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1.2.3空间中的垂直关系(教学能手讲课材料)

1.2.3空间中的垂直关系(教学能手讲课材料)


1.2.3空间中的垂直关系
———直线与平面垂直

学习目标
1.理解直线与平面垂直的定义;
2.掌握直线与平面垂直的判定定 理;

3.应用直线与平面垂直的判定 定定理解决简单的证明问题.

一.问题引入
问题:直线与平面的位置关系有 哪几种?

线在面内

线 面 位置关系

线面平行 线面相交
垂直 斜交



生活中有很多直线与平面垂直的实例

天安门广场竖立的旗杆与地面的位置关系

大桥的桥柱与水面的位置关系,给人以直线与平面垂直 的形象。

二、课堂探究
问题:将书页打开直立在桌面上,观察书脊AB和桌 面的位置关系,给人以什么感觉? A

B
思考①:书脊AB和每页书与桌面的交线的位置关系如何? 思考②:书脊AB和桌面内的每条直线都垂直吗?

探究:怎样定义直线和平面垂直?

如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内 的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂 直.其中这条直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂 面.交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段, 叫做这个点到个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个 点到平面的距离.

直线l与平面 ? 垂直,记为l

??

平面 ? 的垂线 垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

直线与平面的 一条边垂直

l
P

?

由直线和平面垂直的定义可知:
直线 l ? ? ? l垂直于?内的所有直线

思考1:对于一条直线和一个平面,如果根据定义来 判断它们是否垂直,需要解决什么问题?如何操作?

思考2:我们需要寻求一个更为简单可行的办法来判 定直线与平面垂直.

如果直线l与平面α内的一条直线垂直,能保证l⊥α吗?
如果直线l与平面α内的两条直线垂直,能保证l⊥α 吗?

思考3:如图,将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,把翻 折后的纸片竖起放置在桌面上,使BD、DC与桌面接触,观 察折痕AD与桌面的位置关系.

A

A

B

D

C

B C

D

思考4:如何调整折痕AD的位置,才能使翻折后直线AD 与桌面所在的平面垂直?

A
B

A

B

D

C

?

D C

总结:由上可知当折痕AD垂直平面α 内的两条相交直 线时,折痕AD与平面α垂直.由此我们得出直线与平 面垂直的判定方法.

直线与平面垂直判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
线线垂直 判定定理

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线面垂直

判断正误: 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直 线,那么,这条直线就与这个平面垂直.( × )
b a
α

直线与平面垂直判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直.

线不在多,相交则灵
判定定理的条件中,“平面内的两条相交 直线”是关键性词语,一定要记准、用对;

例题讲解
? 例1、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有

一条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端 放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直 线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的距离 是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么?
A

? C

B

D

解 : 如图, 旗杆PO ? 8m, 两绳长PA ? PB ? 10m OA ? OB ? 6m ? A, O, B三点不共线 ? A, O, B三点确定平面 ? 又 ? PO2 ? OA2 ? PA2 , PO2 ? OB2 ? PB2 ? OP ? OA, OP ? OB ? OA ? OB ? O ? OP ? ? 因此, 旗杆OP与地面垂直 .
P

?

A

O

B

例2. 如图,已知 a // b, a a b
n

? ?,求证 b ? ? .

(此定理可看作线面垂直的判定 定理二)

?m

分析:在平面内作两条相交直线,由直 线与平面垂直的定义可知,直线a与这 两条相交直线是垂直的,又由b平行a, 可证b与这两条相交直线也垂直,从而 可证直线与平面垂直.

例2 如图,已知 a // b, a ? ? ,求证

b ? ?.
b
n

证明:在平面 ?内作 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

a

?

m

又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

? 当堂训练

1、在空间,下列命题 (1)平行于同一直线的两条直线互相平行; (2)垂直于同一直线的两条直线互相平行; (3)平行于同一平面的两条直线互相平行; (4)若直线垂直于平面内的两条直线,则这条 直线与平面垂直. 正确的是( C ) A.(1)(3)(4) C.(1) B.(1)(4) D.四个命题都正确

2、在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC, AC=BC,D为AB的中点,求证:CD⊥平面 PAB.

P

A D

C B

? 证明:∵AC=BC,D为

AB的中点, ∴CD⊥AB. ∵PA ⊥平面ABC, ∴PA⊥CD. ∴CD ⊥ PA,CD ⊥AB. 根据线面垂直的判定定理得: CD ⊥平面PAB.

P

A

C

D

B

本节小结:
1.直线和平面垂直的定义. ? 2.直线与平面垂直的判定定理. ? 3.对于判定定理应注意两点: 一是判定定理的条件中,“平面内的两条相交直线” 是关键性词语,一定要记准、用对;二是要判断一条 已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内 能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条 相交直线是否和已知直线有公共点,则是无关紧要的.
?

谢 谢 同 学 们 恳请各位专家老师批评指正



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