x,y 恒成立,则实数 c 的最大值为 .
2 2 2

【考点】 : 函数的最值及其几何意义. 【专题】 : 计算题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 【分析】 : 不等式 x ﹣2y ≤cx(y﹣x)对任意满足 x>y>0 的实数 x、y 恒成立,变形为
2 2

c≤

=

,令 =t 可得 c≤

=f(t) ,利用导数研究函数 f(t)的单调性

极值与最值即可得出. 【解析】 : 解:∵不等式 2y ﹣x ≥c(x ﹣xy)对任意满足 x>y>0 的实数 x、y 恒成立,
2 2 2

∴c≤

=



令 =t>1,

∴c≤

=f(t) ,

令 f(t)=



-8-



则 f′ (t)=

=



当 t>2+ 时,f′ (t)>0,函数 f(t)单调递增;当 1<t<2+ 时,f′ (t)<0,函数 f(t) 单调递减; ∴当 t=2+ 时,f(t)取得最小值,f(2+ )=2 ﹣4. ∴实数 c 的最大值为 2 ﹣4. 故答案为:2 ﹣4. 【点评】 : 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 三、简答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知向量 常数,函数 f(x)= (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,若 a=2 ,求 的最小值. <A<π,f(A)=0,且 , ,x∈R,且函数 f(x)的最大值为 . ,实数 k 为大于零的

【考点】 : 余弦定理的应用;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 【专题】 : 解三角形;平面向量及应用. 【分析】 : (Ⅰ)通过斜率的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后通 过解函数的最大值,求 k 的值; (Ⅱ) 利用 ( f A) =0, 得到 A 的值, 然后利用余弦定理通过 a=2 的最小值. 【解析】 : (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知 = 得到 bc 范围, 然后求

…(2 分) = 因为 x∈R,所以 f(x)的最大值为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, …(5 分) ,则 k=1…(6 分) ,所以

-9-



化简得 因为 则 ,所以 ,解得 …(8 分)

因为 则 则 所以 的最小值为 ,所以

,所以 …(10 分)

…(12 分)

【点评】 : 本题考查斜率的数量积,余弦定理的应用,三角函数的最值的求法,考查计算能 力. 17. (12 分) 为了分流地铁高峰的压力, 某市发改委通过听众会, 决定实施低峰优惠票价制度. 不 超过 22 公里的地铁票价如下表:

现有甲、乙两位乘客,他们乘坐的里程都不超过 22 公里.已知甲、乙乘车不超过 6 公里的概 率分别为 , ,甲、乙乘车超过 6 公里且不超过 12 公里的概率分别为 , . (Ⅰ)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列与数学期望. 【考点】 : 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (Ⅰ)求出甲、乙乘车超过 12 公里且不超过 22 公里的概率分别为 , ,求出甲、 乙两人所付乘车费用相同的概率,即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率. (Ⅱ)求出 ξ=6,7,8,9,10,求出概率,得到 ξ 的分布列,然后求解期望即可. 【解析】 : (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可知,甲、乙乘车超过 12 公里且不超过 22 公里的概率分别为 , 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 (Ⅱ)由题意可知,ξ=6,7,8,9,10 …(2 分) …(4 分)

- 10 -





…(10 分) 所以 ξ 的分布列为



…(12 分)

【点评】 : 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法,考查计算能力. 18. (12 分)如图,在正四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1B1=a,AB=2a,AA1= a,E、F 分别是 AD、AB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EFB1D1∥平面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 D﹣BC1﹣C 的余弦值的大小. 注:底面为正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心,这样的四棱锥叫做正四棱锥.用 一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥,底面与截面之间的部分叫做正四棱台.

