haihongyuan.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

人教A版选修【4-4】2.1.2《圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化》习题及答案

人教A版选修【4-4】2.1.2《圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化》习题及答案


数学· 选修 4-4(人教 A 版)

2.1
2.1.2

曲线的参数方程

圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化

一 层 练 习 1.圆(x-1)2+y 2=4 上的点可以表示为( A.(-1+cos θ ,sin θ) B.(1+sin θ,cos θ) C.(-1+2cos θ,2sin θ) D.(1+2cos θ,2sin θ)
[来源 :学科网]

)

答案: D

? ?x=-2+cos θ, 2.P(x,y)是曲线? (0≤θ<π,θ 是参数)上的动 ?y=sin θ ?

y 点,则x的取值范围是(

)

A.?-
? ? ?

?

? 3 ,0? 3 ?

B.?-
? ? ?

?

3 3? , ? 3 3? 3? ? 3?
[来源:Zxxk.Com]

C.?0,

3? ? 3?

D.?-∞,-

答案:A

? ?x=cos θ, ? 3. 曲线 C: (θ 为参数)的普通方程为________. 如 ? ?y=-1+sin θ

果曲线 C 与直线 x + y + a = 0 有公共点,那么 a 的取值范围是 ________ .

答案:x2+(y+1)2=1

[1- 2,1+ 2]

4.指出下列参数方程表示什么曲线:
? ?x=3cos θ, ? π? ?θ为参数,0<θ< ?; (1)? 2? ? ? ?y=3sin θ ? ?x=2cos t, (2)? (t 为参数,π≤t≤2π); ?y=2sin t ? ? ?x=3+15cos θ, (3)? (θ 为参数,0≤θ<2π). ? ?y=2+15sin θ

? ?x=3cos θ, 解析:(1)由? (θ 为参数)得 x2+y2=9. ?y=3sin θ ?

π 又由 0<θ< ,得 0<x<3,0<y<3, 2 所以所求方程为 x2+y2=9(0<x<3 且 0<y<3). 这是一段圆弧(圆 x2+y2=9 位于第一象限的部分).

? ?x=2cos t, (2)由? (t 为参数)得 x2+y2=4. ?y=2sin t ?

由 π≤t≤2π,得-2≤x≤2,-2≤y≤0.

[来源 :学 #科 #网 ]

所求圆方程为 x2+y2=4(-2≤x≤2,-2≤y≤0). 这是 一段半圆弧(圆 x2+y2=4 位于 y 轴下方的部分, 包括端点).

? ?x=3+15cos θ, (3)由参数 方程? (θ 为参数 )得 (x- 3)2+ (y- 2)2 ?y=2+15sin θ ?

=152,由 0≤θ<2π 知这是一个整圆弧.

二 层 练 习
? ? ?x=tcos θ, ?x=4+2cos α, ? 5. 直线 (t 为参数, 0<θ<π)与圆? ?y=tsin θ ?y=2sin α ? ?

(α 为参数)相切,则 θ=________.

π 5π 答案: 或 6 6

6.写出圆心在点(-1,2),半径为 3 的圆的参数方程.

解析:可知参数方程为:
?x=-1+3cos t, ? ? (t 为参数,0≤t<2π). ? ?y=2+3sin t

7.圆的方程为 x2+y2=2y,写出它的参数方程.
[来源 :Z|xx|k.Com]

解析:由圆的方程 x2+y2=2y 得 x2-2y+y2=0,配方得 x2+(y -1)2=1.
?x=cos θ, ? 设? (θ 为参数,0≤θ<2π), ? ?y-1=sin θ ? ?x=cos θ, 则? (θ 为参数,0≤θ<2π), ?y=sin θ+1 ?

即为所求圆的参 数方 程.

三 层 练 习 8. 在 平 面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为:
[来源 :学科网 ZXXK]

? ?x= 5cos θ, ? π? ?θ为参数,0≤θ≤ ?, C1:? 2? ? ?y= 5sin θ ?

?x=1- 22t, C :? 2 ?y=- 2 t
2

(t 为参数),

它们的交点坐标为________.

答案:(2,1)

9.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为:
? ?x=t, C1:? ? ?y= t ? ?x= 2cos θ, t 为参数 ( )和 C2:? (θ 为参数),它们 ? ?y= 2sin θ

的交点坐标为________.