【考点】 : 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 : (Ⅰ)连接 A1C1,AC,分别交 B1D1,EF,BD 于 M,N,P,连接 MN,C1P,证 明 BD∥平面 EFB1D1,PC1∥平面 EFB1D1,然后证明平面 EFB1D1∥平面 BDC1. (Ⅱ)连接 A1N,证明 PM∥A1N,A1N⊥AN,得到 AC⊥BD,以 PA,PB,PM 分别为 x,y, z 轴建立如图所示的坐标系,求出相关点的坐标,平面 BDC1 的法向量,平面 BCC1 的法向量, 利用空间向量的数量积求解二面角 D﹣BC1﹣C 的余弦值的大小. 【解析】 : (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连接 A1C1,AC,分别交 B1D1,EF,BD 于 M,N,P,连接 MN,C1P 由题意,BD∥B1D1 因为 BD?平面 EFB1D1,B1D1?平面 EFB1D1,所以 BD∥平面 EFB1D1…(2 分)

- 11 -



又因为 A1B1=a,AB=2a,所以 又因为 E、F 分别是 AD、AB 的中点, 所以 ,



所以 MC1=NP, 又因为 AC∥A1C1,所以 MC1∥NP, 所以四边形 MC1PN 为平行四边形, 所以 PC1∥MN, 因为 PC1?平面 EFB1D1,MN?平面 EFB1D1,所以 PC1∥平面 EFB1D1, 因为 PC1∩ BD=P,所以平面 EFB1D1∥平面 BDC1…(5 分) (Ⅱ)连接 A1N,因为 A1M=MC1=NP,又 A1M∥NP, 所以四边形 A1NPM 为平行四边形,所以 PM∥A1N, 由题意 MP⊥平面 ABCD,∴A1N⊥平面 ABCD,∴A1N⊥AN, 因为 A1B1=a,AB=2a, ,所以 ,

因为 ABCD 为正方形,所以 AC⊥BD,

所以,以 PA,PB,PM 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的坐标系: 则 , , 所以 , , …(7 分) 设 是平面 BDC1 的法向量,则 ∴ , , ,

,∴y1=0,

- 12 -



令 z1=1,则

,所以

…(9 分)



是平面 BCC1 的法向量,则

,∴



令 y2=1,则 x2=﹣1,

所以

…(11 分)

所以

所以二面角 D﹣BC1﹣C 的余弦值的大小为

.…(12 分)

【点评】 : 本题考查平面与平面平行的判定定理的证明,二面角的求法考查空间想象能力以 及计算能力. 19. (12 分)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正整数的等比数列,且 a1=b1=1,a13b2=50, * a8+b2=a3+a4+5,n∈N . (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)若数列{dn}满足 式及其前 n 项和 Sn. 【考点】 : 等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0,利用 a13b2=50, a8+b2=a3+a4+5,列出方程组,求解公差与公比,然后求解通项公式. (n∈N ) ,且 d1=16,试求{dn}的通项公
*

- 13 -



(Ⅱ)利用关系式推出

,得到{dn}是奇数项与偶数项分别是等比数列;求出通项公式,

然后求解前 n 项和 Sn. 【解析】 : (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0, 且 ,



解得:

,或



由于{bn}是各项都为正整数的等比数列,所以 从而 an=1+(n﹣1)d=2n﹣1, (Ⅱ)∵ ∴log2bn+1=n∴ .

…(2 分) …(4 分) ,

两式相除:



由 d1=16, 比的等比数列;

,得:d2=8∴d1,d3,d5,…是以 d1=16 为首项,以 为公

d2,d4,d6,…是以 d2=8 为首项,以 为公比的等比数列

…(6 分)

∴当 n 为偶数时, Sn=(d1+d3+…+dn﹣1)+(d2+d4+…+dn) =

…(7 分)

…(9 分) ∴当 n 为奇数时, …(10 分)

Sn=(d1+d3+…+dn)+(d2+d4+…+dn﹣1)n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数

- 14 -



Sn=





…(12 分)

【点评】 : 本题考查等差数列与等比数列的求和,递推关系式的应用,考查数列的函数特征, 考查计算能力. 20. (13 分)已知抛物线 C1:y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 G 到焦点的距 2 2 离为 3,且点 G 在圆 C:x +y =9 上. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)已知椭圆 C2: 上存在关于直线 l:y= =1(m>n>0)的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合,若椭圆 C2 对称的两个不同的点,求椭圆 C2 的离心率 e 的取值范围.
2