答案:(1,1)

10.(2013· 广东卷)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2cos θ.以极 点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,则 曲线 C 的参

数方程为____________________________________.

? ?x=1+cos θ, 答案:? (θ 为参数) ?y=sin θ ?

? ?x= 2cos t, 11.(2013· 广东卷)已知曲线 C 的参数方程为? (t 为 ?y= 2sin t ?

参数),C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为____________.
[来源 :学.科 .网 Z.X.X.K]

? π? 答案:ρsin?θ+4?= 2 ? ?

12.(2013· 汕头二模)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 设 点 A , B 分 别 在 曲 线 C1 :
?x=2+cos θ, ? ? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB|的最大值为 ? ?y= 5+sin θ

________.
[来源 :Z_xx_k.Com]

答案:5

13.在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 上两点 M, N 的极坐标分别为(2,0),
? ?2 3 π? ?x=2+2cos θ, ? (θ 为参数). , ?,圆 C 的参数方程为? 2? ? 3 ?y=- 3+2sin θ ?

(1)设 P 为线段 MN 的中点 ,求直线 OP 的平面直角坐标方程;

(2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

解析: (1) 由题意知, M , N 的平面直角坐标分别为 (2,0) ,
? 2 3? ?0, ?. 3 ? ?
[来源 :学科网 ]

又 P 为线段 MN 的中点,从而点 P 的平面直角坐标为?1,
?

?

3? ?, 3?

故直线 OP 的平面直角坐 标方程为 y=

3 x. 3

(2) 因为直线 l 上两点 M , N 的平面直角坐标分别为 (2,0) ,
? 2 3? ?0, ?, 3 ? ?

所以直线 l 的平面直 角坐标方程为 3x+3y-2 3=0, 又圆 C 的 圆心坐标为(2,- 3),半径为 r=2, 圆心到直线 l 的距离 d= C 相交. |2 3-3 3-2 3| 3 = <r,故直线 l 与圆 2 3+9

14.如下图所示,已知定点 A(2,0),点 Q 是圆 C:x2+y2=1 上 的动点,∠AOQ 的平分线交 AQ 于点 M,当 Q 在圆 C 上运动时,求 点 M 的轨迹方程.

解析:设点 O 到 AQ 的距离为 d ,则 1 1 |AM|· d= |OA|· |OM|· sin ∠ AOM, 2 2 1 1 |QM|· d= |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 又∠AOM=∠QOM, 所以 |AM| |OA| 2 = = . |QM| |OQ| 1

→ =2AQ →. 所以AM 3 因为点 Q 是圆 x2+y2=1 上的点,所以设点 Q 坐标为(cos θ,sin θ),M(x,y),得
[来源 :学。科。网 Z。X。 X。 K]

2 (x-2,y-0)= (cos θ-2,sin θ-0), 3 2 2 2 即 x- = cos θ,y= sin θ, 3 3 3

? 2? 4 两式平方相加,得?x-3?2+y2= , 9 ? ?

[来源 :Z*xx*k.Com]

? 2? 4 故点 M 的轨迹方程为?x-3?2+y2= . 9 ? ?

1.利用参数求曲 线的轨迹方程. (1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是: ①确定参数;②求出参数方程;③消参;④得到轨迹的普通方程 (注意轨迹范围). (2)参数的选取应根据具体条件来考虑,例如可以是时间,旋转 角,动直线的斜率、截距、动点的坐标等.

2 .参数方程与普通方程的等价性. 把参数方程化为普通方程后, 很容易改变了变量的取值范围, 从 而使两种方程表示的曲线不一致 ,因此,在相互转 化中,要注意两 种方程的等价 性.
2 ? ?x=cos θ, 例如,参数方程? 消去参 数 θ 后的 x+y=1,它表示 2 ? ?y=sin θ 2 ? ?x=cos θ, 一条直线对吗?这是不对的.因为在参数方程? 中,x,y 2 ?y=sin θ ? 2 ? ?x=cos θ, 的取值范围是 [0,1 ] ,所以 ? 表示的是一条线段 x + y = 2 ? ?y=sin θ

1(0≤x≤1),而不是直线 x+y=1.

3.关于求 x、y 的代数式的取值范围问题,常 把普通方程化为参 数方程,利用三角函数的值域求解



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com