【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (Ⅰ)设点 G 的坐标为(x0,y0) ,利用已知条件列出 x0,y0,p 的方程组,然后 求解抛物线方程. (Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)是椭圆 C2 上关于直线 l: 对称的两点,设出 MN:

y=﹣4x+λ 联立直线与椭圆方程,利用△>0,得到不等关系式,结合韦达定理求出中点坐标,纠错 m 的 范围,然后求解离心率的范围. 【解析】 : (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)设点 G 的坐标为(x0,y0) ,由题意可知

…(2 分)

解得:
2



所以抛物线 C1 的方程为:y =8x…(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线 C1 的焦点 F(2,0)∵椭圆 C2 的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合 2 2 2 ∴椭圆 C2 半焦距 c=2,m ﹣n =c =4…① …(5 分)

- 15 -



设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)是椭圆 C2 上关于直线 l:

对称的两点,MN:y=﹣4x+λ


4 2

?(16m +n )x ﹣8m λx+m λ ﹣m n =0…(*)
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

则△=64m λ ﹣4(16m +n ) (m λ ﹣m n )>0, 2 2 2 得:16m +n ﹣λ >0…② …(7 分) 对于(*) ,由韦达定理得: ∴

MN 中点 Q 的坐标为

将其代入直线 l:

得:

…③ …(9 分)

由① ② ③ 消去 λ,可得: ∵椭圆 C2 的离心率 ,∴

, …(13 分)

【点评】 : 本题考查直线与圆锥曲线方程的综合应用,椭圆的离心率的范围的求法,考查分 析问题解决问题的能力.

21. (14 分)已知函数 f(x)=1﹣

(a 为实数) . 处的切线方程;

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在点
2

(Ⅱ)设函数 h(a)=3λa﹣2a (其中 λ 为常数) ,若函数 f(x)在区间(0,2)上不存在极 值,且存在 a 满足 h(a)≥λ+ ,求 λ 的取值范围; (Ⅲ)已知 n∈N ,求证:ln(n+1)<1+
*



【考点】 : 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、 最小值问题中的应用. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : (Ⅰ)化简函数的解析式,求出函数的导数,利用切线方程的求法,求出斜率切 点坐标求解即可.

- 16 -



(Ⅱ)通过 f'(x)=0 求出极值点 x=a,利用函数 f(x)在区间(0,2)上不存在极值,得到 a 的范围,然后转化条件为 h(a)max≥ ,① 当 λ≤0 或 时,② 当 时,③ 当

时,分别求解 h(a)max,推出 λ 的范围. (Ⅲ)当 a=1 时,求出函数的导数: ,当 x∈(0,1)时,当∈(1,+∞)时,

利用函数的单调性求出最大值,推出 然后利用累加法推出结果. 【解析】 : (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a=1 时, 则 , 的切线方程为: 即 2x﹣y+ln2﹣2=0…(4 分) (Ⅱ) ,

,令

,推出



, ∴函数 f(x)的图象在点 ,

,由 f'(x)=0?x=a

由于函数 f(x)在区间(0,2)上不存在极值,所以 a≤0 或 a≥2…(5 分) 由于存在 a 满足 h(a)≥
2

,所以 h(a)max≥

…(6 分)

对于函数 h(a)=3λa﹣2a ,对称轴 ① 当 或 ,即 λ≤0 或 时, ,结合 λ≤0 或 ,即 可得: 或 ,

由 h(a)max≥ ② 当 由 h(a)max≥ ③ 当 由 h(a)max≥ 综上可知: 或 ,即

时,h(a)max=h(0)=0, ,结合 可知:λ 不存在;

时,h(a)max=h(2)=6λ﹣8; ,结合 …(9 分) 可知:

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(Ⅲ)当 a=1 时,

,当 x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当∈

(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴ (1)=0 即 令 ,则 ,即 ,∴ ,…(11 分) ,

在 x=1 处取得最大值 f

∴ln(n+1)=ln(n+1)﹣ln1=[ln(n+1)﹣lnn]+[lnn﹣ln(n﹣1)]+…+(ln2﹣ln1) . 故 . …(14 分)

【点评】 : 本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及数列与函数的关系,考查导 数的最值的求法,考查分析问题解决问题的能力.

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